PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática
Profa. Virgínia Maria Rodrigues
Técnicas de Demonstração
1)
2)
Demonstração por exaustão:
➢
Testa-se, uma a uma, todas as possibilidades.
➢
Utilizada quando há um número finito e pequeno de casos possíveis.
Demonstração direta (ou por meio de argumentos lógicos):
➢
3)
4)
Para provar que uma proposição condicional p  q é verdadeira verifica-se que a tese q
é verdadeira para os casos que satisfazem a hipótese p, ou seja, supõe-se que p é
verdadeira e mostra-se que q também é verdadeira.
Demonstração por contraposição:
➢
Para provar que uma proposição condicional p  q é verdadeira basta provar que a sua
contrapositiva ¬q¬ p é verdadeira.
➢
Supõe-se que ¬q é verdadeira e mostra-se que ¬ p é verdadeira.
Demonstração por absurdo (ou por contradição):
➢
Supõe-se que a negação do que se quer provar é verdadeira (isto é, que a proposição é
falsa) e deduz-se um “absurdo”, ou seja, uma proposição que sabemos ser falsa
(chamada de contradição).
➢
Em particular, no caso de uma proposição condicional p  q , supõe-se que p é
verdadeira e, por absurdo, que ¬q é verdadeira (note que isto significa supor que
p  q é falsa).
Exemplos: Prove que:
1.
A soma de dois inteiros pares é um número par.
2.
A soma de dois inteiros ímpares é __________.
3.
A soma de um número par e um número ímpar é _________.
4.
O produto de dois inteiros pares é __________.
5.
O produto de dois inteiros ímpares é __________.
6.
O produto de dois inteiros pares é divisível por 4.
7.
O produto de um inteiro par e um inteiro ímpar é par.
8.
Um inteiro é par se e somente se o seu quadrado é par.
9.
Um inteiro é múltiplo de 3 se e somente se o seu quadrado é múltiplo de 3.
10. Um inteiro n é ímpar se e somente se o seu consecutivo n+1 é par.
11. O quadrado de todo inteiro ímpar é ímpar.
12
A soma de um inteiro com o seu quadrado é par.