Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Ano lectivo 2006/2007
Estruturas Discretas - Exercícios
10. Simbolize convenientemente:
a) A e B têm um elemento em comum;
b) Nenhum elemento de A é elemento de B;
c) A tem um único elemento;
d) A está contido em B (isto é A ⊆ B);
e) A não está contido em B (isto é A * B);
f) A e B são disjuntos;
g) O produto de quaisquer dois números reais negativos é positivo;
h) Existem dois inteiros cuja soma é menor do que qualquer um deles;
i) Existe pelo menos um número real x tal que 2x = x2 ;
j) A soma dos quadrados de quaisquer dois números reais não nulos é
menor que o quadrado da sua soma;
k) Existe um natural que é menor que qualquer outro (considere que o
zero faz parte dos naturais);
l) Qualquer real admite um inteiro menor do que ele.
11. Indique quais das seguintes proposições são verdadeiras e quais são as
falsas, supondo que
as variáveis intervenientes têm por domínio:
a) IR.
b) IN1 .
∀x, x2 + 1 > 1; ∀x, (x > 2 ⇒ x > 1);
∀x∃y : y = x2 ;
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∀y∃x : y = x ;
∀x, y∃z : x = yz;
∀x∃y : y < x;
∃y ∀x : y < x;
∃x, y : (x − y)2 = x2 − y 2 ;
∀x, y (x < y ⇒ ∃z (x < z ∧ z < y))
∀y∃x : y < x
12. Diga, justificando, se são ou não verdadeiras as asserções seguintes:
a) A negação da proposição ”Se 3 é ímpar, então 9 é par” é a proposição
”Se 3 é ímpar, então 9 é impar”;
b) A recíproga da proposição ”Se 3 é ímpar, então 9é par” é a proposição
”Se 3 é ímpar, então 9 é impar”
c) A negação de uma conjunção é uma disjunção;
d) A negação de ”Todos os triângulos são equiláteros” é ”Nenhum triângulo é equilátero”;
e) A negação de ”Existe um carro azul” é ”Todos os carros são azuis”.
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13. Descreva simbolicamente a condição que os elementos de A e B têm de
verificar para:
a) se poder afirmar que o conjunto A está estritamente contido no conjunto B (isto é, A ⊂ B).
b) não serem disjuntos (isto é para que A ∩ B 6= ∅).
14. Escreva uma expressão equivalente a
q (∀x∈IN0 ∀y∈IN0 (x < y ⇒ ∃z∈IN0 (x < z ∧ z < y))) e a q (∃x,y∈N0 (x < y ∧ ∀z∈N0 x + z = y))
onde não ocorra nenhum q.
15. Escreva uma expressão equivalente a
q (∃a ∀δ>0 ∃p ∀n (n > p =⇒ |f (n) − a| < δ) =⇒ ∃c ∀n |f (n)| < c) onde
não ocorra nenhum q.
16. Como é sabido, sendo un o termo geral de uma sucessão de termos reais
e a um número real, a proposição lim un = a é equivalente a:
∀δ ∃p ∀n (n > p → |un − a| < δ) (onde p e n têm por domínio o conjunto dos
inteiros positivos e δ o conjunto dos reais positivos).
Tendo em conta este facto traduza simbolicamente a proposição ∼ (lim un = a) .
17. Diga quais são as ocorrências de cada uma das variáveis que estão livres
em:
∃x ∃y z−x = x−y; ∀y ∃z ∀x (x > z → f (x) > y) ; ∀y ∃z ∀x (x < z → |f (x)| > y) ;
∀x (x < z ∨ ∃x ∃z z − x = x + z)
18. Suponha que P(z) é a condição ∀x (x < z ∨ ∃y ∃z z − y = y + z) .
a) Diga a que é igual P(5).
b) Diga quais dos seguintes termos estão livres para z em P(z): x + 2,
y, z, y − 2, 7, x + y.
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