Minicurso-Aula 1:
Técnicas de Demonstração
Matemática
Anliy Natsuyo Nashimoto Sargeant
Curso de Verão 2009
DEX - UFLA
Motivação
Objetivo
Ensinar a ler e entender uma prova ou
demonstração mediante a identificação das
técnicas utilizadas.
Bibliografia
• Solow, Daniel. How to read and do proofs. Ed
John Wiley & Sons, 4ª edição, 2005.
• Solow, Daniel. Cómo entender y hacer
demonstraciones em matemáticas. Ed
Limusa, 1993.
Lógica
Lógica é uma ramo da filosofia que estuda os
métodos e princípios usados para distinguir o
raciocínio correto do incorreto.
Lógica e Demonstração
Princípio da razão suficiente
Tudo o que existe e tudo o que acontece tem
uma razão para existir ou para acontecer, e tal
razão pode ser conhecida pela nossa razão.
A necessidade de demonstração é
consequência deste princípio. Ele exige que
toda afirmação que façamos tenha
fundamento.
Lógica e Demonstração
Validade dos argumentos
• Observações;
• Experiências;
• Raciocínio corretamente estruturado,
incluindo um sistema de deduções.
Falácias
• Falácia é um argumento não-valido.
• Se você usar argumentos não-válidos em
uma dedução, é possível deduzir
contradições ou resultados “assustadores”.
Falácias
• Seja i a unidade imaginária, isto é, i ² = -1.
Então
1 = 1 = (−1).(−1) = − 1. − 1 = i.i = i = −1
2
e, portanto, 1 = -1
Falácias
25
25
− 6 = −6 ⇒ 4 − 10 = 9 − 15 ⇒ 4 − 10 + = 9 − 15 + ⇒
4
4
5 2
5
5 2
5
2
⇒ 2 − 2.2.( ) + ( ) = 3 − 2.3.( ) + ( ) ⇒
2
2
2
2
2
5 2
5 2
⇒ (2 − ) = (3 − )
2
2
⇒ 2 = 3.
5
5
⇒ 2− = 3−
2
2
Isto é uma demonstração?
EX: Observando as figuras abaixo, você deve
“perceber” que a soma das áreas dos quadrados
construídos sobre os catetos do triângulo é igual à
área do quadrado construído sobre a hipotenusa.
b
a
a
b
a c
c b
a
c
a
b c
a
a
c
b
b c
b
a
b
Figuras
• As figuras ajudam a sintetizar o raciocínio.
• Em muitos casos, são indispensáveis.
• Mas elas sozinhas não podem demonstrar
coisa alguma.
Paradoxo de Curry
Se A, então B.
Todas as proposições matemáticas, mesmo que
não esteja explícito, são sentenças condicionais
do tipo: Se A, então B.
A
→
B
A implica B
A
⇒
B
Se A, então B.
• Se 2 < 1, então 3 < 4.
• Todo inteiro ímpar é da forma 4k+1 ou 4k+3.
• Se n é inteiro ímpar, então n é forma 4k+1 ou
4k+3 para algum inteiro k.
• Prove que, de três inteiros consecutivos, um é
múltiplo de 3.
• Se p,q e r são inteiro consecutivos, então ou p
ou q ou r é múltiplo de 3.
Tabela-Verdade
Se estiver chovendo, então eu levo o guarda-chuva.
A
B
Se A, então B.
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Exemplos
• Se 2 < 1, então 3 < 4.
• Se x >2, então x² > 4.
Missão
• Você pode assumir que A é verdadeira.
• A nossa missão é concluir que B é verdadeira.