4a . LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO NUMÉRICO
Turma: 5o . perı́odo de Licenciatura em Matemática
Profa . Andréa Cardoso
Data: 21/05/2012
x
f (x)
1. Considere a função f (x) dada pela tabela:
0 1
0 0
2
0
3
0
e o polinômio dado por: p(x) = x(x − 1)(x − 2)(x − 3).
(a) Verifique que p(xk ) = f (xk ), k = 0, 1, 2, 3.
(b) p(x) é o polinômio interpolador de f (x) sobre os pontos 0, 1, 2 e 3? Justifique.
2. Determine o polinômio de interpolação, na forma de Lagrange, sobre todos os pontos da
tabela e calcule f (3.5).
x
1 3 4 5
f (x) 0 6 24 60
3. Seja a tabela:
x
ex
0 0.1
1 1.11
0.2
1.22
0.3
1.35
0.4
1.49
0.5
1.65
Usando interpolação linear sobre pontos adequados, Calcule f (0.35) e dê um limitante
superior para o erro de truncamento.
4. Determine o único polinômio de grau menor ou igual a 3 que coincide com f (x) nos
seguintes pontos: f (0.5) = 2, f (0.6) = 8, f (0.7) = −2, f (0.8) = 5. Calcule também
f (0.56).
5. Dada a função f (x) = xex/2 e a tabela:
x
x/2
e
2.0 2.25
2.71 3.08
2.5 2.75
3.49 3.96
3.0
4.48
(a) Calcule o polinômio de interpolação sobre dois e três pontos.
(b) Calcule f (2.4).
(c) Dê um limitante superior para o erro de truncamento.
6. Seja a função tabelada:
x
-2
f (x) 0
-1 1
1 -1
2
0
Determine o polinômio interpolador usando a fórmula de Newton, calcule f (0.5) e o erro.
7. Dada a função tabelada:
x
f (x)
0
1
1.0 0.5
(a) Faça a interpolação linear.
(b) Faça a interpolação quadrática.
(c) Calcule f (0.5).
1.5 2.5
0.4 0.286
3.0
0.25
(d) Calcule os termos do erro.
8. A integral elı́ptica completa é definida por:
∫ π/2
dx
K(k) =
2
(1 − k sen2 x)1/2
0
Por uma tabela de valores desta integral, encontramos:
K(1) = 1.5708,
K(2) = 1.5719,
K(3) = 1.5739
Determine K(2.5), usando polinômio de interpolação, na forma de Lagrange, sobre todos
os pontos.
9. A função
∫
∞
y=
x
e−t
dt
t
é dada pela seguinte tabela:
x
y
0
∞
0.01
4.0379
0.02
3.3547
0.03
2.9591
0.04
2.6813
0.05
2.4679
0.06
2.2953
Através da fórmula de Newton, calcule y para x = 0.0378 usando parábola.
10. Uma maneira de calcular o valor da derivada de uma função em um ponto x0 , quando não
se conhece a expressão analı́tica da mesma, é usar uma tabela para formar um polinômio
que aproxime a função, derivar então esse polinômio e avaliar sua derivada em x = x0 .
Dada a tabela:
x
f (x)
0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65
-1.52 1.51 1.49 1.47 1.44 1.42 1.39
calcule um valor aproximado para f ′ (0.52) usando interpolação quadrática.
11. Considere as seguintes tabelas para uma mesma função
i)
x
f (x)
0 1.1 2.6
-1 10 13
3.4
15
4.5
24
ii)
x
f (x)
0 1.1
-1 10
2.6
13
3.4
15
4.5
24
5.8
34
(a) Deseja-se obter o polinômio interpolador para a tabela (i) e depois para a tabela (ii),
de modo a fazer o menor número de operações. Qual o método ideal? Justifique.
(b) Calcule os polinômios interpoladores para as tabelas (i) e (ii) usando o método
escolhido no item (a).
12. Suspeita-se que a tabela:
x
y
-3 -2
-9 0
-1
1
0 1
0 3
2
16
represente um polinômio cúbico. Como testar este fato? Explique.
13. Construa a tabela de diferenças dividas com os dados
x
f (x)
0.0
0.5
-2.78 -2.241
1.0
-1.65
1.5
-0.594
2.0
1.34
2.5
4.564
(a) Estime o valor de f (1.23) da melhor maneiro possı́vel, de forma que se possa estimar
o erro cometido.
(b) Justifique o grau do polinômio que você escoheu para resolver o item a.
14. Com que grau de precisão podemos calcular e15 usando interpolação sobre os pontos:
x0 = 10, x1 = 20, x2 = 30?
√
15. Com que grau de precisão podemos calcular 115 usando interpolação sobre os pontos:
x0 = 100, x1 = 121 e x2 = 144?
16. Sabendo que a única raiz positiva da equação 4cosx − ex = 0 encontra-se no intervalo
[0, 1], use parábola para determinar uma aproximação para essa raiz.
17. Na tabela a seguir está asssinalado o posicionamento de um ônibus, partindo do marco
zero de uma rodovia federal.
Tempo (min)
Posição (km)
60 80
76 95
100
112
120
138
140
151
160
170
180
192
Pede-se os possı́veis posicionamento do ônibus para os tempos de 95, 130 e 170 minutos.
Use reta e parábola.
18. Um pára-quedista realizou seis saltos, pulando de alturas distintas em cada salto. Foi
testada a precisão de seus saltos em relação a um alvo de raio 5 metros de acordo com a
altura. A distância apresentada na tabela é relativa à circunferência.
o
1.
2o .
3o .
4o .
5o .
salto
salto
salto
salto
salto
Altura (m) Distância do Alvo (m)
1500
35
1250
25
1000
15
750
10
500
7
Levando em consideração os dados, a que provável distância do alvo cairia o pára-quedista
se ele saltasse de uma altura de 850 metros? Use reta e parábola.
19. Um veı́culo de fabricação nacional, após vários testes, apresentou os resultados a seguir
quando analisou-se o consumo de combustı́vel de acordo com a velocidade média imposta
ao veı́culo. Os testes foram realizados em rodovia em operação normal de tráfego, numa
distância de 72 km.
Velocidade (km/h)
55
Consumo (km/l) 14.08
70
13.56
85
13.28
100
12.27
115
11.30
130
10.40
Usando polinômios de grau 2 e 3, verifique o consumo aproximado para o caso de serem
desenvolvidas as velocidades de 80 km/h e 105 km/h.
BOM TRABALHO!!!