1
Cálculo Numérico
Quase Splines
T. Praciano-Pereira
Lista numero 06
[email protected]
Dep. de Computação
alun@:
24 de outubro de 2012
Documento escrito com LATEX - sis. op. Debian/Gnu/Linux
http://www.calculo-numerico.sobralmatematica.org/
Univ. Estadual Vale do Acaraú
Se entregar em papel, por favor, prenda esta folha de rosto na sua solução
desta lista, deixando-a em branco. Ela será usada na correção. Alternativamente, a lista pode ser resolvida diretamente na página do Moodle da disciplina.
Exercı́cios 1 Aproximação polinomial por pedaços objetivo: Modelagem de
fenômenos a partir de dados sobre malha dada.
palavras chave: Aproximação polinomial, modelagem polinomial, quase splines.
1. Interpolação linear
A tabela
xk
yk
-5
-5
-2
-2
0
1
2
4
7
5
representa os dados medidos por um sensor.
(a) (V)[ ](F)[ ] Ligando os pontos (xk , yk ) com segmentos de reta ficam
representados, graficametne, os valores médios (aritméticos) dos dados medidos em cada sub-intervalo.
(b) (V)[ ](F)[ ] Na tabela, os pontos (xk , yk ) correspondem aos nós de
uma malha uniforme definida do intervalo [−5, 7].
(c) (V)[ ](F)[ ] Esta tabela subdivide o intervalo [−5, 7], onde os dados
foram colhidos, em 5 sub-intervalos.
(d) (V)[ ](F)[ ] A interpolação linear dos dados representados pela tabela
é uma poligonal com 4 lados.
(e) (V)[ ](F)[ ] Se chamarmos de f a função representada pela tabela de
dados, então o valor f (1), obtido por interpolação linear, é 2.5.
2
2. Derivada aproximada
Considere
A = −4; B = 3/2.0; C = 2;
f (x) = A + B(x − 2) + C(x − 2)
(1)
2
(2)
′
f (x) = B + 2C(x − 2)
(3)
(a) (V)[ ](F)[ ] f ′ (x) é a derivada exata de f no ponto x.
(b) (V)[ ](F)[ ] A tabela,
∆x
1
0.33333333333333333333
0.2
0.14285714285714285714
0.11111111111111111111
0.09090909090909090909
0.07692307692307692308
0.06666666666666666667
0.05882352941176470588
0.005882352941176470588
0.00052631578947362105
f (x+∆x)−f (x)
∆x
3.5
2.16666666666666666666
1.9
1.7857142857142857143
1.72222222222222222218
1.68181818181818181814
1.65384615384615384622
1.6333333333333333332
1.6176470588235294116
1.51176470588236
1.50105263157872
mostra valores aproximados da derivada de f no ponto x = 2 para
distintos valores de ∆x.
(c) (V)[ ](F)[ ] Na tabela 2b, o erro é menor do que 1.51176470588236
como valor aproximado da derivada f ′ (2) quando ∆x = 0.005882352941176470588.
(d) (V)[ ](F)[ ] Na tabela 2b, o erro de 1.51176470588236 como valor
aproximado da derivada f ′ (2) é menor do que 0.0011 quando ∆x =
0.005882352941176470588.
(e) (V)[ ](F)[ ] Na tabela 2b, se consegue uma aproximação para f ′ (2)
com erro menor ou igual a 0.002 quando ∆x = 0.00052631578947362105.
3. Polinômios
(a) (V)[ ](F)[ ] Os pontos (−3, 4), (5, 7) determinam de maneira única
um polinômio de segundo grau.
(b) (V)[ ](F)[ ] Os pontos (−3, 4), (5, 7) determinam de maneira única
um polinômio do primeiro grau.
(c) (V)[ ](F)[ ] Os pontos (−3, 4), (1, −2), (5, 7) determinam de maneira
única um polinômio do segundo grau.
(d) (V)[ ](F)[ ] Pelos pontos (−3, 4), (1, −2), (5, 7) passa uma infinidade
de polinômios do segundo grau.
3
(e) (V)[ ](F)[ ] Pelos pontos (−3, 4), (1, −2), (5, 7) passa uma infinidade
de polinômios do terceiro grau.
4. Cálculo Numérico Computacional
(a) (V)[ ](F)[ ] A tabela
xk
yk
-5
5
-2
2
1
1
4
4
7
8
contém as coordenadas de cinco pontos no plano, x1 , . . . , x1 e a sucessão
dos pontos xk é crescente como apresentada na tabela.
(b) (V)[ ](F)[ ] Existem vários polinômios do quarto grau determinados
pelos pontos da tabela 4a.
(c) (V)[ ](F)[ ] O conjunto de pontos da tabela 4a, determinam de maneira
única um polinômio do quarto grau.
(d) (V)[ ](F)[ ] Determinar um polinômio do quarto grau significa encontrar os seus cinco coeficientes, para o que é necessário ter cinco
condições numéricas.
(e) (V)[ ](F)[ ] Se P for um polinômio do quarto grau, então
P (−5) = 5; P (−2) = 2; P ′ (1) = 1; P (7) = 8; P ′ (7) = 2
determinam de maneira única este polinômio.
5. Valor médio
Leia o programa riemann.cc, ele se encontra na página, no link “programas”. Concentre sua leitura nas funções Riemann() e f(), definidas na
bilioteca
raizes.h
onde se encontra a equação da função cuja integral está sendo calculada,
troque por outra do seu interesse. Compile e rode o programa para calcular
algumas integrais. A forma de compilar se encontra indicada dentro do
código do programa.
(a) (V)[ ](F)[ ] O programa
riemann.cc
Rb
calcula aproximadamente f (x)dx para uma função f definida no
a
programa, com leitura dos limites de integração pelo teclado.
(b) (V)[ ](F)[ ] O programa
riemann.cc
Rb
calcula aproximadamente f (x)dx para uma função f definida na
a
biblioteca raizes, com leitura dos limites de integração pelo teclado.
4
(c) (V)[ ](F)[ ] O programa
riemann.cc
calcula aproximadamente o valor médio integral de uma função f
definida no programa, com leitura dos limites de integração pelo teclado.
(d) (V)[ ](F)[ ] O programa
riemann.cc
calcula aproximadamente o valor médio integral de uma função f
definida na biblioteca raizes.h com leitura dos limites de integração
pelo teclado.
(e) (V)[ ](F)[ ] A expressão (fórmula)
1
p−q
Zq
f (x)dx ; p 6= q ; p, q ∈ [a, b]
p
representa o valor médio de f no intervalo [a, b].