GABARITO
Matemática E – Extensivo – V. 6
Exercícios
01)a) P(1) é sempre igual à soma dos coeficientes de P(x).
b)P(0) é sempre igual ao termo independente de P(x).
c)P(2) é a raiz de P(x), pois P(2) = 0.
a)P(1) = 1³ + 7 . 1² − 17 . 1 −2
P(1) = 1 + 7 − 17 − 2
P(1) = −11
b)P(0) = 0³ + 7 . 0² − 17 . 0 − 2
P(0) = 0 + 0 − 0 − 2
P(0) = −2
c)P(2) = 2³ + 7 . 2² − 17 . 2 − 2
P(2) = 8 + 28 − 34 − 2
P(2) = 0
P(x) = (3x − 1)10
Soma dos coeficientes:
P(1) = (3 . 1 − 1)10
P(1) = 210
P(1) = 1024
Termo independente:
P(0) = (3 . 0 − 1)10
P(0) = (−1)10
P(0) = 1
05)p + q = 1 + 2 = 3
02)a = 11
04)1024 e 1
P(x) = 4x² − ax + 7 e P(2) = 1
P(x) = px³ − qx² + 2x − 1
P(3) = p . 3³ − q . 3² + 2 . 3 − 1 = 14
27p − 9q + 6 − 1 = 14
27p − 9q = 9 (i)
P(2) = 4 . 2² − a . 2 + 7 = 1
16 − 2a + 7 = 1
23 − 2a = 1
−2a = − 22
a = 11
Como 1 é raiz, tem-se que P(1) = 0:
P(1) = p . 1³ − q . 1² + 2 . 1 − 1 = 0
p − q + 1 = 0
p − q = −1 (ii)
03)V – V – V – F
(V) Para m = − 3
P(x) = ((−3)² − 9)x³ + ((−3) + 3)x² + ((−3) + 7)x − 2
P(x) = 0x³ + 0x² + 4x − 2
P(x) = 4x − 2 ⇒ grau 1
(V) Para m = 3
P(x) = (3² − 9)x³ + (3 + 3)x² + (3 + 7)x − 2
P(x) = 0x³ + 6x² + 10x − 2
P(x) = 6x² + 10x − 2 ⇒ grau 2
(V) P(x) nunca terá grau zero, pelo fato de possuir um
termo independente de valor (−2)
(F) Como queremos somar os coeficientes, logo:
m² − 9 + m + 3 + m + 7 − 2 ⇒ m² + 2m − 1
Vamos supor que a soma dos coeficientes dê −6,
logo:
m² + 2m − 1 = −6
m² + 2m + 5 = 0
06)C
Aplicando a fórmula de Bháskara:
Δ = 2² − 4 . 1 . 5
Δ = 4 − 20
Δ = −16
Usando o método da soma:
27p − 9q = 9

p − q = −1
. (−1)
3p − q = 1

−p + q = 1

2p = 2
p =1
Observe que Δ = −16, sendo assim a equação não
possui raízes reais. Logo a soma dos coeficientes
nunca poderá ser −6.
Montando um sistema com (i) e (ii), temos:
27p − 9q = 9 3p − q = 1
⇒

p − q = −1
p − q = −1
Substituindo p = 1 em qualquer uma das equações
obtemos q = 2.
P(x) = (a − 2)x³ + (1 − b)x + (c − 3)
Q(x) = 2x³ + (3 + b)x − 1
Logo:
a−2=2⇒a=4
1 − b = 3 + b ⇒ b = −1
c − 3 = −1 ⇒ c = 2
Matemática E
1
GABARITO
07)a = 4 e b = 8
−2a + 3b + 1 = 29
−2 . 13 + 3b + 1 = 29
−26 + 3b + 1 =29
3b = 54 ⇒ b = 18
b + 4c = 158
18 + 4c = 158
4c = 140 ⇒ c = 35
P(x) = (a + b − 12)x² + (2a − b)x +
2a − b
Se P(x) é identicamente nulo, logo
todos os seus coeficientes são iguais
a zero. Temos:
a + b − 12 = 0 ⇒ a + b = 12 (i)
2a − b = 0 (ii)
Montando um sistema com (i) e (ii) e
solucionando pelo método da adição,
temos:
(x² + x − 2) . (x − 4) − (x + 1) . (x² − 5x + 3) =
= x³ + x² − 2x − 4x² − 4x + 8 − (x³ − 5x² + 3x + x² − 5x + 3) =
= x³ − 3x² − 6x + 8 − (x³ − 4x² − 2x + 3) =
= x³ − 3x² − 6x + 8 − x³ + 4x² + 2x − 3 =
= 0x³ + 1x² − 4x + 5
Logo, a = 0, b = 1, c = −4 e d = 5
Temos que b + d = 1 + 5 = 6
a + b = 12

2a − b = 0

3a = 12
a=4
⇓
a + b = 12 ⇒ 4 + b = 12 ⇒ b = 8
08)A
P(x) = x + a
Como 2 é raiz do polinômio, tem-se
que P(2) = 0
P(2) = 2 + a = 0
a = −2
10)D
11)C
P(x) − P(−x) = x³
ax³ + bx² + cx + 2 − (−ax³ + bx² − cx + 2) = x³
ax³ + bx² + cx + 2 + ax³ − bx² + cx − 2 = x³
2ax³ + 2cx = x³
 1
Logo: 2a = 1 ⇒ a−
= e 2c = 0 ⇒ c = 0
 2 
Temos assim que P(x) = x + 2 ou
P(x) = −x + 2. Utilizando a segunda
informação, P(−2) = 4:
P(x) = x + 2
P(−2) = − 2 + 2 = 0 ≠ 4
P(x) = −x + 2
P(−2) = 2 + 2 = 4
Logo, P(x) = −x + 2
09)a + b + c = 13 + 18 + 35 = 66
P(x) = ax² + (b + c)x − 2a − 3x² + 3cx
+ 3b + 1
P(x) = (a − 3)x² + (b + c + 3c)x + (−2a
+ 3b + 1)
P(x) = (a − 3)x² + (b + 4c)x + (−2a +
3b + 1)
Como P(x) é idêntico a Q(x), temos:
a − 3 = 10 ⇒ a = 13
Temos:
P(−1) = −a + b − c + 2 = 0
b = a + c − 2
 1
b−
= + 0 − 2
 2 
 3
b =− 
 2 
 1 3 
P(1)−
= −
− + 0 + 2 = 1
 2 2 
 3
 1
P(2) = 8−. + 4 . −  + 2 . 0 + 2 = 0
 2 
 2 
12)V − V − F - V
(V) Pelo conceito de divisibilidade.
(V) P(3) = (2 . 3 − 6) . Q(3) + 3 − 10
P(3) = 0 . Q(3) − 7
P(3) = −7
(F) 4x³ + bx² + cx + d = (2x − 6) (mx² + nx − 3) + x − 10
4x³ + bx² + cx + d = 2mx³ + 2nx² − 6x − 6mx² − 6nx + 18 + x − 10
4x³ + bx² + cx + d = 2mx³ + (2n − 6m)x² + (− 5 − 6n)x +8
Logo, D = 8
(V) 2m = 4 ⇒ m = 2
2
Matemática E
GABARITO
13)A
P(x) = (ax² − 2bx + c + 1)5
P(1) = 32
(a . 1² − 2b . 1 + c + 1)5 = 32
(a − 2b + c + 1)5 = 32
a − 2b + c + 1 = 5 32
a − 2b + c + 1 = 2 (i)
P(0) = 0
(a . 0² − 2b . 0 + c + 1)5 = 0
(c + 1)5 = 0
c+1= 50
c+1=0
c = − 1 (ii)
P(−1) = 0
(a . (−1)² − 2b . (−1) + c + 1)5 = 0
(a + 2b + c + 1)5 = 0
a + 2b + c +1 = 5 0
a + 2b + c + 1 = 0 (iii)
Substituindo (ii) em (i) e (iii):
a − 2b + c + 1 = 2
a − 2b − 1 + 1 = 2
a − 2b = 2 (iv)
a + 2b + c + 1 = 0
a + 2b − 1 + 1 = 0
a + 2b = 0 (v)
Montando um sistema linear com (iv) e (v):
a − 2b = 2

a + 2b = 0

2a = 2
15)D
f(x) = (x + b)³, desenvolvendo (x + b)³:
f(x) = x³ + 3bx² + 3b²x + b³
Como f(x) = x³ − 6x² + mx + n, temos que:
3b = −6 ⇒ b = −2
3b² = m ⇒ 3 . (−2)² = m ⇒ m = 12
b³ = n ⇒ (−2)³ = n ⇒ n = − 8
Temos m = 12 e n = −8
16)a = b = 1
a
b
2x
=
+
(x − 1) (x + 1) (x 2 − 1)
soma de fração
2x
a(x + 1) + b(x − 1)
= 2
(x − 1)
(x − 1) . (x + 1)
2x
ax + a + bx − b
= 2
(x − 1)
(x 2 − 1)
(a + b)x + (a − b) = 2x
a + b = 2


a − b = 0

2a = 2
a =1
⇓
a+b=2⇒1+b=2⇒b=1
 1
 1
17)A = C−
= e B =− 
 2 
 2 
a =1
⇓
P(x) = x³ + 0x² + x + 0
P(x) = x³ + x
P(1) = 1³ + 1 = 1 + 1 = 2
 1
a − 2b = 2 ⇒ 1 − 2b = 2 ⇒ b =− 
 2 
x
A
Bx + C
=
+
(x − 1) . (x 2 + 1) (x − 1) (x 2 + 1)
A . (x 2 + 1) + (Bx + C) . (x − 1)
x
=
2
(x − 1) . (x 2 + 1)
(x − 1) . (x + 1)
P(0) = 0³ + a2 . 0² + a1 . 0 + a0 = 0
0 + 0 + 0 + a0 = 0
a0 = 0
x
Ax 2 + A + Bx 2 − Bx + Cx − C
=
2
(x − 1) . (x + 1)
(x − 1) . (x 2 + 1)
P(−i) = (−i)³ + a2 . (−i)² + a1 . (−i) + 0 = 0
i − a2 − a1i = 0
− a2 + (1 − a1)i = 0
Do assunto de números complexo, se a + bi = 0 ⇒ a = 0
e b = 0. Logo a2 = 0 e a1 = 1
14)E
soma de fração
P(x) = x³ + a2x² + a1x + a0
x
(A + B)x 2 + (C − B)x + (A − C)
=
2
(x − 1) . (x + 1)
(x − 1) . (x 2 + 1)
x = (A + B)x² + (C − B)x + (A − C)
Logo:
A + B = 0 ⇒ A = −B (i)
C − B = 1 ⇒ C = 1 + B (ii)
A − C = 0 ⇒ A = C (iii)
Matemática E
3
GABARITO
De (i) e (iii) temos que C = −B. Substituindo em (ii):
C=1+B
−B = 1 + B
−1 = 2B
 1
B =− 
 2 
A = −B
 1
A = − − 
 2 
 1
A−
= 
 2 
Logo:
(i) A + B + C = 1
(ii) A − B + 2C = −2
(iii) −2A = 4
20)4 095
A=C
 1
C−
= 
 2 
Para calcular a soma dos coeficientes, basta fazer P(1).
11 
12
Fazendo P(1) resta somente o somatório ∑  :

k =0  k 
11
a(x − 2) + b(x − 1)
x
=
(x − 1) . (x − 2)
(x − 1) . (x − 2)
x = a(x − 2) + b(x − 1)
x = ax − 2a + bx − b
x = (a + b)x + (−2a − b)
Vamos acrescentar e retirá-lo:
12 12 12
     
  +   +   + … + 12 + 12 − 12
11 12 12
0   1   2 

Logo, 212 − 1 = 4 096 − 1 = 4 095
Para somar os coeficientes basta ter P(1). Logo:
P(1) = ∑ (3k − 1) . 1k = ∑ (3k − 1)
Logo, a . b = (−1) . 2 = − 2
99
99
k =0
k =0
Se resolvermos os primeiros termos do somatório
teremos:
−
1 + 2
+ 5 + 8 + … + 296
k =1
k = 99
Observando melhor, essa soma é a soma de todos os
termos de uma progressão aritmética de a1 = −1,
a100 = 296, r = 3. Logo:
(a + an ) . n (−1+ 296) . 100
= 295 . 50 = 14 750
=
S100 = 1
2
2
B
C
x 2 − 2x + 4 A
+
= +
x 3 + x 2 − 2x x x + 2 x − 1
x 2 − 2x + 4 A(x + 2)(x − 1) + B(x )(x − 1) + C(x )(x + 2)
=
x . (x + 2) . (x − 1)
x 3 + x 2 − 2x
soma de fração
x 2 − 2x + 4 A(x 2 + x − 2) + B(x 2 − x ) + C(x 2 + 2x )
=
x 3 + x 2 − 2x
x 3 + x 2 − 2x
2
2
2
2
x − 2x + 4 Ax + Ax − 2A + Bx − Bx + Cx + 2Cx
=
3
2
3
2
x + x − 2x
x + x − 2x
22)E
x 2 − 2x + 4 (A + B + C)x 2 + (A − B + 2C)x + (−2A )
=
x 3 + x 2 − 2x
x 3 + x 2 − 2x
4
1
212
21)14 750
19)A + B + 2C = −2 + 2 + 2 = 2
12
 a   b 
x
+

=
(x − 3x + 2)  (x − 1)   (x − 2) 
2
k =0
12
Esse somatório é a soma da linha 12 do triângulo de
Pascal (matéria de binômio de Newton). Só falta o
12
termo  .
12
a + b = 1

2a − b = 0

−a =1
a = −1
⇓
a + b = 1 ⇒ −1 + b = 1 ⇒ b = 2
12
12 12
∑  k  =  0  +  1  +  2  + … + 11
k =0
18)C
Temos que A = −2. Substituindo em (i) e (ii) e montando
um sistema, temos que B = 2 e C = 1.
Matemática E
x 3 + 5x 2 + 0x + 6 x 2 + 0x − 3
−x 3 + 0x 2 + 3x
5x 2 + 3x + 6
2
−5x + 0x + 15
3 x + 21
⇓
r(x )
x+5
⇓
q(x )
GABARITO
29)B
23)D
x 4 + x 3 − 7 x 2 + x + 9 x 2 + 2x + 1
−x 4 − 2x 3 − 3x 2
3
x2 − x − 6
2
− x − 8x + x + 9
x 3 + 2x 2 + x
⇓
P(x) = (2x² − 3x + 1) . (3x² + 1) + (−x + 2)
P(x) = 6x4 + 2x² − 9x³ − 3x + 3x² + 1 − x + 2
P(x) = 6x4 − 9x³ + 5x² − 4x + 3
quociente
6x 4 − 9x 3 + 5x 2 − 4x + 3 x − 1
−6 x 4 + 6 x 3
− 6 x 2 + 2x + 9
6 x 3 − 3 x 2 + 2x − 2
− 3x 3 + 5x 2 − 4x + 3
6x 2 + 12x + 6
3x 3 − 3x 2
14x + 15
⇓
resto
2x 2 − 4 x + 3
− 2x 2 + 2x
− 2x + 3
2x − 2
1
24)A
gr(p) = M
 ⇒ gr(p . q) = 2 = gr(p)
gr(q) = N 
30)B
Como gr(p . q) = gr(p) + gr(q) = 2 + N = 2 ⇒ N = 0
−x 4 + 0x 3 − x 2
25)D
2
3x + 0x + 3
x 2 + 0x − 3 x − 1
−x 2 + x
Logo, o coeficiente de 8x² é 8.
−2
⇓
resto
31)A
Sabendo que gr(f) = 4, gr(g) = 3 e gr(h) = 2, temos então:
gr(f . g) = 4 + 3 = 7
28)B
32)D
Os polinômios A(x) e B(x) têm o mesmo grau.
x +1
x−3
−x + 1
27)C
q
r
O grau do polinômio P(x) é:
gr(P) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
Sabemos que P(x) = D(x) . Q(x) + R(x):
P(x) = (x² + 4x + 7) . (x² + 1) + (x − 8)
P(x) = x4 + x² + 4x³ + 4x + 7x² + 7 + x − 8
P(x) = x4 + 4x³ + 8x² + 5x − 1
⇓
x −1
⇓
Como o grau do divisor D(x) é gr(D) = 2, temos que o
grau do quociente Q(x) é:
gr(Q) = gr(P) − gr(D) = 17 − 2 = 15
x2 − 3
− 3x 2 + x − 4
Observe que o grau do polinômio P(x) é gr(P) = 17, pois
P(x) = (x8 + …) . (x9 + …) = x17 + …
26)B
x 4 + 0 x 3 − 2x 2 + x − 4 x 2 + 0 x + 1
Observe que g = 2x² − 3x − 2 = (2x + 1) . (x − 2). Logo,
f é divisivel por 2x + 1 e x − 2.
Matemática E
5
GABARITO
33)A
x 3 − 2x 2 + kx − 3
−x 3 + x 2 − 3x
x2 − x + 3
x −1
2
− x + (k − 3)x − 3
x2 −
x+3
(k − 3 − 1)
⇓
k−3−1=0⇒k−4=0⇒k=4
34)a − b = − 3 − (−7) = − 3 + 7 = 4
2x³ − ax² + bx + 2 ≡ (2x² + 5x − 2) . (cx + d) + 0
resto
2x³ − ax² + bx + 2 ≡ 2cx³ + 2dx² + 5cx² + 5dx − 2cx − 2d
2x³ − ax² + bx + 2 ≡ 2cx³ + (2d + 5c)x² + (5d − 2c)x − 2d
Logo:
2c = 2 ⇒ c = 1
−2d = 2 ⇒ d = −1
2d + 5c = −a ⇒ −2 + 5 = −a ⇒ a = −3
5d −2c = b ⇒ −5 − 2 = b ⇒ b = − 7
35)D
x³ + ax² + bx + 7 ≡ (x² + x + 1) . (cx + d) + 0
x³ + ax² + bx + 7 ≡ cx³ + dx² + cx² + dx + cx + d
x³ + ax² + bx + 7 ≡ cx³ + (d + c)x² + (d + c)x + d
Logo:
c=1
d=7
d+c=a⇒7+1=a⇒a=8
d+c=b⇒7+1=b⇒b=8
a + b = 8 + 8 = 16
36)D
x4 + 4x³ + px² + qx + r ≡ (x³ + 3x² + 9x + 3)(ax + b) + 0
x4 + 4x³ + px² + qx + r ≡ ax4 + bx³ + 3ax³ + 3bx² + 9ax² + 9bx + 3ax + 3b
x4 + 4x³ + px² + qx + r ≡ ax4 + (3a + b)x³ + (9a + 3b)x² + (3a + 9b)x + 3b
Logo:
a=1
3a + b = 4 ⇒ 3 . 1 + b = 4 ⇒ b = 1
9a + 3b = p ⇒ 9 . 1 + 3 . 1 = p ⇒ p = 12
37)k = 2
(k)x³ + (k + 1)x² + (2k)x + 6 ≡ (x² + 2) . (ax + b) + 0
kx³ + (k + 1)x² + 2kx + 6 ≡ ax³ + bx² + 2ax + 2b
Logo:
2b = 6 ⇒ b = 3
b=k+1⇒3=k+1⇒k=2
6
Matemática E
GABARITO
38)E
2x 2010 − 5x 2 − 13x + 7
x2 + x + 1
−2x 2010 − 2x 2009 − 2x 2008
2x 2008 − 2x 2007 + 2x 2005 − 2x 2004 + … + 2x 4 − 2x 3 + 2x − 7
−2x 2009 − 2x 2008 − 5x 2 − 13x + 7
2x 2009 + 2x 2008 + 2x 2007
2x 2007 − 5x 2 − 13x + 7
−2x 2007 − 2x 2006 − 2x 2005
−2x 2006 − 2x 2005 − 5x 2 − 13x + 7
2x 2006 + 2x 2005 + 2x 2004
2x 2004 − 5x 2 − 13x + 7
2x 5 + 2 x 4 + 2 x 3
2x 3 − 5x 2 − 13x + 7
−2 x 3 − 2 x 2 − 2 x
− 7x 2 − 15x + 7
7x 2 + 7x + 7
− 8x + 14
Logo, r(x) = − 8x + 14, calculando r(2) temos: r(2) = − 8 . 2 + 14 = − 16 + 14 = − 2.
39)a + b + c + d = 4 + 16 + 0 + 1 = 21
x 4 + 0x 3 + ax 2 + 0x + b
− x 4 − 2x 3 − 4 x 2
x 2 + 2x + 4
x 2 − 2x + a
−2x 3 + (a − 4)x 2 + 0x + b
2x 3 + 4 x 2
+ 8x
ax 2 + 8x + b
−ax 2 − 2ax − 4a
(8 − 2a)x + b − 4a
Como a divisão é exata, temos: 8 − 2a = 0 ⇒ 8 = 2a ⇒ a = 4 e b − 4a = 0 ⇒ b − 4 . 4 = 0 ⇒ b = 16
x 3 + cx 2 + dx − 3
− x 3 + x 2 − 2x
x2 − x + 2
x + c +1
2
(c + 1)x + (d − 2)x − 3
−(c + 1)x 2 + (c + 1)x − 2(c + 1)
(c + d − 1)x − 2c − 5
Como o resto é igual a −5, temos: −2c − 5 = − 5 ⇒ c = 0 e c + d − 1 = 0 ⇒ 0 + d − 1 = 0 ⇒ d = 1
40)R(4) = 17
Pela divisibilidade, P(x) = Q(x) . D(x) + R(x), temos:
(x − 3)10 . (x² + 1) = Q(x) . (x² − 7x + 12) + R(x)
(x − 3)10 . (x² + 1) = Q(x) . (x− 3) . (x − 4) + R(x)
(x − 3)9 . (x² + 1) = Q(x) . (x − 4) + R(x)
Matemática E
7
GABARITO
43)A
Como buscamos o valor de R(4), temos:
(4 − 3)9 . (4² + 1) = Q(4) . (4 − 4) + R(4)
19 . 17 = Q(4) . 0 + R(4)
17 = R(4)
41)a) Q(x) = 7x² + 15x + 20 e R(x) = 39
b) Q(x) = x³ – 2x² + 5x – 7 e R(x) = 20
7
5
c) Q(x) = 2x4 + x³ + 3x + e R(x) =
2
2
d) Q(x) = 3x² +12x + 30 e R(x) = 59
e) Q(x) = –x4 – x² – 2x + 2 e R(x) = –5
a) 2
b) –3
7
1
–10
–1
7
15
20
39
1
1
1
2
Dividindo x² + 2 por x + 1, pelo método de Briot-Ruffini:
–1 1 0 2
Q1 (x) = x –1
1 –1 3
Dividindo x² + 2 por x − 1:
1 1 0 2
Q2 (x) = x +1
1 1 4
Logo, Q1(3) + Q2(4) = 3 − 1 + 4 + 1 = 7
44)E
–1
8
5
–7 20
1 –2
c)
4
0
4 2
–1 6
2 1
0
5
6
y
–1
4
7
2
Q'(x) = 4x + 2x³ +6x + 5  dividindo por 2 temos:
5
Q(x) = 2x4 + x³ + 3x +
2
1
–2 –14
–1
1
4
59
10
Q'(x) = x² + 4x + 10  multiplicando por 3 temos:
Q(x) = 3x² +12x + 30
e) 2
1 –2 1 0 –6 –1
0
1
1 2+a 4+4a
Temos assim os coeficientes do divisor: 1, −2, −4, 4 ,8.
Logo, D(x) = x4 − 3x³ − 4x² + 4x + 8
1
4
3
2
x
− 1 ≡ (x
−
1) . (ax
+ bx
+
cx + d)
Logo, a = b = c = d = 1.
Temos que Q(x) = x³ + x² + x + 1 ⇒
⇒ Q(−1) = (−1)³ +(−1)² + (−1) + 1 = 0
ou
1
1 0
0 0 –1
1 1 1 1 0
Logo, Q(x) = x³ +x² + x + 1 ⇒ Q(−1) = 0
8
0 –1
m
Como o resto deve ser zero, temos que −2 + m = 0 ⇒
m = 2.
46)A
Q( x )
x4 − 1 ≡ ax4 + (b − a)x³ + (c − b)x² + (d − c)x − d
1 –2 0
1 –1 –1 –1 –2 –2+m
D( x )
0
45)E
1 2 –2 –5
42)D
P( x )
4
Temos:
2 . (4 + 4a) − 2a = −4
8 + 8a − 2a = −4
8 + 6a = −4
6a = − 12
a=−2
Q'(x) = x4 + x² + 2x − 2  multiplicando por −1 temos:
Q(x) = –x4 – x² – 2x + 2
0
Conseguimos descobrir o valor de y do método, pois
y . (−4) + 8 = 0 ⇒ y = 2. Assim, completando o método:
2 1 a
2a –2a 8
4
d) 6
1 a 2a –2a 8
Matemática E
2
2
0
–4
a
2
4
4
8+a
Como P(x) é divisível por D(x), logo o resto é zero.
Temos assim que 8 + a = 0 ⇒ a = −8.
GABARITO
47)B
–2
1 –5
p
2
1
1 –7 14+p –26 –2p
Divisão de x³ + px + qx por x − 1:
1 1 0
p
q
Como P(x) é divisível por x + 2, o resto é zero. Temos
Assim que −26 − 2p = 0 ⇒ −26 = 2p ⇒ p = −13
48)31
1 1+p 1+p+q
Como o resto é 8, temos que: 1 + p + q = 8 ⇒
p + q = 7 (ii).
De (i) e (ii), temos que p = 1 e q = 6.
51)E
m
1 a
a
–a
–6
3
0
Sabendo que P(x) ≡ D(x) . Q(x) + R(x). Logo:
P(x) ≡ (x² − x) . (6x² + 5x + 3) + (−7x) ≡ 6x4 − x³ − 2x² − 10x
Sabemos que m = 2, pois m . 3 − 6 = 0 ⇒ 3m = 6 ⇒
m=2
Completando o método, e substituindo m por 2, temos:
Dividindo P(x) por 2x + 1:
1
6 –1 –2 –10 0
2
6 –4
2
1
a
a
1 2+a 4+3a 3
0
Assim:
2 . (4 + 3a) − a = 3
8 + 6a − a = 3
8 + 5a = 3
a = −1
Com esses resultados sabemos que:
P(x) = x4 − x³ − x² + x − 6
Q(x) = x³ + x² + x + 3
1 –k
–k
Logo, o resto é igual a 5.
x 2 2i
+ x − 2.
3
3
Observe que a raiz de 3x − 6i é:
3x − 6i = 0
3x = 6i
x = 2i
Logo:
49)A
1
–10 5
52)Q(x) =
01. Verdadeiro. P(x) é um polinômio de 4° grau.
02.Verdadeiro. P(x) é divisível por x − 2, pois m = 2.
04.Verdadeiro. P(0) = 04 − 0³ − 0² + 0 − 6 = −6
08.Verdadeiro. P(1) = 14 − 1³ − 1² + 1 − 6 = −6
16.Verdadeiro. Q(x) = x³ + x² + x + 3
0
–a –6
–1
2i
1
0
–2
3
1
2i
6
–12i+3
Observação: 2i . 2i = 4i², mas i² = −1. Logo, 4i² = −4.
Temos que:
Q'(x) = x² + 2ix − 6 ⇒ Q(x) =
x 2 2i
+ x − 2.
3
3
53)C
1 1–k 7–k 6–k
Como P(x) é divisível por x − 1, o resto é zero. Temos
assim que 6 − k = 0 ⇒ k = 6.
Se k = 6, então Q(x) = x² + (1 − k)x + (7 − k) ⇒
Q(x) = x² − 5x + 1
50)D
Divisão de x³ + px + q por x + 1:
–1 1 0
p
q
1
1 0 0 0 ... 0 1
1 1 1 1 ... 1 2
Temos que Q(x) = x49 + x48 + x47 + … + 1 e R(x) = 2.
Logo Q(x) = ∑ x n + 1, mas 1 = x0.
Então, Q(x) = ∑ x n.
49
n =1
49
n= 0
1 –1 1+p –1–p+q
Como o resto é 4, temos −1 − p + q = 4 ⇒
−p + q = 5 (i).
Matemática E
9
GABARITO
54)R(x) = 23
59)E
Pelo teorema do resto, x − 2 = 0 ⇒ x = 2
P(2) = 2³ + 2 . 2² + 5 . 2 − 3 = 8 + 8 + 10 − 3 = 23
55)R(x) = 52
Pelo teorema do resto x + 1 = 0 ⇒ x = − 1
P(x) = (x² − x − 2) . Q(x) + (2x − 1)
P(−1) = ((−1)² − (−1) − 2) . Q(−1) + (2 . (−1) − 1)
P (−1) = (1 + 1 − 2) . Q (−1) + (−2 − 1)
P (−1) = 0 . Q (−1) + (−3)
P (−1) = 0 − 3 ⇒ P (−1) = −3
Pelo teorema do resto, x + 2 = 0 ⇒ x = −2
P(−2) = (−2)6 − (−2)4 + (−2)² = 64 − 16 + 4 = 52
56)Verdadeira.
60)B
Pelo teorema do resto:
i) x − 1 = 0 ⇒ x = 1
 3
ii) 2x + 3 = 0 ⇒ x =− 
 2 
P(x) ≡ (2x² − 3x + 1) . (3x² + 1) + (− x + 2)
P(x) ≡ 6x4 − 9x³ + 5x² − 4x + 3
De i:
P(1) = 2 . 1³ + 5 . 1² − 1 − 6 = 2 + 5 −1 − 6 = 0
61)A
De ii:
3
2
 3
 3
 3  3
P−  = 2 . −  + 5 . −  − −  − 6
 2 
 2 
 2   2 
 3 
27
45
3
P−  = −
+
+ −6 = 0
 2 
4
4
2
Pelo teorema do resto, x − 3 = 0 ⇒ x = 3
P(3) = 4 ⇒ a . 3³ − 2 . 3 + 1 = 4
27a − 6 + 1 = 4
27a − 5 = 4
27a = 9
1
a =
3
58)A
f(x) ≡ (−x² −1) . (x + 2) + (2x + k)
f(x) ≡ −x³ −2x² + x − 2 + k
Como P(1) = 0, logo P(x) é divisível por x − 1.
 3
Como P−  = 0, logo P(x) é divisível por 2x + 3.
 2 
57)A
Pelo teorema do resto, x − 1 = 0 ⇒ x = 1
P(1) = 0
P(x) é divisível
⇓
P(1) = 14 − k . 1³ + 5 . 1² + 5 . 1 + 2k = 0
1 − k + 5 + 5 + 2k = 0
11 + k = 0
k = − 11
10
Pelo teorema do resto. x − 1 = 0 ⇒ x = 1
P(1) = 6 . 14 − 9 . 1³ + 5 . 1² − 4 . 1 + 3
P(1) = 6 − 9 + 5 − 4 + 3 = 1
Pelo teorema do resto, x − 1 = 0 ⇒ x = 1
Como f(x) é divisível por x − 1, então f(1) = 0:
f(1) = 0 ⇒ f(1) = −1³ −2 . 1² + 1 − 2 + k = 0
−1 − 2 + 1 − 2 + k = 0
−4 + k = 0
k=4
62)C
 3
Pelo teorema do resto, 2x + 3 = 0 ⇒ x =− 
 2 
 3
P−  = 0
 2 
⇓
2
 3
 3
 3
P−  = −10 . −  − a −  + 3 = 0
 2 
 2 
 2 
9 3a
+
+3=0
4 2
90 3a
+
+3=0
−
4
2
a = 13
−10 .
63)D
Matemática E
P(−1) = Q(−1) . D(−1) + R(−1)
P(−1) = ((−1)³ − 2 . (−1) − 1) . D(−1) + (5 . (−1) + 8)
P(−1) = (−1 + 2 − 1) . D(−1) −5 + 8
P(−1) = 0 . D(−1) − 5 + 8
P(−1) = 0 − 5 + 8
P(−1) = 3
GABARITO
70)B
64)a = 7 − 5i
D(x) = x − (1 + i)
p(x) = 2x4 + 2x2 + x + a e
Pelo teorema do resto, x − 1 − i = 0 ⇒ x = 1 + i
p(1 + i) = 0
2 . (1 + i)4 + 2. (1 + i)² + (1 + i) + a = 0
2 . (−4) + 2 . (2i) + 1 + i + a = 0
−8 + 4i + 1 + i + a = 0
−7 + 5i + a = 0 ⇒ a = 7 − 5i
65)p(1) = 5
p'(−1) = 4 ⇒ p'(−1) = 3 . (−1)³ + 2b . (−1) + c = 4
3 − 2b + c = 4
−2b + c = 1(ii)
De (i) e (ii), temos b = c = − 1
Vamos descobrir o valor de d:
Observe que se dividir p(x) por x − 1 isso resultará em
resto 5. Pelo teorema de resto, x − 1 = 0 ⇒ x = 1.
66)10
02.Verdadeiro.
P(x) = x4 − 5x³ + 10x² − 5x
P(0) = 04 − 5 . 0³ + 10 . 0² − 5 . 0
P(0) = 0
08.Verdadeiro.
P(x) = x4 − 5x³ + 10x² − 5x −21
Pelo teorema do resto, x + 1 = 0 ⇒ x = −1
P(−1) = (−1) 4 − 5 . (−1) ³ + 10 . (−1) ² − 5 . (−1) −21
P (−1) = 1 + 5 + 10 + 5 − 21
P (−1) = 0
67)C
p'(1) = 0 ⇒ p'(1) = 3 . 1³ + 2b . 1 + c = 0
3 + 2b + c = 0
2b + c = −3 (i)
Como p(x) é divisível por x + 3, x − 1 e x + 5, então p(x)
é divisível por (x + 3) . (x − 1) . (x + 5), que possui grau
3. Logo o grau de p(x) é maior ou igual a 3.
Pelo teorema do resto, x − 1 = 0 ⇒ x = 1
p(1) = 2 ⇒ p(1) = 1³ − 1 . 1² − 1 . 1 + d = 2
1 − 1 − 1 + d = 2
d = 3
Temos assim que p(x) = x³ − x² − x + 3.
71)F - V - V - V - F
72)D
P(x) = Q(x) . (3x − 2) + 1
 2
 2
P  = Q  . 0 + 1
 3 
 3 
 2 
P  = 0 + 1
 3 
 2
P  = 1
 3 
(x² − 1) . P(x) = Q1(x) . (3x −2) + k
 2 2   2 
 2

  − 1 . P  = Q1  . 0 + k
 3 
 3 
  3 
2
  2 
 2 
  − 1 . P  = 0 + k

 3 
  3 
5
− . 1 = K
9
5
− = k
9
68)C
P(x) = (x³ + 3x² + 5) . k(x) + (x² + x + 7)
Pelo teorema do resto, k(0) = 2. Logo:
P(0) = (0³ + 3 . 0² + 5) . k(0) + (0² + 0 + 7)
P(0) = (0 + 0 + 5) . 2 + (0 + 0 +7)
P(0) = 5 . 2 + 7
P(0) = 17
69)p = −7 e q = −10
Pelo teorema do resto, x − 2 = 0 ⇒ x = 2
P(2) = 0 ⇒ P(2) = 2 . 2³ + p . 2² + 11 . 2 + q = 0
16 + 4p + 22 + q = 0
4p + q = − 38 (i)
P(1) = −4 ⇒ P(1) = 2 . 1³ + p . 1² + 11 . 1 + q = −4
2 + p + 11 + q = − 4
p + q = −17 (ii)
De (i) e (ii), temos p = − 7 e q = −10.
73)a + b = 1 + 4 = 5
P(x) = (x + 1) . Q(x) + ax + b = 3
P(−1) = (−1 + 1) . Q(−1) + a(−1) + b = 3
0 . Q (−1) − a + b = 3
− a + b = 3 (i)
P(x) = (x − 2) . Q(x) + ax + b = 6
P(2) = (2 − 2) . Q(2) + a . 2 + b = 6
0 . Q(2) + 2a + b = 6
2a + b = 6 (ii)
De i e ii temos a = 1 e b = 4.
Matemática E
11
GABARITO
P(2) = 0
⇓
P(2) = 25 + a . 24 + b . 2² + c . 2 + 1 = 0
32 + 16a + 4b + 2c + 1 = 0
16a + 4b + 2c = − 33 (iii)
3
11
74)R(x) = x +
4
4
P(x) = (x − 3) . Q(x) + ax + b = 5
P(3) = (3 − 3) . Q(3) + a . 3 + b = 5
0 . Q(3) + 3a + b = 5
3a + b = 5 (i)
De i, ii e iii, temos a = − 3, b =
9
−3 .
a.b
2 = 9.
Logo,
=
3
c
−
2
P(x) = (x + 1) . Q(x) + ax + b = 2
P(−1) = (−1 + 1) . Q(−1) + a(−1) + b = 2
0 . Q(−1) − a + b = 2
− a + b = 2 (ii)
De i e ii temos que a =
77)V - V - V - V
(V) Seja ax + b um polinômio qualquer de grau 1. Efetuando a divisão por D(x), temos:
ax + b
x −1
3
11
eb= .
4
4
75)C
−ax + a
Sabendo que:
b)
P(x) = (x² + x) . (x² − 3) + (ax
+
P(x) = x4 − 3x² + x³ − 3x + ax + b
P(x) = x4 + x³− 3x² + (− 3 + a)x + b
Pelo teorema do resto, temos x − 1 = 0 ⇒ x = 1.
⇓
resto
Note que o resto é igual à soma dos coeficientes.
x
(V) Seja gr(P) = 1, então: ax + b
−ax
−ax
De i e ii, temos que a = 2. Logo, o termo de grau 1
é −3 + a = −3 + 2 = −1.
76)E
2
x
ax 2 + b
0 + bx
− bx
Se R(x) = ax + b, então R(4) = 4a + b = 10 (ii).
Pelo teorema do resto, sabemos:
0+c=c
⇓
resto
Seja gr(P) = 3, então: ax 3 + bx 2 + cx + d
−ax
3
x
2
ax + bx + c
0 + bx 2
P(1) = 2
⇓
P(1) = 15 + a . 14 + b . 1² + c . 1 + 1 = 2
1 + a + b + c + 1 = 2
a + b + c = 0 (i)
− bx
2
0 + cx
− cx
P(−1) = 3
⇓
P(−1) = (−1)5 + a . (−1)4 + b . (−1)² + c . (−1) + 1 = 3
−1 + a + b − c + 1 = 3
a + b − c = 3 (ii)
12
a
0+b = b
⇓
resto
Seja gr(P) = 2, então: ax 2 + bx + c
P(1) = 0
⇓
P(1) = 14 + 1³− 3 . 1² + (− 3 + a) . 1 + b = 0
1 + 1− 3 + (− 3 + a) + b = 0
− 1 − 3 + a + b = 0
a + b = 4 (i)
a
a +b
R( x )
 3
9
e c =− .
 2 
2
0+d=d
⇓
resto
Então podemos afirmar que o resto vai ser igual ao
termo independente.
Matemática E
GABARITO
(V) Da 1a afirmação temos que o resto da divisão de P(x) por um binômio D(x) = x − 1 é igual à soma dos coeficientes.
40
Então R(x) é igual a ∑ (5n + 1),.porém
os coeficientes desse polinômio são os termos de uma P.A. de razão igual a
xn
n=0
5. Logo:
(1+ 201) . 41
S41 =
= 4141
2
(V) Pelo teorema do resto: x + 1 = 0 ⇒ x = −1
Substituindo em P(x), temos:
29 
29
P(−1) = ∑   . (−1)n  desenvolvendo


n= 0  n 
29
29
 29 
29
29 29
 29  29
P(− 1) =  (−1)0 +  (−1)1 + … + 
(−1)n − 1 +  (−1)n =   −   + … + 
− 
 0 
 1 
n − 1
 n 
 0   1 
n − 1  n 
Note que os elementos desse somatório são os mesmos do triângulo de Pascal. E sabemos que os coeficientes
binomiais equidistantes pertencentes à mesma linha possuem valores numéricos iguais, ou seja:
29 29
29  29 
  −   = … = −   + 
 = 0.
 0   n 
 1  n − 1
Então P(−1) = 0. Logo P(x) é divisível por D(x).
78)−2
P(x) = x³ − 1000x² − 10002x + 9999. Escrevendo os coeficientes em potência de 10, temos:
P(x) = x³ −104 . x² − (104 + 2)x + (104 − 1)
Pelo teorema do resto, x − 10001 = 0 ⇒ x = 104 + 1. Logo:
P(104 + 1) = (104 + 1)³ −104 . (104 + 1)² −(104 + 2) . (104 + 1) + (104 − 1)
= (104 + 1)² . [104 + 1 − 104] − 108 − 104 − 2 . 104 − 2 + 104 − 1
=108 + 2 . 104 + 1 − 108 − 104 − 2 . 104 − 2 + 104 − 1
= − 2
Matemática E
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