RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA
1a SÉRIE DO ENSINO MÉDIO
DATA: 07/08/10
PROFESSOR: ROBERTO CIDREIRA
Na figura, o ponto R representa a localização, a beira-mar, de uma usina que capta e trata o esgoto de
certa região. Com o objetivo de lançar o esgoto tratado no ponto T, uma tubulação RQT deverá ser
construída.
2 km
CAIS
P
x
Q
R
O ponto T situa-se a 800 m do cais, em frente ao ponto P, que dista 2 km de R, conforme a ilustração
acima. O custo da tubulação usada no trajeto retilíneo RQ, subterrâneo ao longo do cais, é de 100 reais
por quilômetro, e o custo da tubulação usada na continuação QT, também retilínea, porém submarina,
é de 180 reais por quilômetro. Sendo x a medida de PQ, em quilômetro, a função f que expressa o
custo por quilômetro, em real, da tubulação RQT em termos de x, é dada por:
2 km
CAIS
P
800 m = 0,8 km
x
Q
R
k
T
1o PASSO
2o PASSO
(0,8)2 + x2 = k2
f(x) = (2 – x) . 100 +
2
2
k = x + 0,64
k = x 2 + 0,64
x 2 + 0,64
f(x) = 200 – 100x + 180
x 2 + 0,64
*
*
*
Seja a função f : N → N tal que f(n + 1) = (n + 1) . f(n), para todo n ∈ N .
O valor x =
f (8) − f (7)
, é:
f ( 7)
f(7 + 1) = (7 + 1) . f(7)
f(8) = 8 . f(7)
8 . f (7) − f (7) 7f (7)
=
f (7)
f ( 7)
Resp.: 7
O domínio da função f (x ) =
x+1>0
x > –1
I
1
x +1
−
1
x −1
é:
x–1>0
x>1
–1
II
I ∩ II
1
1
Resp.: ]1; +∞[
Qual das funções a seguir não tem raiz real?
x −1= x
2
x–1=x
2
x –x+1=0
∆=1–4
∆ = –3
Resp.: t( x ) = x − 1 − x
Dada as funções reais f(x) = 2 – 3x e g(x) = 3x + k, determine o valor de k de modo que f(g(x)) = g(f(x)).
fog(x) = 2 – 3 (3x + k)
f(g(x)) = 2 – 9x – 3k
2 – 9x – 3k = 6 – 9x + k
4k = –4
k = –1
Resp.: –1
g(f(x)) = 3(2 – 3x) + k
g(f(x)) = 6 – 9x + k
Qual dos gráficos abaixo, melhor se adapta a uma função bijetora com domínio R e contradomínio R?
01)
y
0
02)
x
04)
y
0
03)
y
0
0
x
O eixo OX é a assíntota da curva que
representa o gráfico da função.
y
x
As linhas pontilhadas são as assíntotas
das curvas que representam o gráfico
da função.
05)
x
y
0
x
Um pequeno comerciante investiu R$ 300,00 na produção de bandeiras do seu time favorito, para
venda em um estádio de futebol. Foram vendidas x bandeiras ao preço de R$ 8,00 cada uma.
Então o lucro L(x) obtido na venda de x bandeiras é dado por:
Resp.: L(x) = 8x – 300
*
A função real definida por f(x) = kx + m é ímpar, onde k ∈ R , m ∈ R e f(–1) = 3. Então a soma das
 x2 
 é:
raízes da equação f (f (x )) = f  −
 3 
o
o
1 PASSO
2 PASSO
f(–1) = k(–1) + m = –k + m = 3
k + m = −3
f(1) = k(1) + m =
m=0
f(x) = –3x
f(f(x)) = –3 (–3x)
f(f(x)) = + 9x
 x2 
 x2 
 = −3 −

f  −
 3 
 3 
–k + 0 = 3
 x2 
 = x 2
f  −
3


–k = 3
k = –3
2
x = 9x
2
x – 9x = 0
x(x – 9) = 0
x=0
x=9
Resp.: 9
Para a produção de um alimento matinal, uma indústria utiliza dois tipos de cereal, A e B, na razão
3
,
2
nessa ordem. O custo por quilograma do cereal A é R$ 5,00 e do cereal B é R$ 3,00.
A função que expressa o custo C de x kg da mistura dos dois cereais empregados na produção do
alimento é:
3 A + 2B =
100
= 200 g
5
3(0,2) . 5 + 2(0,2) . 3
3 + 1,2
C(x) = 4,2 x
C(x ) =
42
x
10
C( x ) =
21x
5
Resp.: C( x ) =
21x
5
O gráfico da função y = f(x), representado a seguir, é formado por duas semicircunferências.
y
3
2
1
–3
–6
–5 –4
–2
–1
0 1
–1
2
3
4
5
6
x
–2
–3
A partir da análise da situação proposta, é correto afirmar:
(01) F
(02) F
(04) F
(08) V
(16) V
(32) V
5
6
Uma câmara escura de orifício fornece a imagem de um prédio, o qual se apresenta com altura de
5 cm. Aumentando-se de 100 m a distância do prédio à câmara, a imagem se reduz para 4 cm de
altura.
Qual é a distância entre o prédio e a câmara, na primeira posição?
H x
=
5 d
H x + 100
=
4
d
Hd = 5x
Hd = 4x + 400
x = 400 m
Resp.: 400 m
Uma placa quadrangular de madeira tem dimensões 40 cm x 40 cm. Através de um fio que passa pelo
baricentro, ela é presa ao teto de uma sala, permanecendo horizontalmente a 2,0 m do assoalho e a
1,0 m do teto. Bem junto ao fio, no teto, há uma lâmpada cujo filamento tem dimensões desprezíveis.
Qual a área da sombra projetada pela placa no assoalho, em m² ?
3
1
=
x 40
1m
3m
40
x = 120 cm = 1,2 m
1,44 m
2
2m
x
Resp.: 1,44
Para medir a altura de um prédio, Professor Roberto cravou uma estaca, verticalmente no chão, mediu
a estaca, sua sombra e a sombra do prédio. Os valores que encontrou estão indicados na figura a
seguir.
Qual a altura, aproximada, do prédio?
O esquema representa o corte de uma câmara escura de orifício, diante da qual existe um corpo
luminoso AB de 40 cm de comprimento:
Considerando a = 100 cm e b = 20 cm, determine o aumento linear da imagem.
40
x
=
100 20
5
x = 8 cm
Resp.: 0,2
A=
8
1
= = 0,2
40 5
A figura a seguir representa uma fonte extensa de luz L e um anteparo opaco A, dispostos paralelamente ao solo (S):
O valor mínimo de h, em metros, para que sobre o solo não haja formação de sombra, é:
80 60
=
2
h
40h = 60
h=
60
= 1,5h
40
Resp.: 1,5