Sistemas lineares
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
1
4
2
Sistemas lineares
0011
 A tabela abaixo mostra a classificação dos
0010 1010 1101 0001 0100 1011
quatro candidatos a um emprego: Paulo, Carla,
Sara e Ana. Haviam apenas três vagas.
Port. Mat. Inf. Pontos
Resultado
1
Carla
8
6
3
47
Classif.
Paulo
6
7
5
43
Classif.
Sara
4
8
9
41
Classif.
Ana
4
9
8
40
Desclassif.
Prof. Jorge
4
2
(17)
(18)
(21)
(21)
Sistemas lineares
0011
 Ana utilizou seus conhecimentos de matemática
0010 1010 1101 0001 0100 1011
e imaginou os seguintes pesos.
 Português: x; Matemática: y; Informática: z
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8x + 6y + 3z = 47
→ Carlos
6x + 7y + 5z = 43
→ Paulo
4x + 8y + 9z = 41
→ Sara
4x + 9y + 8z = 40
→ Ana
1
4
2
Equações Lineares
 As equações que Ana obteve têm muitas coisas
0011 001
0 1 0 1 comum.
0 1 1 0 1 0 0 0 1 0Vamos
1 0 0 1 0 1 1 analisar
em
por exemplo a
equação
4x + 9y + 8z = 40
 É uma equação de 1º grau.
1
– Os três termos do 1º membro são de 1º grau.
– O termo do segundo membro é de grau zero
(independe de qualquer variável).
4
2
 Uma equação desse tipo é chamada de equação linear.
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Equações lineares
 De maneira geral, se a1, a2, a3, ..., an, b são
constantes reais e x1, x2, x3, ..., xn são variáveis
reais, uma equação linear é do tipo.
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b
 x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas;
1
4
 a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes;
 b é o termo independente;
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2
Equações lineares
 Na equação linear 4x + 9y + 8z = 40, temos.
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
 x, y e z são as incógnitas;
 4, 9 e 8 são os coeficientes;
 40 é o termo independente;
Prof. Jorge
1
4
2
Equações lineares
 Para refletir.
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
analise o grau das equações abaixo.
Nenhuma das quatro é linear. Por quê?
 x2 + 3y = 5;
 xy – 3y + z = 12;
 √x + y + z = 1;
 2x –
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1
=0
y
1
4
2
Soluções de uma equação linear
 Considere a equação 4x + 9y + 8z = 40
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
x=1
y=4
z=0
x=3
y=2
z=1
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4.1 + 9.4 + 8.0 = 40
(Verdadeira)
4.3 + 9.2 + 8.1 ≠ 40
(falsa)
1
4
2
Soluções de uma equação linear
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
 Solução de uma equação linear é toda
seqüência de valores reais das incógnitas
que tornam uma igualdade verdadeira.
1
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4
2
Exemplo
 Calcular a constante real a, sabendo que a
0011 001
0 1 0 1 0 1 1 0 1 0(1,
001 0
1 0 0 4)
1 0 1 1é solução da equação linear
sequência
–3,
2x + ay – z = 4.
Substituindo x = 1; y = –3 e z = 4 na equação, temos
2.1 + a.(–3) – 4 = 4
→ 2 –3a – 4 = 4
→ –3a = 6 →
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a = –2
1
4
2
Número de soluções de uma equação linear
1ª. Equação: 2x = 8
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
2x = 8 →
x=4
1
2
Portanto a única solução da equação 2x = 8 é x = 4.
Prof. Jorge
4
Número de soluções de uma equação linear
2ª. Equação: 0x = 3
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Não existe número real que, multiplicado por 0,
resulte 3. Logo, a equação não têm solução.
1
Prof. Jorge
4
2
Número de soluções de uma equação linear
3ª. Equação: x + 3y = 8
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Nessa equação o valor de uma incógnita depende
do valor da outra (x = 8 – 3y).
1
y=3
→
x = 8 – 3.3 →
x = –1 → (–1, 3)
y=2
→
x = 8 – 3.2 →
x=2
→ (2, 2)
y=1
→
x = 8 – 3.1 →
x=5
→ (5, 1)
4
Essa equação tem infinitas soluções.
Prof. Jorge
2
Equação homogênea
 Uma
equação
linear
em
que
o
termo
0011 001
0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0é
1 0 00
1 0 1(zero)
1
independente
é chamada equação
linear homogênea?
 2x – y = 0 → é uma equação linear homogênea
 x + y – 5 = 0 → Não é equação linear
homogênea
→ x+y=5
1
4
2
→ Toda equação linear homogênea admite uma
solução óbvia: Aquela em que todas as incógnitas
são iguais a 0.
Prof. Jorge
Equação nula
 Uma equação linear que tem todos os
0011 001
0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0iguais
1 0 1 0 0 1a
0 10
1 (zero) é chamada equação
coeficientes
linear nula?
 0x + 0y + 0z = 0 → é uma equação linear nula
1
2
→ Toda sequência de n números reais é uma
solução de uma equação nula, com n incógnitas.
Prof. Jorge
4
Equação impossível ou incompatível
 Chama-se linear
0011 001
0 1010 11
0 1 0que
001 0100
aquela
em
impossível
ou
incompatível
1011
 todos os coeficientes são iguais a 0.
 o termo independente é diferente de 0.
1
2
 0x + 0y = 3 → é uma equação linear impossível
Prof. Jorge
4
Equação com variáveis naturais
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Em certos problemas, aparecem equações
lineares com restrições ao universo das
variáveis. Nesses casos, o número de soluções
da equação pode ser finito, mesmo que haja
duas ou mais incógnitas.
1
Prof. Jorge
4
2
Exemplo
 Tenho uma nota de 50 reais, e quero trocá-la por
0011 001
0 1 0 1 0 1de
1 0 1 010
0 0 1 0reais
1 0 0 1 0 1e
1 5 reais. Preciso de pelo
notas
menos uma de cada tipo. De quantas formas
posso receber o troco?
x, número de notas de 10 reais e y, número de notas
de 5 reais.
10x + 5y = 50 → 2x + y = 10
x=1 →y=8
x=3 →y=4
x=2 →y=6
x=4 →y=2
Prof. Jorge
1
4
2
Sistemas lineares
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
1
4
2
Sistemas lineares
0011
 Um conjunto formado apenas por equações
0010 1010 1101 0001 0100 1011
lineares é chamado de sistema linear.
x + 2y = 3
x–y=5
2x – y +z – t = 0
x – 2y + t = 0
3x + y – 2z = 0
Prof. Jorge
Sistema linear com 2 equações
e 2 incógnitas (x, y).
1
2
Sistema linear com 3
equações e 4 incógnitas
(x, y, z e t).
4
Sistemas lineares
0011
 Todo sistema linear pode ser representado na
0010 1010 1101 0001 0100 1011
forma matricial.
2x + y = 3
x – 2y = 0
5x + y = 0
A=
2
1
1
–2
5
1
Matriz dos
coeficientes
Prof. Jorge
X=
x
Y
Matriz das
incógnitas
3
B=
0
1
4
0
2
Matriz dos termos
independentes
Sistemas lineares
 Veja a representação matricial do sistema abaixo.
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
2x + y = 3
x – 2y = 0
5x + y = 0
2
A.X = B
→
1
5
Prof. Jorge
1
–2 .
1
x
Y
3
=
0
1
4
1
2
Soluções de um sistema linear
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
 Se uma seqüência é solução de todas as
equações de um sistema, dizemos que ela é
uma solução do sistema.
1
Prof. Jorge
4
2
Exemplos
 No sistema linear
x+y=5
2x
0011 0010 1010 1101 0001 0100 10
11
(2, 3) é solução →
2 + 3 = 5 (V)
2.2 – 3 = 1 (V)
(3, 2) não é solução →
Prof. Jorge
–y=1
3 + 2 = 5 (V)
2.2 – 3 = 1 (F)
1
4
2
Exemplos
 Calcular a e b, para que a sequência (3, 1) seja
0011 001
0 1 0 1 0 1 1 0do
1 0 sistema
0 0 1 0 1 0 0 1 0linear
11
solução
x + ay = 1
ax – y = b + 3
1
Vamos fazer x = 3 e y = 1 nas duas equações.
1ª equação: 3 + a.1 = 1 → a = –2
2ª equação: –2.3 – 1 = b + 3
4
→ –7 = b + 3 → b = –10
Prof. Jorge
2
Soluções de um sistema linear homogêneo
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
 Num sistema linear homogêneo, todas as
equações são homogêneas. Por isso admite
a solução trivial, a sequência (0, 0, 0, ..., 0).
1
Prof. Jorge
4
2
Exemplos
 O sistema linear abaixo é homogêneo.
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
x – 2y = 0
–3x + 6y = 0
(0, 0) é solução →
0 – 2.0 = 0 (V)
–3.0 + 6.0 = 0 (V)
(2, 1) também é solução →
2 – 2.1 = 0 (V)
–3.2 + 6.1 = 0 (V)
Prof. Jorge
1
4
2
Número de soluções de
um sistema linear
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
1
4
2
Número de soluções de um sistema linear

x – 3y = 4
–2x + 6y = 3
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Na 1.ª equação, x = 4 + 3y. Subst. na 2.ª equação,
1
–2(4 + 3y ) + 6y = 3 → –8 – 6y + 6y = 3
→ 0y = 11
4
2
Um sistema linear pode não ter solução. No
caso, ele é chamado sistema impossível (SI).
Prof. Jorge
Número de soluções de um sistema linear
 Veja a análise geométrica do sistema
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
y
x – 3y = 4
–2x + 6y = 3
r2
r1
Prof. Jorge
O
1
x
4
2
Número de soluções de um sistema linear

3x – y = 5
x+y=7
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Na 1.ª equação, y = 3x – 5. Subst. na 2.ª equação,
x + 3x – 5 = 7
→ 4x = 12 → x = 3
1
→ y = 3.3 – 5 → y = 4
Solução (3, 4)
4
2
Um sistema linear pode ter uma única solução.
No caso, ele é chamado sistema possível e
determinado (SPD).
Prof. Jorge
Número de soluções de um sistema linear
 Veja a análise geométrica do sistema
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
y
3x – y = 5
r1
x+y=7
4
O
Prof. Jorge
3
1
x
r2
4
2
Número de soluções de um sistema linear

x – 2y = –5
–2x + 4y = 10
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Na 1.ª equação, x = 2y – 5. Subst. na 2.ª equação,
–2(2y – 5) + 4y = 10 → –4y + 10 + 4y = 10
→ 0y = 0
1
4
2
Um sistema linear pode ter infinitas soluções.
No caso, ele é chamado sistema possível e
indeterminado (SPI).
Prof. Jorge
Número de soluções de um sistema linear
 Veja a análise geométrica do sistema
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
y
x – 2y = –5
r1≡ r2
–2x + 4y = 10
O
Prof. Jorge
1
x
4
2
Número de soluções de um sistema linear
Sistema linear (S)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Não
Tem solução?
Impossível (SI)
Sim
Possível (SP)
Apenas
uma
Quantas?
Determinado
(SPD)
Prof. Jorge
1
2
Infinitas
4
Indeterminado
(SPI)
Sistemas escalonados
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
1
4
2
Sistemas Escalonados
 Observe os sistemas lineares abaixo.
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
2x + 5y = 4
0x – 3y = 6
2x – 3y + z – 5t = 3
0x + 5y – z + 3t = 1
1
0x + 0y + 0z – t = 2
4
 Sistemas que aparecem dessa forma são
chamados de sistemas escalonados
Prof. Jorge
2
Exemplos
 Os sistemas a seguir são escalonados. Analisar
0011 001
0 1eles
0 1 0 1 1são
0 1 0 0possíveis
0 1 0 1 0 0 1 0 1 1ou impossíveis.
se
x – 2y + z = 3
a)
0x + y – z = 2
0x + 0y + 0z = 3
2x – y + z = 3
a)
0x + y – 3z = 1
0x + 0y + 0z = 0
Prof. Jorge
→ Sistema impossível (SI)
1
4
→ Sistema possível (SP)
2
Regras – sistemas escalonados
 Da análise dos sistemas
0011 001
0 1 0 1 0 1 1 0 1 regras:
0001 0100 1011
seguintes
vistos,
tiramos
as
Regra 1
Em um sistema escalonado, as equações nulas
devem ser eliminadas, já que não influenciam na
resolução do sistema.
Regra 2
1
4
2
Um sistema escalonado é impossível só quando
apresenta
uma
equação
impossível;
caso
contrário o sistema é possível.
Prof. Jorge
Exemplos
 O sistema abaixo é escalonado e possível. Resolvê-lo
e verificar se ele é determinado ou indeterminado.
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
x–y+z=4
0x + y – z = 2
0x + 0y + 3z = 3
 Número de equações (3)
é igual ao número de
incógnitas (3) → SPD
1
3.ª equação:
3z = 3 →
2.ª equação:
y–z=2 → y–1=2 →
1.ª equação:
x–y+z=4 → x–3+1=4
→
x=6
z=1
y=3
4
→ Solução (6, 3, 1)
Prof. Jorge
2
Exemplos
 O sistema a seguir também é escalonado e possível.
Resolvê-lo e analisar se ele é determinado ou
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
indeterminado.
x–y+z=3
0x + y – 2z = 3
0x + 0y + 0z = 0
1
2
 A última equação é nula. Por isso, ela deve ser
eliminada.
x–y+z=3
0x + y – 2z = 3
Prof. Jorge
4
 O número de equações
restantes (2) é menor que
o número de incógnitas (3)
→ SPI
Exemplos
x–y+z=3
 Incógnita livre: z
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
0x + y – 2z = 3
Incógnita livre: z = k
2.ª equação: y – 2z = 2 → y – 2k = 3 → y = 2k + 3
1
2
1.ª equação: x – y + z = 3 → x – (2k + 3) + k = 3
→ x – 2k – 3 + k = 3
Solução geral:
(k + 6, 2k + 3, k)
Prof. Jorge
→ x=k+6
4
k = 1 → (7, 5, 1)
k = –1 → (5, 1, –1)
...
Regras – sistemas escalonados
 Da análise dos dois últimos problemas, tiramos a
0011 001
0 1 0 1 0 1 1 0 1regra:
0001 0100 1011
seguinte
Regra 3
De um sistema possível, retiram-se as equações
nulas. Se m é o número de equações restantes e
n é o número de incógnitas, o sistema é
→ determinado, se m = n.
→ indeterminado, se m < n.
Prof. Jorge
1
4
2
Discussão de um sistema escalonado
alguma
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 Existe
0001 010
0 1011
equação
do tipo impossível
Sim
Não
Impossível (SI)
Possível (SP)
m = n?
Determinado
(SPD)
Prof. Jorge
1
2
m < n?
4
Indeterminado
(SPI)
Sistemas com
coeficientes paramétricos
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
1
4
2
Exemplo
 Discutir, em função dos parâmetros m e n, o
0011 001
0 1010 1101 0001 0100 1011
sistema
x – 2y + z = 3
0x + y – 5z = 7
0x + 0y + mz = n – 1
1
2
 O sistema está escalonado. Para discuti-lo, vamos
analisar as três hipóteses possíveis, a partir da
última equação.
Prof. Jorge
4
Exemplo
 Discutir, em função dos parâmetros m e n, o
0011 001
0 1010 1101 0001 0100 1011
sistema
x – 2y + z = 3
0x + y – 5z = 7
0x + 0y + mz = n – 1
 Sistema impossível (SI)
A última equação deve ser impossível.
m=0
n–1≠0
Prof. Jorge
→
m=0
n≠1
1
4
2
Exemplo
 Discutir, em função dos parâmetros m e n, o
0011 001
0 1010 1101 0001 0100 1011
sistema
x – 2y + z = 3
0x + y – 5z = 7
0x + 0y + mz = n – 1
 Sistema possível e determinado (SPD)
1
Número de equações igual ao de incógnitas.
m≠0
4
n deve ser um número real qualquer.
Prof. Jorge
2
Exemplo
 Discutir, em função dos parâmetros m e n, o
0011 001
0 1010 1101 0001 0100 1011
sistema
x – 2y + z = 3
0x + y – 5z = 7
0x + 0y + mz = n – 1
1
 Sistema possível e indeterminado (SPI)
A última equação deverá ser nula.
m=0
n–1=0
Prof. Jorge
→
m=0
n=1
4
2
Escalonamento de
sistemas
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
1
4
2
Método de eliminação de Gauss
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
 Permite transformar um sistema linear qualquer
em outro equivalente (de mesma solução),
porém na forma escalonada.
1
2
 São feitas transformações no sistema linear,
baseadas em alguns princípios de equivalência
de sistemas.
Prof. Jorge
4
Sistemas equivalentes
0011
 Dois ou mais sistemas que tenham exatamente
são chamados sistemas
0 0 1as
0 1 0 1mesmas
0 1 1 0 1 0 0 0 1 soluções
0100 1011
equivalentes.
2x + y = 5
x–y=1
e
Ambos
os
sistemas
determinados.
x+y=3
3x + y = 7
são
A solução é a sequência (2, 1).
Prof. Jorge
1
possíveis
2
e
4
Princípios de equivalência de sistemas
0 0 1 1 0 0 11.º
0 1 0 Princípio
10 1101 0001 0100 1011
Trocar de posição, entre si, duas equações do
sistema.
2.º Princípio
1
2
Multiplicar (ou dividir) os dois membros de uma
equação do sistema por uma constante não-nula.
Prof. Jorge
4
Princípios de equivalência de sistemas
0 0 1 1 0 0 13.º
0 1 0 Princípio
10 1101 0001 0100 1011
Substituir uma equação pela soma, membro a
membro, dela com outra equação, podendo ser
ambas multiplicadas, antes por uma constante
real não-nula.
1
Prof. Jorge
4
2
Exemplo
 Escalonar o sistema linear
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
y–z=5
4x + y + z = 15
y–z=5
4x + y + z = 15
–x – y + 8z = 0
–x – y + 8z = 0
1
4x + y + z = 15
Prof. Jorge
2
4x + y + z = 15
y–z=5
–4x – 4y + 32z = 0
4 . E3
y–z=5
E3 + E1
4
–3y + 33z = 15
Exemplo
 Escalonar o sistema linear
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
4x + y + z = 15
y–z=5
–3y + 33z = 15
1
4x + y + z = 15
y–z=5
30z = 30
Prof. Jorge
4
E3 +3.E2
2
Matriz completa de um sistema
 A todo sistema linear podemos associar uma
0011 001
0 1 0 1 0 1 1 0chamada
1 0 0 0 1 0 1 0 0 1matriz
011
matriz,
completa do sistema.
Veja
x – 2y + 3z = 1
1x – 2y + 3z = 1
2y + z = 7
0x + 2y + 1z = 7
–x + z = 5
–1x + 0y + 1z = 5
Matriz completa:
Prof. Jorge
1
–2
3
0
2
1
–1
0
1
1
4
1
7
5
2
Escalonamento pela matriz completa
 Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o
0011 001
0 1010 1101 0001 0100 1011
sistema
2x – y = 5
x + 3y = 1
3x – y = 4
2
–1
5
1
3
1
1
3
1
2
–1
5
3
–1
4
3
–1
4
1
3
1
1
3
1
0
–7
3
0
–7
3
3
–1
4
0 –10 1
Prof. Jorge
-3
-2
1
4
10
7
2
Escalonamento pela matriz completa
 Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o
0011 001
0 1010 1101 0001 0100 1011
sistema
2x – y = 5
x + 3y = 1
3x – y = 4
1
3
1
0
–7
3
0 –10 1
1
3
0 –70
0
0
Prof. Jorge
1
30
–23
1
3
1
10
0 –70 30
7
0 –70 7
-1
1
4
A matriz está escalonada.
A última linha representa a
equação 0x + 0y = –23 → SI
2
Escalonamento pela matriz completa
 Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o
0011 001
0 1010 1101 0001 0100 1011
sistema
x–y+z=1
2x + y – 3z = 5
x – 4y + 6z = –2
1
–1
1
1
2
1
–3
5
L2 – 2L1
L3 – L1
–1
1
→
0
3
–5
3
→
0
–3
5
–3
1
–4
6
–2
1
–1
1
1
1
–1
0
3
–5
3
0
3
0
–3
5
–3
0
0
Prof. Jorge
L3 + L2
1
1
→
1
4
1
1
–5
3
0
0
2
Escalonamento pela matriz completa
 Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o
0011 001
0 1010 1101 0001 0100 1011
sistema
x–y+z=1
2x + y – 3z = 5
x – 4y + 6z = –2
1
–1
1
1
0
3
–5
3
0
0
0
0
1
x–y+z=1
3y – 5z = 3
Prof. Jorge
2
A matriz está escalonada.
A última linha representa a
equação 0x + 0y + 0z = 0 → SPI
4
Escalonamento pela matriz completa
x–y+z=1
0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0Incógnita
1011
3y – 5z = 3
livre: z = k
2.ª equação: 3y – 5z = 3 → 3y – 5k = 3
3 + 5k
3
1.ª equação: x – y + z = 1 → x = y – z + 1
→ y=
3 + 5k
→ x=
3
Solução geral:
Prof. Jorge
2k + 6
3
1
, 3 + 5k , k
3
2
2k + 6
3
4
–k+1 → x=
Escalonamento pela matriz completa
 Discutir, em função dos parâmetros a e b, o
0011 001
0 1010 1101 0001 0100 1011
sistema
x – 2y = 5
3x + ay = b
1
–2
5
3
a
b
L2 – 3L1
→
1
–2
5
0
a+6
b – 15
 Sistema impossível (SI)
a+6=0
b – 15 ≠ 0
Prof. Jorge
→
a = –6
b ≠ 15
1
4
2
Escalonamento pela matriz completa
 Discutir, em função dos parâmetros a e b, o
0011 001
0 1010 1101 0001 0100 1011
sistema
x – 2y = 5
3x + ay = b
1
–2
5
3
a
b
L2 – 3L1
→
1
–2
5
0
a+6
b – 15
 Sistema possível e determinado (SPD)
a+6≠0
Prof. Jorge
→
a ≠ –6
1
4
2
Escalonamento pela matriz completa
 Discutir, em função dos parâmetros a e b, o
0011 001
0 1010 1101 0001 0100 1011
sistema
x – 2y = 5
3x + ay = b
1
–2
5
3
a
b
L2 – 3L1
→
1
–2
5
0
a+6
b – 15
1
 Sistema possível e indeterminado (SPI)
a+6=0
b – 15 = 0
Prof. Jorge
→
a = –6
b = 15
4
2
Escalonamento pela matriz completa
 Discutir, em função do parâmetro m, o sistema
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
x + my = 1
mx + y = 1
1
m
1
m
1
1
1
mL1 – L2
→
0
m
m–1≠0
Prof. Jorge
→
m = ±1
m≠1
1
m2 – 1 m – 1
 Sistema impossível (SI)
m2 – 1 = 0
1
4
→ m = –1
2
Escalonamento pela matriz completa
 Discutir, em função do parâmetro m, o sistema
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
x + my = 1
mx + y = 1
1
m
1
m
1
1
1
mL1 – L2
→
0
m
1
 Sistema possível e determinado (SPD)
m2 – 1 ≠ 0
Prof. Jorge
1
m2 – 1 m – 1
→ m≠±1
4
2
Escalonamento pela matriz completa
 Discutir, em função do parâmetro m, o sistema
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
x + my = 1
mx + y = 1
1
m
1
m
1
1
1
mL1 – L2
→
0
m
1
1
m2 – 1 m – 1
 Sistema possível e indeterminado (SPI)
m2 – 1 = 0
m–1=0
Prof. Jorge
→
m = ±1
m=1
4
→ m=1
2
Escalonamento pela matriz completa
 Discutir, em função do parâmetro k, o sistema
0011 001
0 1010 1101 0001 0100 1011
homogêneo
2x – y + z = 0
x + y – 3z = 0
x + 4y + kz = 0
2
–1
1
0
1
1
–3
0
2L2 – L1
L3 – L2
1
2
–1
1
0
→
0
3
–7
→
0
3 k+3 0
0
1
4
K
0
2
–1
1
0
2
–1
0
3
–7
0
0
3
0
3 k+3 0
0
0 k + 10 0
Prof. Jorge
L3 – L 2
→
4
1
0
–7
0
2
Escalonamento pela matriz completa
 Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o
0011 001
0 1010 1101 0001 0100 1011
sistema
2x – y + z = 0
x + y – 3z = 0
x + 4y + kz = 0
2
–1
1
0
0
3
–7
0
0
0 k+10 0
1
4
 Sistema possível e determinado (SPD)
k + 10 ≠ 0
Prof. Jorge
→ k ≠ -10
2
Escalonamento pela matriz completa
 Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o
0011 001
0 1010 1101 0001 0100 1011
sistema
2x – y + z = 0
x + y – 3z = 0
x + 4y + kz = 0
2
–1
1
0
0
3
–7
0
0
0 k+10 0
1
4
 Sistema possível e indeterminado (SPI)
k + 10 = 0
Prof. Jorge
→ k = -10
2
Regra de Cramer
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
1
4
2
Regra de Cramer
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
 Processo de resolução de sistemas lineares por
meio de determinantes. (Gabriel Cramer 1750)
 A Regra de Cramer é indicada para sistemas
possíveis e determinados, com número de
equações igual ao número de incógnitas.
1
Prof. Jorge
4
2
Regra de Cramer
 Suponhamos o sistema linear abaixo com duas
0011 001
0 1010 1101 e
0 0duas
0 1 0 1 0 incógnitas.
0 1011
equações
a1x + b1y = m
=
x =
y =
a1 b1
a2 b2
m b1
n
b2
a1 m
a2
Prof. Jorge
n
a2x +b2y = n
= a1.b2 – a2.b1
= m.b2 – b1.n
→ x=

y
4
→ y=
= a1.n – m.a2
1
x

2
Exemplo
 Resolver pela regra de Cramer o sistema
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
3x + y = 5
5x – 2y = 12
=
x =
y =
3
1
5
–2
5
= 3.(–2) – 1.5 = –11
1
= 5.(–2) – 1.12 = –22
12 –2
3
5
5
12
Prof. Jorge
1
→ x=
→ y=
= 3.12 – 5.5 = 11
–22
–11
11
4
–11
2
=2
= –1