Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Disciplina: Introdução ao Processo Estocástico
ANOVA:
Análise de Variância
APLICAÇÃO.
Prof. Hani Camille Yehia
Alunos: Augusto Filho
Cléia do N. Cavalcante
Roteiro
•
Modelo de ANOVA
•
Verificação da suposição do Modelo
•
Simulação
•
Exemplo Prático
•
Conclusão
•
Bibliografia
Modelo ANOVA
yij     i  eij
i = 1, 2, 3, ...,k
j = 1, 2, ..., n
Yij ; é valor da variável resposta na j-ésima observação do i-ésimo tratamento.
 : é a a média geral de todos os tratamentos;
i : é o efeito do i-ésimo tratamento;
eij: é o erro aleatório.
Pressuposições Básicas:

As amostra são aleatórias e independentes;

As populações têm distribuições normais;

As populações têm a mesma variância.
Hipóteses e modelo subjacente
Sob H0: 1 = 2 =...= k = 0
yij     i  eij
yij    eij
Hipóteses e modelo subjacente
Sob H1: i  0 para algum i
yij     i  eij
Tabela de Análise de Variância – (ANOVA)
Tabela de Análise de Variância – (ANOVA)
Fonte de
Variação
Soma de
Quadrados
yi2. y..2
 
N
i 1 ni
gl
Quadrados
Médios
k
Tratamentos
SQTRAT
k-1
Erro
SQERRO = SQTotal - SQTRAT
K(n-1)
Total
2
y
  yij2  ..
N
i 1 j 1
Kn -1
k
SQTotal
n
QM TRAT 
SQTRAT
k 1
QM ERRO 
SQERRO
k (n  1)
F
F
QMTRAT
QM ERRO
Simulação
Simulações em populações normais:

Três populações;

Tamanho da amostra: n=30, n=50 e n=1000;

Estrutura de Média

Critério 1 - Médias diferentes com Variâncias Iguais.

Critério 2 – Médias Iguais com Variâncias Iguais;
Simulação
Simulação
Simulação
Regra de decisão: Abordagem Clássica

Rejeito Ho se: F > F (k – 1; k(n - 1)

Não rejeita Ho se: F  F (k – 1; k(n - 1)
Valor-p
Regra de decisão: Abordagem Valor-p
 = nível de significância
(probab. tolerável de se rejeitar Ho quando esta for verdadeira)
Usual:  = 5%

rejeita H0 (prova-se
estatisticamente H1)

Não rejeita H0 (os dados não
mostram evidência para afirmar
H 1)

Valor-p  

Valor-p > 
Verificação da Adequação do Modelo
Um resíduo é definido como:
eij  yij  y i


Resíduo: A diferença entre uma observação e a média do
tratamento correspondente.
As suposições associadas ao modelo, é feita através da analise dos resíduos:
1.
Os erros tem média zero e a mesma variância 2;
2.
Os erros são independentes, ou seja, um valor de um erro não depende
de qualquer outro erro;
3.
Os erros têm distribuição normal.
Logo, os erros são iid N(0, 2).
Verificação da Adequação do Modelo
• Suposição de Independência
Gráfico de Resíduos vs Ordem
• Suposição de Igualdade de Variância
Gráfico de Resíduos vs Médias dos Tratamentos
• Suposição de Normalidade
Gráfico de Probabilidade Normal
Exemplo:
Um fabricante de papel usado para fabricar sacos de papel pardo está interessado em
melhorar a resistência do produto à tensão. A engenharia de produto pensa que a resistência
à tensão seja uma função da concentração de madeira de lei na polpa e que a faixa pratica
de interesse das concentrações de madeira de lei esteja entre 5 e 20%. Um time de
engenheiros responsáveis pelo estudo decide investigar quatro níveis de concentração de
madeira de lei: 5%, 10%, 15% e 20%. Eles decidem fabricar seis corpos de prova, para cada
nível de concentração, usando uma planta piloto. Todos os 24 corpos de prova são testados,
em uma ordem aleatória, em um equipamento de teste de laboratório. Os dados desse
experimento são:
Box-Plot
Boxplot of Madeira vs Concentracao
25
Madeira
20
15
10
5
5
10
15
Concentracao
20
Hipóteses:
Continuação do teste de hipóteses:
Final do teste
Análise dos Resíduos
Residual Plots for Madeira
Normal Probability Plot of the Residuals
Standardized Residual
99
Percent
90
50
10
1
Residuals Versus the Fitted Values
-2
-1
0
1
Standardized Residual
2
2
1
0
-1
-2
Frequency
4,8
3,6
2,4
1,2
0,0
-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5
Standardized Residual
12,5
15,0
17,5
Fitted Value
20,0
Residuals Versus the Order of the Data
Standardized Residual
Histogram of the Residuals
10,0
2,0
2
1
0
-1
-2
2
4
6
8 10 12 14 16 18
Observation Order
20 22 24
Programa usado no Software R.
n<-30
mi1<-19
mi2<-19
mi3<-19
sd<-3
a1<-rnorm(n,mi1,sd)
a2<-rnorm(n,mi2,sd)
a3<-rnorm(n,mi3,sd)
a=c(a1,a2,a3)
n=rep(n,3) #tamanho das amostras
group=rep(1:3,n) #Cuidado aqui.
data = data.frame(a = a, group = factor(group))
fit = lm(a ~ group, data)
anova(fit)
tmpfn = function(x) c(sum = sum(x), mean = mean(x), var = var(x),n = length(x))
tapply(a, group, tmpfn)
tmpfn(a)
Conclusão
Logo a analise de variância pode ser usada para testar a diferença
entre médias de várias populações, mostrando-se que a base usada
para os testes estatisticos em analise de variancia é o
desenvolvimento de duas estimativas independentes da variancia da
população sigma ao quadrado, ao computar a razao destas duas
estimativas, desenvolvemos uma regra de rejeijão para determinar se
rejeitamos a hipotese nula de que as medias das populações são
iguais.
Referência:
Analysis of Variance Tables Based on Experimental Structure
C. J. Brien, Biometrics, Vol. 39, No. 1 (Mar., 1983), pp. 53-59
FISHER, R. A. The logic of inductive inference. J. R. Stat. Soc., v.98, p.34-54,
1935.
MONTGOMERY, D.C. 1988. Design and analysis of experiments. 2nd. John Wiley
& Sons, New York, USA.
SNEDECOR, C.W. and W.G. COCHRAN, 1980. Statistical Methods. 7ed. Iowa
State University Press, Amer. Iowa. USA.
FISHER, R.A. Statistical Methods for Research Workers. 11ª ed. Oliver & Boyd,
Edinburgo. 1950.
Gamerman, D. & Migon, H. (1993). Inferência estatística: uma abordagem
integrada, Textos de métodos matemáticos, UFRJ.
James F. Reed III: Analysis of Variance (ANOVA) Models in Emergency Medicine.
The Internet Journal of Emergency and Intensive Care Medicine. 2004. Volume 7
Number 2. http://www.ispub.com/ostia/index.php?xmlFilePath=journals/ijeicm/vol7n2/anova.xml