ANOVA II
ANOVA II – Dados não relacionados
Utiliza-se a ANOVA II para dados não relacionados quando
se testam duas variáveis, com duas ou mais situações para
cada variável, utilizando casos diferentes em cada uma
das situações de teste.
ANOVA II – Exemplo
Considere-se a variável saldo médio de agências bancárias
do Norte e do Sul (A1 e A2) em dois momentos diferentes
do estado da economia do país: crescimento e depressão
(B1 e B2).
Dezasseis casos diferentes foram distribuídos por quatro
situações de teste distintas: duas situações para cada uma
das variáveis.
ANOVA II
Consulte o ficheiro
ANOVA II
Fontes de variância
Neste design existem duas variáveis, A e B, cada uma
delas com duas situações, mais a interacção entre elas.
Comparativamente com ANOVA I não relacionado, a
variância relativa a SQbet é aqui substituída pela variância
de A, B e AB.
ANOVA II – Fontes de variância
Fonte de variância
Variável A (região)
Variável B (economia)
A  B (interacção)
SQ
SQA
SQB
SQAB
gl
MQ
Rácio F
glA
SQA
glA
MQA
MQerro
glB
SQB
glB
MQB
MQerro
glAB
SQAB
glAB
MQAB
MQerro
SQerro
glerro
Erro
Sqerro
glerro
Total
SQtot
gltot
ANOVA II – Somas de quadrados
Para calcular SQA adicionam-se os quadrados dos totais das
situações para a variável A de forma a poder-se calcular a
variância predita nos resultados devida à variável A.
Para calcular SQB adicionam-se os quadrados dos totais das
situações para a variável B, pela mesma razão.
Para calcular SQAB subtraem-se SQA e SQB de SQbet
(variância total entre situações).
ANOVA II – Somas de quadrados
Para calcular todo o SQbet tem que se elevar ao quadrado e
somar os totais para todas as quatro situações. O símbolo
utilizado é T2ab. Depois, divide-se pelo número de casos
em cada situação (n).
Os parâmetros SQtot e SQerro são calculados da forma usual.
Para SQtot adicionam-se os quadrados de todos os resultados
individuais, uma vez que estes representam a variabilidade
total nos resultados. SQerro é obtido subtraindo a SQtot todas
as outras SQ.
ANOVA II – Graus de liberdade
Os gl são calculados de forma semelhante:
Os gl para SQA são o número de situações para a variável A
menos uma.
Os gl para SQB são o número de situações para a variável B
menos uma.
Os gl para SQAB são os gl para SQA multiplicados pelos gl
para SQB.
Os gl para SQtot são o número total de resultados menos um.
Os gl para SQerro são a diferença entre gltot e os outros gl.
ANOVA II – Rácios F
Os rácios F para A, B e AB representam o tamanho das
variâncias devidas à variável A, variável B e interacção
AB entre as variáveis, em relação à variância do erro.
Para que o valor observado de F seja significativo terá que
ser igual ou superior aos valores críticos de F provenientes
da tabela.
ANOVA II
Parâmetros de cálculo
T2a
Soma dos quadrados dos totais para as
situações A
T2a =452+402
T2b
Soma dos quadrados dos totais para as
situações B
T2b =452+402
T2ab
Soma dos quadrados dos totais para as
situações AB combinadas
T2ab =302+152 +152
+252
n
Número de casos em cada situação
n=4
N
Número total de resultados
N=16
ANOVA II
Parâmetros de cálculo (cont.)
a
Número de situações para a variável A
a=2
b
Número de situações para a variável B
b=2
(x)2
Total dos totais ao quadrado
(x)2 = 852
(x)2/N
Constante a subtrair a todos os SQ
x2
Soma dos quadrados dos resultados
individuais
ANOVA II – Passo a passo
1. Cálculo de SQA
SQA
T


2
a
nb

x


2
N
452  402 852
SQA 

 1,5625
4 2
16
ANOVA II – Passo a passo
2. Cálculo de SQB
SQB
T


2
b
na

x


2
N
452  402 852
SQB 

 1,5625
4 2
16
ANOVA II – Passo a passo
3. Cálculo de SQAB
SQAB
SQAB
T


2
ab
n

x


2
N
 SQA  SQB
302  152  152  252 852


 1,5625 1,5625 39,0625
4
16
ANOVA II – Passo a passo
4. Cálculo de SQtot

x

 x 
N
2
SQtot
2
SQtot  92  82  62  7 2  52  32  32  42  42  32 
2
85
32  52  7 2  52  62  7 2 
 55,4375
16
ANOVA II – Passo a passo
5. Cálculo de SQerro
SQerro  SQtot  SQA  SQB  SQAB
SQerro  55,43751,56251,5625 39,0625 13,25
ANOVA II – Passo a passo
6. Cálculo dos graus de liberdade
glA  númerode situaçõesA 1
glA  2  1  1
glB  númerode situaçõesB 1
glB  2  1  1
glAB  glA  glB
glAB  11  1
gltot  N 1
gltot  16 1  15
glerro  gltot  glA  glB  glAB
glerro  15 1 1 1  12
ANOVA II – Passo a passo
7. Cálculo dos MQ
SQA
MQA 
glA
1,5625
MQ A 
 1,5625
1
SQB
MQB 
glB
1,5625
MQ B 
 1,5625
1
MQAB
SQAB

glAB
MQerro
SQerro

glerro
MQ AB
39,0625

 39,0625
1
MQ erro
13,25

 1,104
12
ANOVA II – Passo a passo
8. Cálculo dos rácios F
F1,12
MQA

MQerro
F1,12
MQB

MQerro
F1,12
MQAB

MQerro
F1,12
1,5625

 1,415
1,104
F1,12
1,5625

 1,415
1,104
F1,12
39,0625

 35,38
1,104
ANOVA II – Passo a passo
9.
Fonte de variância
SQ
gl
MQ
Rácio F
Variável A (região)
1,5625
1
1,5625
1,415
Variável B (economia)
1,5625
1
1,5625
1,415
A  B (interacção)
39,0625
1
39,0625
35,38
Erro
13,25
12
1,104
Total
55,4375
15
ANOVA II – Passo a passo
10. Consultar os rácios F na tabela e concluir.
F1,12 (5%)  4,75
Uma vez que os valores calculados (1,415) para as variáveis A e B
são inferiores aos valores da tabela (4,75), aceita-se a hipótese nula
e conclui-se que os efeitos da região e do estado da economia não
são estatisticamente significativos (a 5% de significância) nas
variações encontradas nos valores dos saldos.
Contudo, o valor observado (35,38) para o rácio F, para a interacção
AB, é superior ao valor crítico da tabela, pelo que se rejeita a
hipótese nula e se conclui que o efeito conjunto das duas variáveis
influencia significativamente os valores dos saldos.
ANOVA II – SPSS
No SPSS,
os dados
devem ser
organizados
da seguinte
forma:
Nota: as
variável
região e
economia
têm que ser
numéricas
(nominais).
Consulte o
ficheiro
ANOVA II – SPSS
No menu, seleccionar:
Analyze  General Linear Model  Univariate...
Colocar a variável saldo na lista de variáveis dependentes.
Utilizar as variáveis região e economia como factores.
Premir OK.
ANOVA II – SPSS
A caixa de
diálogo
deverá ficar
com a
seguinte
configuração:
ANOVA II – SPSS
O resultado é o seguinte:
Tests of Between-Subjects Effects
Dependent Variable: Saldo médio das ag ências
Source
Corrected Model
Intercept
REGIAO
ECONOMIA
REGIAO * ECONOMIA
Error
Total
Corrected Total
Type III Sum
of Squares
42,187a
451,563
1,563
1,563
39,063
13,250
507,000
55,437
df
3
1
1
1
1
12
16
15
Mean Square
14,062
451,563
1,563
1,563
39,063
1,104
F
12,736
408,962
1,415
1,415
35,377
Sig .
,000
,000
,257
,257
,000
Consulte o
ficheiro
a. R Squared = ,761 (Adjusted R Sq uared = ,701)
Para as variáveis região e economia, a significância é superior a 0,05, aceita-se a hipótese nula e conclui-se que há não há diferenças estatisticamente
significativas entre os saldos médios das agências das regiões consideradas.
Para a interacção região*economia conclui-se de forma contrária.