Estatística
13 – Comparação entre várias populações
1) Comparação de Médias (Análise de Variância)
Prof. Antonio Fernando Branco Costa
e-mail: [email protected]
Página da FEG: www.feg.unesp.br/~fbranco
Comparação de Médias de Várias Populações
H 0 : 1  2  ...  k
H1 : PELO MENOS uma das médias é diferente
Amostras:
Assim:
1)
50
2)
50
3)
50
1) 64 66 59 65 62
x1  63,2
2) 71 73 66 70 68
x 2  69,6
3) 52 57 53 56 53
x3  54,2
59
62 64 65 66
60
70
80
66 68 70 71 73
53
52 53
60
70
80
60
70
80
56 57
A partir de uma análise “visual” é razoável supor que
H0 deve ser REJEITADA.
Análise de Variância - ANOVA
Tabela 1: Medida da resistência de três tipos de concretos
Média
Concreto A
69
74
77
70
71
72,2
Concreto B
69
65
69
66
68
67,4
Concreto C
74
77
76
80
69
75,2
Tabela 2: Valores da Tabela (1) subtraídos de 71
Soma
Concreto A
-2
3
6
-1
0
6
Concreto B
-2
-6
-2
-5
-3
-18
Concreto C
3
6
5
9
-2
21
Total
9
Tabela 3: Quadro de análise de variância
Fonte de Soma dos
Variação Quadrados
Graus de
Liberdade
Quadrado
Médio
F
F2,12,1%
7,56
6,93
Fator
154,8**
2
77,4
Erro
122,8
12
10,233
Total
277,6*
14
* SQ total  (4+9+36+1+….+4) - 81/15
** SQfator  (36  324  441) / 5  81 / 15
Análise de Variância - ANOVA
Hipótese Ho
Rejeitada
O que fazer?
Calcular o ZETA
verificar qual i   j
para
Método de Tukey:
os concretos que apresentarem uma diferença da
resistência média nas amostras superior a Zeta,
isto é,
Xi  X j > Zeta, para i, j A, B, C e i  j
serão considerados como tendo diferentes
resistências médias.
Tabela 1: Medida da resistência de três tipos de concretos
Média
Concreto A
69
74
77
70
71
72,2
Concreto B
69
65
69
66
68
67,4
Concreto C
74
77
76
80
69
75,2
Tabela 3: Quadro de análise de variância
Fonte de Soma dos
Variação Quadrados
Graus de
Liberdade
Quadrado
Médio
F
F2,12,1%
7,56
6,93
Fator
154,8**
2
77,4
Erro
122,8
12
10,233
Total
277,6*
14
S2R
S2R
Zeta = q k, ,
 q 3,12,1%

n
n
10,233
 5,04
 7,21
5
k=número de níveis=3;
n=tamanho da amostra=5,
  12
q k, ,
é a Amplitude Studantizada.
Análise de Variância - ANOVA
Zeta  7,21
X A  X B  72,2  67,4  4,8
X A  XC  72,2  75,2  3
X B  XC  67,4  75,2  7,8
Conclusão:
Só podemos concluir que o concreto C é mais
resistente que o concreto B.
Comparação de Médias de Várias Populações
2º Experimento:
Experimento com dois fatores, sem repetição
Tabela 4: Experimento - dois fatores, sem repetição
A
B
C
D
E
F
5,4
3,2
3,8
4,6
5,0
4,4
Variedade 2 5,7
4,0
4,2
4,5
5,3
5,0
Fertilizante
Variedade 1
Temos dois conjuntos de hipóteses:
1) Quanto ao fertilizante
H 0 :  A   B  C  ...   F
H1 : Ao menos um i   j , para i, j A, B, C,..., F e i  j
2) Quanto a variedade
H 0 : 1   2
H1 : 1  2
Comparação de Médias de Várias Populações
Tabela 5: Dados da Tabela (4)
Fertilizante
A
B
C
D
E
F
Soma
Variedade 1
5,4
3,2
3,8
4,6
5,0
4,4
26,4
Variedade 2
5,7
4,0
4,2
4,5
5,3
5,0
28,7
Soma
11,1
7,2
8
9,1
10,3
9,4
55,1
Tabela 6: Quadro de análise de variância
Fonte
Variação
Soma dos Graus de
de Quadrados Liberdade
Quadrado
Médio
F
FTabelado
Fertilizante
5,154**
5
1,0308
22,03 F5;5;1% 
10,97
Variedade
0,441***
1
0,4410
9,42
F1;5;1% 
16,26
Erro
0,234
5
Total
5,829*
11
0,0468
2
2
2
2
* SQtotal  [(5,4)  (3,2)  ...  (5) ]  (55,1) / 12
2
2
2
2
** SQfertilizante  [(11,1)  (7,2)  ...  (9,4) )] / 2  (55,1) / 12
2
2
2
*** SQvariedade  [(26,4)  (28,7) ] / 6  (55,1) / 12
Comparação de Médias de Várias Populações
Tabela 6: Quadro de análise de variância
Fonte
Variação
Soma dos Graus de
de Quadrados Liberdade
Fertilizante
5,154**
5
Quadrado
Médio
F
1,0308
22,03
10,97
Variedade
0,441***
1
0,4410
9,42
16,26
Erro
0,234
5
Total
5,829*
11
0,0468
Fertilizante:
Zeta = q n, ,
S2R
S2R
0,0468
 q 6,5,1%
 8,91
 1,36
k
k
2
k=número de linhas=2; n=número de colunas=6,
 =5
Análise de Variância - ANOVA
Tabela 5: Dados da Tabela (4)
Fertilizante
A
B
C
D
E
F
Variedade 1
5,4
3,2
3,8
4,6
5,0
4,4
Variedade 2
5,7
4,0
4,2
4,5
5,3
5,0
Média
5,55
3,6
4,0 4,55
5,15
4,7
2) Fertilizante:
Zeta  1,36
X A  X B  1,95
X A  XC  1,55
X B  X E  1,55
Conclusão:
Podemos concluir que há diferença entre os fertilizantes
A e B, A e C e B e E.
Comparação de Médias de Várias Populações
3º Experimento:
Experimento com dois fatores, com repetição
Operário
Método
1
2
3
4
I
54
46
55
51
I
52
47
54
60
II
59
61
59
56
II
57
55
61
57
III
59
63
63
59
III
62
58
61
60
Temos três conjuntos de hipóteses:
1) Quanto ao operário
H 0 : 1  2  3  4
H1 : Ao menos um i   j , para i, j 1,2,3,4 e i  j
2) Quanto ao método
H 0 :  I   II  III
H1 : Ao menos um i   j , para i, j I, II, IIIe i  j
3) Quanto a interação método-operário
H 0 : 1I  2 I  3I  ...  4III
H1 : Ao menos um i   j , para i, j 1I,2I,3I,...,4IIIe i  j
Tabela 7: Dados subtraídos de 59
Operário
1
Método
2
I
-5
I
-7
II
0
II
-2
-12
-13
3
-25
-12
-2
2
3
III 3
4
-2
-9
3
0
2
-7
-53
-3
-5
-7
1
13
-2
4
6
2
-24
-8
1
2
-1
-11
-4
-5
-4
III 0
4
0
1
-1
-11
-47
Tabela 8: Quadro de Análise de Variância
Fonte de Soma dos
Variação
Quadrados
Graus de
Liberdade
Quadrado
Médio
F
FTabelado
Método
286,34**
2
143,17
20,08 6,93
Operário
44,46***
3
14,82
2,08
5,95
MétodoOperário
72,66****
6
(2x3)
12,11
1,70
4,82
Erro
85,50
12
7,13
Total
488,96*
23
2
2
2
2
* SQtotal  [(5)  (13)  ...  (1) ]  (47) / 24
2
2
2
2
** SQmetodo  [( 53)  (7)  (13) )] / 8  (47) / 24
2
2
2
2
2
SQ

[(

11
)

(

24
)

(

1
)

(

11
)
]
/
6

(

47
)
/ 24
operario
***
2
2
2
2
SQ

[(

12
)

(

25
)

...

(
1
)
]
/
2

(

47
)
/ 24
metodo
operario
****
 SQ metodo  SQoperario
Comparação de Médias de Várias Populações
Conclusão:
De acordo com o Quadro de Análise de Variância,
apenas o método influencia no tempo de execução da
tarefa.
Não há diferença entre operários e nem interação entre
Método-Operário, ou seja, não existe um método
específico com o qual um determinado operário se
adapte melhor.
65
Tempo
60
metodo 1
55
metodo 2
50
metodo 3
45
40
1
2
3
4
Operario
Figura 1: Interação Método - Operário
Operário
Método
1
2
3
4
I
54
46
55
51
I
52
47
54
60
II
59
61
59
56
II
57
55
61
57
III
59
63
63
59
III
62
58
61
60
65
60
Tempo
metodo 1
55
metodo 2
metodo 3
50
45
40
1
2
3
4
Operario
Distribuição F de Snedecor - P = 0,01
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60
120
1
4052
98,50
34,12
21,20
16,26
13,75
12,25
11,26
10,56
10,04
9,65
9,33
9,07
8,86
8,68
8,53
8,40
8,29
8,18
8,10
8,02
7,95
7,88
7,82
7,77
7,72
7,68
7,64
7,60
7,56
7,31
7,08
6,85
2
4999
99,00
30,82
18,00
13,27
10,92
9,55
8,65
8,02
7,56
7,21
6,93
6,70
6,51
6,36
6,23
6,11
6,01
5,93
5,85
5,78
5,72
5,66
5,61
5,57
5,53
5,49
5,45
5,42
5,39
5,18
4,98
4,79
3
5403
99,17
29,46
16,69
12,06
9,78
8,45
7,59
6,99
6,55
6,22
5,95
5,74
5,56
5,42
5,29
5,18
5,09
5,01
4,94
4,87
4,82
4,76
4,72
4,68
4,64
4,60
4,57
4,54
4,51
4,31
4,13
3,95
4
5625
99,25
28,71
15,98
11,39
9,15
7,85
7,01
6,42
5,99
5,67
5,41
5,21
5,04
4,89
4,77
4,67
4,58
4,50
4,43
4,37
4,31
4,26
4,22
4,18
4,14
4,11
4,07
4,04
4,02
3,83
3,65
3,48
5
5764
99,30
28,24
15,52
10,97
8,75
7,46
6,63
6,06
5,64
5,32
5,06
4,86
4,69
4,56
4,44
4,34
4,25
4,17
4,10
4,04
3,99
3,94
3,90
3,85
3,82
3,78
3,75
3,73
3,70
3,51
3,34
3,17
6
5859
99,33
27,91
15,21
10,67
8,47
7,19
6,37
5,80
5,39
5,07
4,82
4,62
4,46
4,32
4,20
4,10
4,01
3,94
3,87
3,81
3,76
3,71
3,67
3,63
3,59
3,56
3,53
3,50
3,47
3,29
3,12
2,96
7
5928
99,36
27,67
14,98
10,46
8,26
6,99
6,18
5,61
5,20
4,89
4,64
4,44
4,28
4,14
4,03
3,93
3,84
3,77
3,70
3,64
3,59
3,54
3,50
3,46
3,42
3,39
3,36
3,33
3,30
3,12
2,95
2,79
8
5981
99,37
27,49
14,80
10,29
8,10
6,84
6,03
5,47
5,06
4,74
4,50
4,30
4,14
4,00
3,89
3,79
3,71
3,63
3,56
3,51
3,45
3,41
3,36
3,32
3,29
3,26
3,23
3,20
3,17
2,99
2,82
2,66