INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL
ESCOLA SUPERIOR DE SAÚDE
ESTATÍSTICA I
Cursos: Licenciaturas Bi-Etápicas em Fisioterapia e em Terapia da Fala
Teste Final
2
o
Ano / 3o Semestre
2007/08
a
Data: 2 feira, 14 de Janeiro de 2008
Duração: 10h às 12h
Instruções:
1. Leia atentamente o teste antes de começar.
2. Justifique convenientemente todas as respostas.
3. É permitida a utilização individual de tabelas e de máquina de calcular.
4. O abandono da sala por desistência só deverá ocorrer depois de decorridos 45 minutos a partir do início
da prova. O abandono da sala implica a entrega definitiva do teste/exame.
Questões:
1. Na tabela seguinte, utiliza-se a frequência relativa acumulada para quantificar o número de cigarros consumidos diariamente por um grupo de 80 fumadores, seleccionados aleatoriamente.
No cigarros
[0, 10[
[10, 20[
[20, 30[
[30, 40]
Fr
0.15
0.50
0.75
1
[1.0] (a) Complete a tabela de frequências;
[1.5] (b) Determine valores aproximados para o consumo médio diário de cigarros e o respectivo desvio padrão,
para o referido grupo de fumadores;
[1.5] (c) Construa o diagrama de extremos e quartis (boxplot) para o consumo diário de cigarros e classifique
a distribuição dos dados quanto à simetria;
[2.5] (d) Determine o nível de confiança, de um intervalo para a proporção de indivíduos que fuma menos de
10 cigarros por dia, sabendo que a amplitude do I.C. é de 0.1857.
2. Num estudo sobre a apneia do sono, foram avaliados o Índice de Massa Corporal (IM C) e a Pressão
Crítica (Pc ) nas vias respiratórias superiores, de um grupo de 15 indivíduos, tendo-se obtido os seguintes
resultados:
X
X
X
xi = 435
yi = 22
xi yi = 1012.4
X
x2i
= 13069
X
yi2 = 358.64
[1.5] (a) Identifique as variáveis dependente e independente e determine o coeficiente de correlação linear
empírico entre elas;
[2.0] (b) Determine a Pressão Crítica previsível nas vias respiratórias de um indivíduo com um IM C = 37.
3. Um estudo realizado sobre os hábitos tabágicos dos estudantes do Ensino Superior num dado país, revelou
que 15% são fumadores.
[1.0] (a) Caracterize a variável aleatória que representa o número de alunos fumadores num Instituto com
5000 alunos;
[2.5] (b) Calcule a probabilidade aproximada de no referido Instituto, o número de alunos fumadores se situar
entre 680 e 800 (inclusive).
[3.0]
4. Um grupo de investigadores pretende estudar metodologias adequadas à recuperação de pacientes com
lesão cerebral traumática, tendo seleccionado 11 doentes com esta patologia que foram distribuídos aleatoriamente, 6 para a Reabilitação Cognitiva Assistida por Computador (RCAC) e 5 para a Terapia da Fala
(TF).
A progressão da capacidade neurofisiológica de cada paciente é traduzida pelas pontuações apresentadas
na tabela seguinte:
RCAC 35 30 33 30 25 25
TF
25 30 20 25 15
Considerando a normalidade dos dados, averigue, utilizando o valor-p, se os doentes submetidos à RCAC
tiveram uma progressão média mais elevada da capacidade neurofisiológica, considerando um nível de
significância de 5%.
[3.5]
5. As medidas restritivas anti-tabaco implementadas numa dada Escola de Saúde foram avaliadas pelos
alunos finalistas dos cursos de Fisioterapia e de Terapia da Fala. A forma como manifestaram as suas
opiniões está representada na tabela seguinte:
A favor das medidas
Contra as medidas
Fisioterapia
62
22
Terapia da Fala
38
8
Teste, para um nível de significância de 5%, se a opinião sobre as restrições adoptadas depende do curso
frequentado pelos alunos inquiridos.
Fim.
2
Proposta de Resolução
1. Na tabela seguinte, utiliza-se a frequência relativa acumulada para quantificar o número de cigarros consumidos diariamente por um grupo de 80 fumadores, seleccionados aleatoriamente.
No cigarros
[0, 10[
[10, 20[
[20, 30[
[30, 40]
Fr
0.15
0.50
0.75
1
[1.0] (a) Complete a tabela de frequências;
R:
[1.5] (b) Determine valores aproximados para o consumo médio diário de cigarros e o respectivo desvio padrão,
para o referido grupo de fumadores;
R:
Média:
X
x '
fri xIi =
= 0.15 × 5 + 0.35 × 15 + 0.25 × 25 + 0.25 × 35 = 21
Variância Corrigida:
s2
'
¢2
¡
1 X
fai xIi − x =
n−1
=
i
h
1
2
2
× 12 × (5 − 21) + ... + 20 × (35 − 21) =
79
=
8320
= 105.316
79
Desvio padrão:
s'
√
105.316 = 10.26
[1.5] (c) Construa o diagrama de extremos e quartis (boxplot) para o consumo diário de cigarros e classifique
a distribuição dos dados quanto à simetria;
R:
Classe do 1o quartil: l = [10; 20[ (primeira classe em que Fr > 0.25), sendo
Q1
≡ q0.25 = xmin
+ ∆l ×
l
= 10 + 10 ×
0.25 − Frl−1
=
frl
0.25 − 0.15
' 12.86
0.35
Classe Mediana - x
e = q0.5 = 20 (limite superior da classe em que Fr = 0.5);
o
3 quartil - Q3 ≡ q0.75 = 30 (limite superior da classe em que Fr = 0.75);
Mínimo: 0; Máximo: 40.
3
Diagrama de extremos e quartis:
Dado verificar-se uma menor dispersão dos dados entre o 1o quartil e a mediana do que entre a
mediana e o 3o quartil tem-se uma assimetria positiva que pode ser confirmada pelo facto de q0.5 <
x,ou calculando o coeficiente de assimetria:
T2
=
Q3 + Q1 − 2e
x
=
Q3 − Q1
=
30 + 12.86 − 2 × 20
= 0.167 > 0
30 − 12.86
[2.5] (d) Determine o nível de confiança, de um intervalo para a proporção de indivíduos que fuma menos de
10 cigarros por dia, sabendo que a amplitude do I.C. é de 0.1857.
R:
Trata-se de um I.C para p sendo
p∗ = 0.15; q ∗ = 1 − 0.15 = 0.85.
Ao IC a (1 − α) % de Confiança:
#
∗
p ∓ z1− α2 ×
r
corresponde uma amplitude
l = 2 × z1− α2 ×
isto é:
l
=
0.1857 ⇔ 2 × z1− α2 ×
⇔ z1− α2 =
r
p∗ q ∗
n
r
"
p∗ q ∗
n
0.15 × 0.85
= 0.1857 ⇔
80
0.1857
⇔ z1− α2 = 2.326 ⇒
2 × 0.04
α
= 0.99 ⇔ α = 0.02
2
Logo tem um nível de confiança 1 − α = 0.98
⇒ 1−
2. Num estudo sobre a apneia do sono, foram avaliados o Índice de Massa Corporal (IM C) e a Pressão
Crítica (Pc ) nas vias respiratórias superiores, de um grupo de 15 indivíduos, tendo-se obtido os seguintes
resultados:
X
X
X
xi = 435
yi = 22
xi yi = 1012.4
X
x2i
X
= 13069
4
yi2 = 358.64
[1.5] (a) Identifique as variáveis dependente e independente e determine o coeficiente de correlação linear
empírico entre elas;
R:
X - Var. Independente - Índice de Massa Corporal (IM C)
Y - Var. Dependente - Pressão Crítica (Pc )
Vamos averiguar a existência de relação linear entre as duas variáveis através do coeficiente de
correlação linear empírico (r), considerando
22
x = 435
15 = 29 e y = 15 ' 1.47:
P
xi yi − n x y
q
r =
¡P 2
¢ ¡P 2
¢=
xi − nx2
yi − ny 2
=
'
1012.4 − 15 × 29 × 1.47
p
'
(13069 − 15 × 292 ) (358.64 − 15 × 1.472 )
372.95
' 0.97
384.85
O coeficiente de correlação linear r ' 0.97 é positivo e elevado indicando por um lado que as variáveis
variam no mesmo sentido e por outro que essa variação pode ser traduzida através de uma linha recta.
[2.0] (b) Determine a Pressão Crítica previsível nas vias respiratórias de um indivíduo com um IM C = 37.
R:
Começamos por estimar os coeficientes da recta de regressão:
P P
P
n xi yi − xi yi
b =
P 2
P 2 =
n xi − ( xi )
=
5616
15 × 1012.4 − 435 × 22
=
' 0.8247
15 × 13069 − 4352
6810
a = y − bx =
= 1.47 − 0.8247 × 29 = −22.446
tendo-se:
Deste modo obtém-se:
yb = −22.446 + 0.8247x
x = 37 ⇒ yb = −22.446 + 0.8247 × 37 = 8.068
3. Um estudo realizado sobre os hábitos tabágicos dos estudantes do Ensino Superior num dado país, revelou
que 15% são fumadores.
[1.0] (a) Caracterize a variável aleatória que representa o número de alunos fumadores num Instituto com
5000 alunos;
R:
X - No de alunos fumadores num Instituto com 5000 alunos.
X ∼ B (n = 5000; p = 0.15)
[2.5] (b) Calcule a probabilidade aproximada de no referido Instituto, o número de alunos fumadores se situar
entre 680 e 800 (inclusive).
R:
Pretende-se calcular P (680 ≤ X ≤ 800) .
Como
)
n = 5000 > 30
np = 5000 × 0.15 = 750 > 5
⇒
nq = 5000 × 0.85 = 4250 > 5
5
√
¡
¢
√
•
X ∼N μ = np = 750; σ = npq = 750 × 0.85 ' 25.25
P (680 ≤ X ≤ 800)
≈ P
µ
≈
Apr. Normal c/ correcção por continuidade
679.5 − 750
800.5 − 750
≤Z≤
25.25
25.25
¶
=
= Φ (2) − Φ (−2.79) =
= 0.9772 − 1 + 0.9974 = 0.9746
[3.0]
4. Um grupo de investigadores pretende estudar metodologias adequadas à recuperação de pacientes com
lesão cerebral traumática, tendo seleccionado 11 doentes com esta patologia que foram distribuídos aleatoriamente, 6 para a Reabilitação Cognitiva Assistida por Computador (RCAC) e 5 para a Terapia da Fala
(TF).
A progressão da capacidade neurofisiológica de cada paciente é traduzida pelas pontuações apresentadas
na tabela seguinte:
RCAC 35 30 33 30 25 25
TF
25 30 20 25 15
Considerando a normalidade dos dados, averigue, utilizando o valor-p, se os doentes submetidos à RCAC
tiveram uma progressão média mais elevada da capacidade neurofisiológica, considerando um nível de
significância de 5%.
R:
(a) Dados:
α = 0.05;
RCAC :
(
x1 = 29.67
s1 = 4.0825
n1 = 6
e TF :
(
x2 = 23
s2 = 5.7
n2 = 5
Queremos testar μ1 − μ2 com σ 1 e σ 2 desconhecidos, com n1 < 30 e n2 < 30, através do seguinte
teste unilateral direito:
n
H0 : μ1 − μ2 ≤ 0
H1 : μ1 − μ2 > 0
A estatística adequada é:
¢
X 1 − X 2 − (μ1 − μ2 )
∼ t(n1 +n2 −2)
T = r³
´
(n1 −1)s21 +(n2 −1)s22
1
1
n1 + n2
n1 +n2 −2
¡
(29.67 − 23) − 0
T ∗ = q¡
' 2.26
¢
1
1 5×16.67+4×32.5
+
6
5
9
Deste modo tem-se para o valor p:
pv
= P (T ≥ T ∗ ) =
= P (T ≥ 2.26) = 1 − F (2.26)
=
tabela t9
= 1 − 0.975 = 0.025
Como pv = 0.025 < α = 0.05, rejeita-se H0 , isto é, os doentes submetidos à RCAC tiveram uma
progressão média mais elevada da capacidade neurofisiológica, de acordo com os dados da amostra e
para este nível de significância.
6
[3.5]
5. As medidas restritivas anti-tabaco implementadas numa dada Escola de Saúde foram avaliadas pelos
alunos finalistas dos cursos de Fisioterapia e de Terapia da Fala. A forma como manifestaram as suas
opiniões está representada na tabela seguinte:
Fisioterapia
62
22
A favor das medidas
Contra as medidas
Terapia da Fala
38
8
Teste, para um nível de significância de 5%, se a opinião sobre as restrições adoptadas depende do curso
frequentado pelos alunos inquiridos.
R:
(a) Formulação do teste:
½
H0 : pij = pi. p.j (A opinião sobre as medidas restritivas é independente do curso frequentado)
H1 : pij 6= pi. p.j (A opinião sobre as medidas restritivas não é independente do curso frequentado)
Estatística teste:
Q=
2 X
2
X
(Oij − Eij )2
∼ χ2(r−1)(c−1) = χ2(1)
E
ij
i=1 j=1
Opinião dos
alunos
A favor
Contra
Total
Curso
Fis. T.Fala
62
38
22
8
84
46
Opinião dos
alunos
A favor
Contra
Total
Curso
Fis.
T.Fala
64.615 35.385
19.385 10.615
84
46
2
Q∗ =
⎫
Total ⎪
⎪
⎬
100
frequências observadas
⎪
⎪
30
⎭
130
⎫
Total ⎪
⎪
⎬
100
frequências esperadas
⎪
⎪
30
⎭
130
2
(62 − 64.615)
(8 − 10.615)
+ ... +
= 1.296
64.615
10.615
Regra de decisão:
Como Q∗ = 1.296 < χ2(1;0.95) = 3.84, não se rejeita H0 , isto é, de acordo com os dados da amostra e para
este nível de significância, a opinião sobre as medidas restritivas é independente do curso frequentado.
Fim da resolução do teste
7