Distribuições de probabilidades
referentes a variáveis contínuas e suas
aplicações
As variáveis contínuas podem assumir qualquer valor
dentro de um intervalo e para estas não é possível
enumerar todos os valores possíveis e suas
respectivas probabilidades. Para estas distribuições
convém elaborar uma função de densidade de
probabilidade.
Como existem infinitos pontos cada um com igual
probabilidade, se fossemos usar o mesmo método
usado para a variável aleatória discreta, cada ponto
teria probabilidade de ocorrência igual a zero.
A densidade de probabilidade de uma variável é
comumente
chamada
de
sua
Distribuição
de
Probabilidade.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Entre as distribuições teóricas de variável aleatória
contínua, uma das mais empregadas é a distribuição
Normal.
Muitas das variáveis analisadas na pesquisa sócioeconômica correspondem à distribuição normal ou dela
se aproximam.
Propriedades da distribuição normal :
1ª - A variável aleatória X pode assumir todo e
qualquer valor real.
2ª - A representação gráfica da distribuição normal
é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da
média, que recebe o nome de curva normal ou de
Gauss.
3ª - A área total limitada pela curva e pelo eixo das
abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à
probabilidade de a variável aleatória X assumir
qualquer valor real.
4ª - A curva normal é assintótica em relação ao eixo
das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente
do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo.
5ª - Como a curva é simétrica em torno da média, a
probabilidade de ocorrer valor maior que a média é
igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a
média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a
0,5 ou 50%. Cada metade da curva representa 50%
de probabilidade.
Abraham de Moivre, em 1733, publicou a equação da
curva normal:
que permite gerar o seguinte gráfico:
• O gráfico da distribuição normal assemelha-se a
um sino e seu formato dependerá dos valores dos
parâmetros µ e .
• Notação de uma variável com distribuição
normal:
X  ( ; )
2
A probabilidade de X assumir qualquer valor X0 é
zero, isto é (PX=X0) = 0, logo, são iguais as
probabilidades:
P (a < x < b) = P (a ≤ x ≤ b) = à area sob a curva
compreendida entre dois pontos.
Distribuição Normal padronizada
Seja X uma variável aleatória com distribuição N(µ;2).
Considere a transformação linear:
Zi 
Xi  

A média de Z é zero e a sua variância é igual a 1,
logo a função densidade da variável Z é dada por:
Uso da distribuição normal padronizada
Z
0,00
0,01
.....
0,07
0,0
0,1
0,2
M
1,1
0,3790
Exemplos do uso de z:
1. Em uma população de indivíduos adultos de sexo
masculino, cuja estatura média é 1,70m e desvio
padrão é 0,08m, qual é o intervalo de alturas em que
95% da população está compreendida?
95% =  ± 1,96 
= 1,70 ± 1,96 x 0,08
= 1,70 + 0,1568 = 1,8568 (maior altura) e = 1,70 0,1568 =1,5432 (menor altura).
Assim sendo, 95% da população tem altura entre
1,5432m e 1,8568m. Portanto, será pouco provável
encontrar alguém com altura superior a 1,8568m
(2,5%) ou abaixo de 1,5432m (2,5%).
2. Na mesma população, qual a probabilidade de um
indivíduo ter estatura entre 1,60 e 1,82m?
Calcula-se dois valores de z:
zmin = (1,60 - 1,70) / 0,08 = 1,25
zmax = (1,82 - 1,70) / 0,08 = 1,50
A área entre z = 0 e z = -1,25 é 39,44 e a área entre
z = 0 e z = 1,82 é de 43,32.
Portanto, a probabilidade de se encontrar alguém
com estatura entre 1,60 e 1,82m é
0,3944 + 0, 4332 = 0,8276 = 82,76%