Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – Departamento de Matemática
MTM 151 – Estatística e Probabilidade – Turma 76
Professor: Rodrigo Luiz Pereira Lara
LISTA DE EXERCÍCIOS 1 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Questão 1 – Uma variável aleatória X tem a seguinte função de probabilidade:
0,2
0,3

P( x)  
0,1
0
se x  1 ou x  5 ou x  6;
se x  2;
se x  15;
para outros valores.
Determine:
a) A função de distribuição acumulada de X .
b) P( X  2) .
d) P(3  X  12) .
c) P( X  2) .
e) P( X  14) .
Questão 2 – Uma variável aleatória X tem a seguinte função de distribuição
acumulada:
0
0,2

F ( x)  0,5
0,9

1
se x  10;
se 10  x  12;
se 12  x  13;
se 13  x  25;
se x  25.
Determine:
a) A função de probabilidade de X .
b) P( X  12) .
c) P( X  12) .
d) P(12  X  20) .
e) P( X  18) .
Questão 3 – Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0,4. Para dois
lançamentos consecutivos dessa moeda faça o seguinte estudo da variável aleatória X :
número de caras obtidas no experimento.
Obtenha:
a) A distribuição de probabilidade.
b) A função de probabilidade.
c) O gráfico da função de probabilidade.
d) A função de distribuição acumulada.
e) O gráfico da FDA.
f) E (X ) .
g) Interprete o valor E (X ) .
h) V (X ) .
Questão 4 – Um caminho para chegar a uma festa pode ser dividido em três etapas. Sem
enganos o trajeto é feito em 1 hora. Se enganos acontecem na primeira etapa, acrescente
10 minutos ao tempo do trajeto. Para enganos na segunda etapa, o acréscimo é 20 e,
para a terceira, 30 minutos. Admita que a probabilidade de engano é 0,1; 0,2 e 0,3 para a
primeira, segunda e terceira etapas, respectivamente.
a) É provável haver atraso na chegada à festa?
b) Determine a probabilidade de haver atraso.
c) Determine a probabilidade do atraso não passar de 40 minutos.
Questão 5 – Seja X uma variável segundo o modelo Uniforme Discreto, com valores
no conjunto {1, 2, 3, ... , 10}. Pede-se:
a) P( X  7).
b) P(3  X  7).
c) P( X  2 ou X  8).
d) P( X  5 ou X  8).
e) P( X  3 e X  6).
f) P( X  9 | X  6).
Questão 6 – Um agricultor cultiva laranjas e também produz mudas para vender. Após
alguns meses a muda pode ser atacada por fungos com probabilidade 0,05 e, nesse caso,
ela é escolhida para ser recuperada com probabilidade 0,5. Admita que o processo de
recuperação é infalível. O custo de cada muda produzida é R$ 1,00; acrescido de R$
0,50 se precisar ser recuperada. Cada muda é vendida a R$ 3,00 e são descartadas as
mudas não recuperadas de ataque de fungos. Seja X a variável aleatória ganho por
muda produzida.
Obtenha:
a) A distribuição de probabilidade.
b) A função de probabilidade.
c) O gráfico da função de probabilidade.
d) A função de distribuição acumulada.
e) O gráfico da FDA.
f) E (X ) .
g) Interprete o valor E (X ) .
h) V (X ) .
Questão 7 – Uma agência de turismo apresenta aos clientes o orçamento de uma certa
viagem em duas partes. A primeira é o transporte aéreo que têm três opções com preços
3; 3,5 e 4 mil reais e preferências de escolha de 0,5; 0,3 e 0,2 para as companhias TWA,
TWB e TWC, respectivamente. A segunda parte do orçamento é a escolha de estada.
Existem quatro opções de hotéis que custam 2; 2,5, 3 e 3,5 mil reais e são escolhidos
pelos clientes com a mesma preferência, independentemente da companhia aérea. Seja
X a variável aleatória orçamento da viagem. Calcule a função de probabilidade e
função de distribuição acumulada da variável X .
Questão 8 – Um equipamento consiste de duas peças A e B que têm 0,10 e 0,15 de
probabilidade de serem de qualidade inferior. Um operário escolhe ao acaso uma peça
do tipo A e uma do tipo B para construir o equipamento. Na passagem pelo controle de
qualidade o equipamento vai ser classificado. Será considerado como nível I se as peças
A e B forem de qualidade inferior. Será nível II se apenas uma delas for de qualidade
inferior e, nível III, no outro caso. O lucro na venda é de R$ 10,00; R$ 20,00 e R$ 30,00
para os níveis I, II e III respectivamente. Faça um estudo da variável lucro.
Seja X a variável aleatória lucro para uma peça produzida. E seja W a variável
aleatória lucro para duas peças produzidas.
a) Obtenha a distribuição de probabilidade de X .
b) Obtenha a distribuição de probabilidade de W .
c) Para duas peças produzidas, qual a probabilidade de pelo menos R$ 30,00 de lucro?
Questão 9 – Na verificação de máquinas, observam-se as partes elétrica, mecânica e
estrutural. A probabilidade de aparecer uma falha em cada uma das partes é 0,01;
independente das demais. Ocorrendo falha, o tempo de conserto é 10, 20 ou 50 minutos
para falha elétrica, mecânica ou estrutural, respectivamente. Para uma máquina
escolhida ao acaso, qual a probabilidade do tempo de interrupção (se não há falha, esse
tempo é zero):
a) Durar menos de 25 minutos?
b) Ultrapassar 40 minutos?
Questão 10 – Uma empresa paga a seus estagiários de engenharia de acordo com o ano
de curso do estudante. Para se obter o salário mensal pago por 30 horas semanais,
multiplica-se o salário mínimo pelo ano de curso do estagiário. Dessa forma, o
estudante do primeiro ano ganha um salário mínimo, o do segundo recebe dois e assim
por diante até o quinto ano. A empresa vai empregar dois novos estagiários e admitimos
que todos os anos têm igual número de estudantes interessados no estágio (considere a
população de candidatos muito grande de modo a não haver diferença entre escolher
com ou sem reposição). Pergunta-se a probabilidade de:
a) Os dois serem do primeiro ano.
b) A empresa gastar no máximo 3 salários mínimos com os estágios.
c) Sabendo-se que gastou pelo menos 4, gastar menos de 7 salários mínimos.
ALGUMAS RESPOSTAS OU AUXÍLIO DE SOLUÇÃO:
Questão 1
b) 0
c) 0,2
d) 0,4
e) 0,1
Questão 2
b) 0,5
c) 0,2
d) 0,7
e) 0,1
Questão 3
a)
x
p(x)
0
0,36
1
0,48
2
0,16
f) 0,8.
h) 0,48.
Questão 4 – Seja A a variável aleatória atraso (minutos) para chegar à festa.
a
p(a)
0
0,504
a) P( A  0)  0,496
10
0,056
20
0,126
30
0,23
40
0,024
50
0,054
60
0,006
b) P(0  A  40)  0,436
Questão 5
a) 0,4
b) 0,4
c) 0,4
d) 0,6
e) 0,2
f) 0,8
Questão 6
a)
x
p(x)
–1
0,025
1,5
0,025
2,0
0,95
f) R$ 1,91.
h) 0,23315 reais2.
Questão 7
Distribuição de probabilidade:
x
p(x)
5000
0,125
5500
0,2
6000
0,25
6500
0,25
7000
0,125
7500
0,05
Questão 8
a)
x
p(x)
b)
w
p(w)
10
0,015
20
0,000225
20
0,22
30
0,0066
30
0,765
40
0,07135
50
0,3366
60
0,585225
c) P(W  30)  0,999775
Questão 9 – Seja T a variável aleatória tempo de interrupção.
t
p(t)
0
10
20
50
60
70
80
0,970299 0,009801 0,009801 0,009801 0,000099 0,000198 0,000001
a) P(T  25)  0,989901
b) P(T  40)  0,010099
Questão 10 – Seja S a variável aleatória quantidade de salários mínimos que a empresa
irá gastar.
a)
1
25
s
p(s)
b) P( S  3) 
2
1
25
3
2
25
4
3
25
3
25
c) P( S  7 | S  4) 
5
4
25
6
5
25
7
4
25
8
3
25
6
11
9
2
25
10
1
25