VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA (cont)
1.1. FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE (F.D.P.)
Seja x uma variável aleatória contínua. A função densidade de probabilidade f(x) é
uma função que satisfaz as seguintes condições:
1. f(x ) ≥ 0,
2.
para x ∈ IR
+∞
∫ f(x )dx = 1
−∞
b
3. P (a < x < b ) = f(x ).dx
∫
a
P (a < x < b)
Figura 6.1.
(Jairo da Fonseca, 43)
observações:
1. para variável aleatória contínua P(X = x) = 0
pois
P(X = x ) =
x
∫ f(x )dx = 0
x
Capítulo 4 Variável Aleatória Contínua
2
Sendo assim para uma variável aleatória contínua:
P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X< b) = P (a ≤ x < b) = P (a < x < b)
2.
f(x) não é probabilidade
Somente quando a função é integrada entre dois limites ela produzirá uma
probabilidade, que será a área sob a curva da função entre x = a e x = b; a < b.
1.2. FUNÇÃO REPARTIÇÃO OU FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE (FDP)
F(x) =
x
∫ f(x).dx
−∞
Exercício 6.1. (Jairo da Fonseca, 44)
Seja x uma variável aleatória contínua, com a seguinte f.d.p.:
f(x) =
2x para 0 < x < 1
0 para quaisquer outros valores
a) f(x) é f.d.p. ?
Seu gráfico
1. f(x) ≥ 0 para x ∈ R
2.
+∞
∫ f(x)dx = 1 ?
−∞
=
0
∫ f(x)dx +
−∞
1
1
1
−∞
= ∫ 2xdx = 2 ⋅
0
−∞
∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx
x
2
2
1
0
=1 − 0 = 1
Capítulo 4 Variável Aleatória Contínua
Figura 6.2.
b) Função repartição
x
para
x < 0 → F(x) = ∫ 0dx = 0
−∞
para
0 ≤ x < 1 → F(x) =
0
∫
−∞
para
x ≥ 1 → F(x) =
x
0dx + ∫ 2x ⋅ dx = x 2
0
0
1
x
−∞
0
1
∫ 0dx + ∫ 2x ⋅ dx + ∫ 0dx = 1
gráfico
Figura 6.3
1
4
c) p
=
=
<X<
3

4
3/ 4
3/ 4
1/4
1/4
∫ f(x)dx =
∫ 2x ⋅ dx =
2x2
2
3/ 4
1/ 4
9
1
8
1
−
=
=
16 16 16 2
Exercício 6.2. (Jairo da Fonseca, 42)
3
Capítulo 4 Variável Aleatória Contínua
Uma variável aleatória tem a seguinte f.d.p.
x<0
f(x) = 0
f(x) = kx2
0≤x<1
x≥1
f(x) = 0
a) K = ?
b) F(x) = ?
Solução:
a)
+∞
∫ f(x)dx = 1
−∞
0
1
+∞
−∞
0
1
→
=k
2
∫ f(x)dx + ∫ kx dx +
x3
3
1
0
∫ f(x)dx = 1
(por definição! )
k
=1 ∴ k =3
3
=1 ∴
b) Tenha f(x) → quero F(x)
x < 0 → F(x) =
x
∫ f(x)dx = 0
−∞
x
0 ≤ x < 1 → F(x) = ∫ 3x2dx =
0
x ≥ 1 → F(x) =
0
3x2
3
Ι o = x3
x
1
x
∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx
0
−∞
1
= ∫ 3x2dx =
0
1
3x
3
3
Ι0 = 1
1
Figura 6.4
4
Capítulo 4 Variável Aleatória Contínua
5
Exercício 6.3. (Walpole, 58)
Suponha que o erro em um dado experimento laboratorial seja uma v.a. contínua x que tem
a seguinte f.d.p.:
 x2

 , −1 < x < 2

f(x) =  3

0

caso
contrário


a) verifique a propriedade
b) P( 0 < x ≤ 1) = ?
c) ache F(x)
Solução:
a)
+∞
∫ f(x)dx =
−∞
=
1
2
+∞
−∞
1
2
∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx +
2
x2
1 x3
=
dx
∫
3 3
−1 3
1
b) P(0 < x ≤ 1) =
x2
x3
dx
=
∫3
9
0
c)
→
F(x) = 0
2
−1
x3
9
=
1
=
0
∫ f(x)dx
x < −1 =
2
−1
=
8 − 1 9
−
= =1
9  9  9
1
9
−1
∫ f(x)dx = 0
−∞
F(x) =
x3 − 1
→
9
→
−1
∫ f(x)dx =
x
2
3
x
x
=
9
−1 3
∫
x≥2=
x
∫
=
x3
9
−1
−∞
x
−1
f(x)dx =
−∞
x
∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx =
−∞
=
F(x) = 1
x
−1 ≤ x < 2 =
=
−1
∫
3
x −1
9
+
−∞
2
−1
=
8+1
=1
9
2
−∞
x2
dx
+
∫
∫
2
−1 3