Produto vetorial
Anliy N. N. Sargeant
José Antônio A. Andrade
Mariane Urias da Silva
Solange G. F. Martins
Produto vetorial
u e v sendo vetores,
u v
é um número real
u v
• Se u
// v
é um vetor
, então por definição:
u v 0
Exemplo 1: De acordo com a definição acima temos:
u  2u  0,pois u // 2u
 2u  v    4u  2v  
  2u  v   2  2u  v   0,
pois  2u  v  // 2  2u  v 
0  u  0 e u  0  0 , uma vez que 0 // u .


Para definir o produto vetorial u  v , com u e v nãoparalelas, será preciso conhecer a área do paralelogramo
formado por u e v .
C
D
v
h

A
E
u
B
I 
AB  h  u  h
?
Do triângulo retângulo
AED, temos que:
h
h
sen 
 sen 
AD
v
h  v sen
Substituindo
h em  I  , temos que:
Área do paralelogramo =
u v sen
• Se u e v não são paralelos, o produto vetorial de u e
um vetor u  v com as seguintes características:
(a)
u v
vé
é a área de um paralelogramo determinado por
u e v:
u  v  u v sen
(b)
u v
é ortogonal a
(c) O sentido de u
u e a v . (direção)
 v é dado pela Regra da Mão Direita.
u v


v



u
v u
v

u
Teorema I: Sejam u e v vetores e  um escalar, são válidas
as seguintes propriedades:
(a)
v  w    w  v  , isto é, o produto vetorial é
anti-comutativo
(b) v
 w  0  v // w
(c) 
 v  w     v   w  v   w 
Vetores canônicos
iˆ  1,0,0  , ˆj   0,1,0  e kˆ   0,0,1
são vetores unitários (de norma igual a um) paralelos aos eixos
coordenados.
iˆ // eixo x
ˆj // eixo y
kˆ // eixo z
Um vetor v
uma soma:
 v , v , v
1
2
3
 pode ser escrito em termos de
v   v , v , v    v ,0,0    0, v ,0    0,0, v  
1
2
3
1
2
3
 v 1,0,0   v  0,1,0   v  0,0,1 
1
2
ˆ
ˆ
ˆ
 vi  v j  v k
1
2
3
3
v  v iˆ  v ˆj  v kˆ
1
z
iˆ
x
2
3
z
v kˆ
3
kˆ
ˆj
v iˆ
y
1
v ˆj
2
x
y
Relações entre os vetores canônicos
iˆ  iˆ  0
iˆ  ˆj  kˆ
ˆj  iˆ   kˆ
ˆj  ˆj  0
ˆj  kˆ  iˆ
kˆ  ˆj  iˆ
kˆ  kˆ  0
kˆ  iˆ  ˆj
iˆ  kˆ   ˆj
Sejam u   u1 , u2 , u3  e v   v1 , v2 , v3  vetores no espaço.
Entao, o produto u  v e dado por:
u  v   u1 , u2 , u3    v1 , v2 , v3  
 u1iˆ  u2 ˆj  u3 kˆ  v1iˆ  v2 ˆj  v3kˆ 

 

     
u v  ˆj  iˆ   u v  ˆj  ˆj   u v  ˆj  kˆ  
 u v iˆ  iˆ  u v iˆ  ˆj  u v iˆ  kˆ 
1 1
2
1
1
2
2


1
2
3
2


3


u v kˆ  iˆ  u v kˆ  ˆj  u v kˆ  kˆ 
3
1
3
2
3
3
        
 u v kˆ  u v  ˆj  u v kˆ  u v iˆ  u v ˆj  u v iˆ 
1 2
1 3
2 1
2 3
3 1
3 2
 u v iˆ  u v iˆ  u v ˆj  u v ˆj  u v kˆ  u v kˆ 
2
3
3
2
3
1
1
3
1
2
2
1
  u v  u v  iˆ   u v  u v  ˆj   u v  u v  kˆ 
2
3
3
u
 det 
v
2
3
1
1
u
u

ˆ  det
i


v
v
2
2
u
 det 
v
2
2
3
3
3
3
3
1
2
2
u
u

ˆj  det


v
v
u
u

ˆ  det
i


v
v
3
1
3
1
1
1
1
1
1
uˆ
k

v
2
2
u
u

ˆj  det


v
v
3
1
3
1
uˆ
k

v
2
2
Logo,

u
u  v   det 
v

2
2
u
u
,  det 

v
v
3
1
3
1
u
u
,det 

v
v
3
1
3
1
u
v
2
2



Para obter as componentes de
u v :
1º) Escreva as componentes de
u1 u2
v v
2
 1
u
e
v, como segue:
u3 


v3 
2º) Para calcular a:
primeira componente, elimine a primeira coluna da
matriz Φ e calcule o
u2
det 
 v2
u3 
v3 
segunda componente, elimine a segunda coluna da
matriz Φ e calcule
u1
 det 
 v1
u3 
v3 
terceira componente, elimine a terceira coluna da
matriz Φ e calcule
u1
det 
 v1
u2 
v2 
Exemplo 2: Sejam u  iˆ  2 ˆj  2kˆ e v  3i  k.
Determine o produto vetorial u  v .
Usando os vetores iˆ , ˆj e
pode ser escrito como:
 iˆ

u  v  det u1
 v1

u2
 det 
 v2
ˆj
u2
v2
k
o produto vetorial
u  v,
kˆ 

u3  
v3 

u3 
u1 u3 
u1 u2  ˆ


ˆ  det
ˆj  det
i
k





v3 
 v1 v2 
 v1 v3 
Exemplo 2 (novamente):
Exemplo 3: Calcule a área do triângulo determinado
pelos pontos P   2,2,0  , Q   0,4,3 e R   1,0,2 .
z
3
R
2
Q
1
x
2

P
2
4
y