RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA
2o ANO DO ENSINO MÉDIO
DATA: 20/11/13
PROFESSOR: MALTEZ
QUESTÃO 01
1  y 


As matrizes A =  x 2
4 e B =


2x 
5
 1

 2x  2y
3x
4
5
 são tais que A = Bt.
6 
Considerando essa condição, quando você determinar os valores de x e y, e substituí-los na matriz A,
esta será:
1  y  1
2x  2y 

 

t
2
A condição é que A = B . Então  x
4    3x
4 .



2x   5
6

5
Logo 2x = 6  x = 3
2x + 2y = –y  2x = –3y ou 6 = –3y  y = –2
Logo substituindo os valores de x e y
1

Resp.: A   9
5

2

4
6 
QUESTÃO 02
x
Os valores de x e y que satisfazem a equação matricial 
4
x  3 y  4

2x  y  1
Resolvendo o sistema:
Resp.: x = 1 e y = 1
 2   3y
7 4
  

2x  1  y   5
5
 são:
1 
QUESTÃO 03
Sejam as matrizes A e B, respectivamente, 3 x 4 e p x q. Se a matriz A . B é 3 x 5 então é verdade que:
Uma vez que A é de ordem 3 x 4 e B é de ordem p x q, temos:
A3 x 4 . Bp x q
Logo para que seja possível o produto p = 4 e a matriz resultante será 3 x q, ou seja q = 5.
Resp.: p = 4 e q = 5
QUESTÃO 04
2

A e B são matrizes e A é a matriz transposta de A. Se A  1
x

t
será nula para:
 2
A t  
 3
 2

 3
1
y
1
y
x
 o que o problema quer é:
2 
1 
 
x
0

.  2
  
2 2 x 3  
0
1 3 x 1
 2  2  x  0

   
  3  2 y  2  0
4 + x = 0  x = –4
–1 + 2y = 0 
y
Logo x . y2 =  4 .
1
2
1
 1
4
 3
1 

 
y  e B   2  então a matriz At . B
1 
2 
 
QUESTÃO 05
Um dispositivo eletrônico, usado em segurança, modifica a senha escolhida por um usuário, de acordo
com o procedimento descrito abaixo:
– A senha escolhida S1 S2 S3 S4 deve conter quatro dígitos, representados por S1, S2, S3 e S4. Esses
dígitos são então, transformados nos dígitos M1, M2 e M3, M4, da seguinte forma:
S 
 M1 
 S  M 
   P .  1  e  3   P .  3  onde P é a matriz
 M2 
 S2   M4 
 S4 
0

1
1
.
0 
Se a senha de um usuário, já modificada, é 0110, isto é: M1 = 0, M2 = 1, M3 = 1 e M4 = 0, pode-se
afirmar que a senha escolhida pelo usuário foi:
Pela igualdade dada:
 0   0 1   S1   0   S2 
   
 .        
1  1 0   S2  1   S1 
logo S2 = 0 e S1 = 1
 1   0 1   S3   1   S 4 
   
 .        
 0   1 0   S 4   0   S3 
logo S3 = 0 e S4 = 1
Então a senha é 1001
QUESTÃO 06
 5
A matriz inversa da matriz A  
 3
a
Seja A 1  
c
b
 , então:
d 
 5

 3
b  1 0 


d   0 1 
3 a

 2   c
 5a  3c

  3a  2c
3
 é:
 2 
5b  3d  1 0 


 3b  2d   0 1 
5a  3c  1 (.3)

 3a  2c  0 (.5)
5b  3d  0 (.3)

 3b  2d  1(.5)
–c = 3
–d = 5
c = –3
d = –5
–3a + 6 = 0
5b – 15 = 0
–3a = –6  a = 2
5b = 15  b = 3
 2
A 1  
 3
3

 5 
QUESTÃO 07
3
Sendo A  
5
4
 então o det At é:
 1
Sabe-se que det At = det A.
Como det A = –3 – 20 = –23 então det At = –23
QUESTÃO 08
1

Considere as matrizes A   2
3

2
0
2
3
1


2 e B   0
0
1 

3

1 2 .
0 1 
2
O valor do determinante da matriz C = A . B é:
Como A e B são a mesma ordem.
det C = det (A . B) = det A . det B
det A = 12 + 12 – 4 – 4 = 16
det B = 1
det C = 16 . 1 = 16
QUESTÃO 09
Dada a matriz quadrada A, de ordem n, com det A ≠ 0.
O valor de det A . det A–1 é:
Como det A 1 
1
det A
conclui-se que
det A . det A–1 = 1
QUESTÃO 10
x 1
3


0
4  e det A = 10, o valor de x é:
Se A   6
2  3
5 

Se det A = 10
18 + 8x + 36 – 30x = 10
–22x = –44  x = 2
QUESTÃO 11
O preço de uma camisa passou de R$ 50,00 para R$ 59,00.
O aumento percentual no preço foi de:
 59

i
 1 x 100 
50


= (1,18 – 1) . 100 = 0,18 . 100 =
= 18%
QUESTÃO 12
Uma geladeira cujo preço é de R$ 680,00 tem um desconto de 5% se for paga à vista.
Então o valor pago será:
Como o desconto será de 5% o fator será 0,95. Então
680 x 0,95 = 646,00
Portanto o valor pago será R$ 646,00
QUESTÃO 13
Um capital de R$ 530,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 3% a.m.
Então o valor do montante após 2 trimestres é de:
VP = 530
i = 3% a.m.
n = 2 trimestres = 6 meses
VF = 530 (1 + 0,03 . 6) = 530 x 1,18 =
= 625,40
R$ 625,40
QUESTÃO 14
Quanto receberá de juros, no final de um bimestre, uma pessoa que investiu, à taxa composta de
2% a.m., R$ 600,00?
VP = 600
i = 2% a.m.
n = 1 bimestre = 2 meses
VF = ?
VF = 600 (1 + 0,02)2 =
= 600 . (1,02)2 = 600 . 1,0404 =
= 624,24
J = 624,24 – 600,00 = 24,24
QUESTÃO 15
Um capital de R$ 600,00, aplicado a juros simples de 20% a.a., gerou um montante de R$ 1080,00
depois de certo tempo n, em meses.
O valor de n é:
VF = VP (1 + in) juros S:
1080 = 600 (1 + 0,2 n)
1080
 1  0,2 n
600
1,8 – 1 = 0,2 n
0,8 = 0,2 n  n = 4 anos = 48 meses
QUESTÃO 16
O ângulo de elevação ao pé de uma árvore, a 50 m da base de uma encosta, ao topo da encosta é de
60º.
A medida de um cabo que liga o pé da árvore ao topo da encosta é:
Forma-se então um triângulo retângulo, onde x é o comprimento do cabo
cos 60º 
50
x
x
1 50

2
x
x = 100 m
60º
50 m
QUESTÃO 17
Ao projetar prédios muito altos, os engenheiros devem ter em mente o movimento de oscilação, que é
típico de estruturas de arranha-céus. Se o ponto mais alto de um edifício de 400 m descreve um arco
o
 1
de   , a medida do arco descrito por esse ponto, em metros, é:
2
x
 1
 
2
o
400 m
o
 1
Transformando   em radiano:
2
o


 1

  .
 2  180 º 360
Aplicando  

r

x

360 400
x
40 
36
x
10 
metros
9
QUESTÃO 18
O período da função f ( x )  sen
Então o valor de a é:
2
5  2


2
2
2
a
5 2a
5


 a
2
2
2
Como p 
QUESTÃO 19
2x
5
é igual a
.
a
2
Na figura abaixo tem-se um esboço gráfico da função definida por f(x) = a . cos bx.
y
1
–
Os valores de a e b são,
0

2 3
4
–1
x
respectivamente:
Trata-se de uma cossenoide invertida, e como a imagem é de –1 a 1, a = –1 . O valor de b é
devido ao período, p = 4.
Como p 
2
2
 4 
c
b
b
1
2
QUESTÃO 20
Se x é um número real tal que sen2x – 3 sen x = –2, então x é igual a:
sen2 – 3 sen x + 2 = 0
então sen x = 2 ou sen x = 1
Como sen x = 2 é impossível
sen x = 1 então
x

 2k
2
QUESTÃO 21
Ao serem retiradas 128  de uma caixa-d'água de forma cúbica, o nível da água baixa 20 cm.
Então a capacidade da caixa-d'água, em litros é:
O volume do que foi retirado é x . x . 20 cm = 128
20 cm
x2 . 2 dm = 128 dm3
x2 = 64
x
x
x = 8 dm
V = x3 = 83 = 512
QUESTÃO 22
O reservatório de tinta de uma caneta esferográfica tem a forma cilíndrica. Seu diâmetro é de 2 mm e o
seu comprimento é de 12 cm.
Então a quantidade em m de tinta que pode ser acondicionada nesse reservatório é: (Use  = 3)
V =  . 12 . 120
V = 360 mm3
12 cm = 120 mm
= 0,36 cm3 = 0,36 m
(lembre-se que 1 m = 1 cm3)
2
2 mm
QUESTÃO 23
Sabemos que uma boia que serve para orientar navios na entrada de um ponto tem a
forma ao lado. Ela é formada por um hemisfério de 2 m de diâmetro e por um cone de
80 cm de altura.
Então o volume da boia é:
4 3
1
12 . 0,8
3
V

2
3
80 cm
= 0,8 m
V
2 0,8 2,8


3
3
3
1m
QUESTÃO 24
Um contribuinte esqueceu-se de pagar um certo imposto. Verificou então que haveria multa pelo atraso,
a qual deveria ser paga do seguinte modo: no primeiro dia após o vencimento, a multa seria R$ 38,00;
e a cada dia, a partir do segundo dia de atraso, seriam acrescidos R$ 5,00 à multa do dia anterior.
Sendo assim, o total da multa paga após cinco dias de atraso é:
1o dia: 38,00 de multa
2o dia: 38 + 5 = 43
3o dia: 43 + 5 = 48 e assim por diante formando uma PA (38, 43, 48, ...) de 5 termos:
a5 = 38 + 4 . 5 = 58
S5 
(38  58) . 5 96 . 5

 240,00
2
2
QUESTÃO 25
Há bactérias que se reproduzem por bipartição, isto é, cada uma delas se divide em duas ao atingir
determinado tamanho. Suponha que em uma cultura há 3 . 2 7 dessas bactérias e cada uma delas se
divida em duas, dando origem à 1a geração. Cada bactéria da 1a geração se divida em duas, dando
origem a 2a geração e assim por diante.
O número de indivíduos correspondente a 3 . 2 25 será da:
Se é sempre multiplicado por 2, representará uma PG de razão q = 2 e a 1 = 3 . 28 (1a geração).
Como an = 3 . 225 :
an = a1 . qn-1
3 . 225 = 3 . 28 . 2n-1
217 n= 2n-1  n – 1 = 17
 n = 18
Portanto será da 18a geração