1. Teorema de Jacobi
Adicionando-se a uma fila de uma matriz A, de ordem n, uma
outra fila paralela, previamente multiplicada por uma constante,
obteremos uma nova matriz M´, tal que:
det M´ = det M
-3
Ex.:
1
0
5
1 3 5
4 2 7  4  10 7
4  11  6
4 1 6
Resumindo: o que estamos dizendo é que é possível facilitar o
cálculo de um determinante, provocando o surgimento de
ZEROS no meio da expressão por meio da utilização do
Teorema de Jacobi.
Exemplo:
 1 1 1
 2
1 1

det
 1 2  1

 1 1 2
1
 1  1  1 1
0 3


1

1
1

 det 
0
1  2 2
1



3 0
1
0 2
Explicando melhor:
 1 1 1
 2
1 1

det
 1 2  1

 1 1 2
1  2 1  1
 1  1  1 1



0 3
1  1
1

 det
0
1  2 2
1



3 0
1
0 2
Mesmo com essas transformações o valor do determinante
não muda, porém com o surgimento dos zeros o processo
do cálculo se torna mais simples, conforme veremos mais
adiante.
2. O Teorema de Laplace: Menor Complementar
• Chama-se menor complementar (ij) de uma matriz A o
determinante da matriz que se obtém de A retirando-se a
linha i e a coluna j. Representa-se por Dij.
• Exemplo: Sendo dada a matriz A, calcule D11, D21, D22.
  2 3 1


A   3 2  2
 2 0 3 


D11 
D21 
D22 
2 2
0
3
3 1
0
 6 (eliminamos a linha1 e a coluna1)
3
 9 (eliminamos a linha 2 e a coluna1)
 2 1
2
3
 6  2  4 (eliminamos a linha 2 e a coluna 2)
3. O Teorema de Laplace: Cofator
• O cofator Aij de um elemento aij de uma matriz
quadrada, é o número que se obtém ao multiplicar
a potência (– 1)i+j pelo menor complementar de aij .
Aij   1
i j
 Dij
• Exemplo:
  2 3 1


Sendo A   3 2  2  calcule A11, A21, A22.
 2 0 3 


2 2
11
A11   1  D11  1
 6 . Veja que A11  D11.
0 3
A21   1
3 1
 D21   1
  1 9   9. Veja que A 21   D21.
0 3
A22   1
 2 1
 D22  1
 1  6  2  4. Veja que A 22  D22 .
2
3
21
2 2
Exemplo: Sendo dada a matriz A, calcule: D12, A12,
D31 e A31.
3
5
 2
A    1
8
2
 2  2  7 
2
 1
12
D12  det 
 3  A12  1 D12  3

 2  7
3 5
31
D31  det 
 34  A31  1 D31  34

8 2
4. Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma
algébrica dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou
coluna) pelos respectivos Cofatores.
• Para cada linha k:
det(A)  ak1 Ak1  ak 2 Ak 2   akn Akn
• Para cada coluna j:
det(A)  a1 j A1 j  a2 j A2 j   anj Anj
Observações:
• O Teorema de Laplace permite o cálculo do determinante de
uma matriz de ordem n através do cálculo de determinantes
de ordem n - 1;
• Deve-se escolher a linha ou coluna com mais zeros;
• Usar primeiro operações elementares sobre linhas para
obter uma coluna com mais zeros e só depois o Teorema
de Laplace sobre essa coluna.
 a11

det  a21
a
 31
a12
a22
a32
det  a11   1 
11
a13 

a23   a11  A11  a12  A12  a13  A13 (pela 1ª linha)
a33 
a22
a23
a32
a33
 a12   1
1 2

a21 a23
a31
a33
 a13   1 
13
a21 a22
a31
a32
Exemplo: Calcule o determinante abaixo.
 1 1 1
 2
1

1
det 
 1 2  1

 1 1 2
1

1
1

1
Sugestão: use o teorema de Jacobi para simplificar o
cálculo do determimante.
 1 1 1
 2
1 1

det
 1 2  1

 1 1 2
1
 1  1  1 1
0 3


1

1
1

 det 
0
1  2 2
1



3 0
1
0 2
Entendendo melhor a aplicação do Teorema de Jacobi:
 1 1 1
 2
1 1

det
 1 2  1

 1 1 2
 1 1 1
 2
1 1

det
 1 2  1

 1 1 2
1  2 1  1
 1  1  1 1



0
3
1

1
1

 det 
0
1  2 2
1



3 0
1
0 2
1
 1  1  1 1
1  1
3



1
0 3
1  1
11

 1  1  det  1  2 2
 det
0
1
1  2 2
2
3 0



1
3 0
0 2
1  1 3 1
3
 1 1  det  1  2 2 1  2
2
3 0 2 3
 11 0  4  3  4 18  0   21
5. Regra de Chió
A regra de Chió é uma técnica utilizada no cálculo do
determinantes de ordem n  2. Dada uma matriz A de ordem
n, ao aplicarmos essa regra obteremos uma outra matriz A´
de ordem n – 1, cujo determinante é igual ao de A.
1. Desde que a matriz tenha um elemento igual a 1 (um), eliminamos
a linha e a coluna deste elemento.
2. Subtraímos de cada elemento restante o produto dos dois
elementos eliminados, que pertenciam à sua linha e à sua coluna.
3. Multiplicamos o determinante obtido por (-1)i
representam a linha e a coluna retiradas.
1 3 1
6 5
0  2.3 3  2.( 1)
Ex.:

2 0 3 
5 7
1  2.3 5  2.( 1)
2 1 5
+ j,
em que i e j
 42 25 
-17
Obs: no caso da linha 1 e da coluna 1, não é necessário multiplicar o
determinante por (-1)i + j, pois (-1)1 + 1 vai resultar em 1, que é o
elemento neutro da multiplicação.
Exemplo:
Calcular, usando a regra de Chió, o determinante abaixo:
1 3 7 2
4 14 30 6
3 10 20 8
2 5 16 3

2
1
14  4.3 30  4.7 6  4.2

10  3.3 20  3.7 8  3.2
5  2.3 16  2.7 3  2.2
22  2
11 2
2
- - 1 -2
= 2 - 4- 4 + 2- 8 + 2
1
+
+
+
= - 10
Exemplo:
Calcular o Determinante abaixo, usando a Regra de Chió.
Observe primeiro que o número 1 ocupa a 1ª linha e 3ª coluna, mas
como a soma i + j - = 1 + 3 = 4 é par, teremos (-1)i + j positivo.
7 3 1 2
30 14 4 6
20 10 3 8
16 5 2 3
2
 1
- - 1
30  7.4 14  3.4 6  4.2

20  7.3 10  3.3 8  3.2
16  7.2 5  3.2 3  2.2
2 2
1 2
2
-
= (2 - 4 - 4 + 2 - 8 + 2)
1
+
+
+
= (- 10) = -10
Exemplo:
Se o determinante não tiver nenhum elemento unitário podemos dividir
uma das filas (linha ou coluna) para obtermos um elemento unitário, mas
devemos multiplicar o determinante obtido por este valor para não haver
alteração do resultado
3 3 7 2
12 14 30 6
9 10 20 8
6 5 16 3
2
2
1 3 7 2
4 14 30 6
 3.
3 10 20 8
2 5 16 3
2
 3 . 1  1 2 = 3 . (-10) = -30
1 2 1
6. Matriz de Vandermonde
Chamamos matriz de Vandermonde, ou das potências, toda
matriz de ordem n  2, em que suas colunas são potências de
mesma base, com expoente inteiro, variando de 0 à n – 1 (os
elementos de cada coluna formam uma progressão
geométrica de primeiro termo igual a 1).
Obs.: Os elementos da 2ª linha são chamados elementos
característicos da matriz.
O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao produto
de todas as diferenças possíveis entre os elementos
característicos e seus antecessores.
Ex.:
1
2
1
3
1
5
1
77
4
9
25
49
8 27 125 343

(3 – 2)(5 – 2)(5 – 3)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 5)
1.3.2.5.4.2
240
7.O cálculo da Matriz Inversa Usando Determinantes
7.1 - MATRIZ DOS COFATORES (Cof A)
Chama-se matriz dos cofatores de uma matriz quadrada A à
matriz que se obtem substituindo em A cada elemento pelo
seu Cofator.
A  A 
A
11
A
A'  Cof A   21
 

 An1
12
1n
A22  A2 n 
   

An 2  Ann 
7.2 - MATRIZ ADJUNTA (Adj A)
Chama-se matriz adjunta de uma matriz quadrada A à matriz
que se obtem transpondo a matriz dos cofatores.
 A11
A
t
A  Cof A   12
 

 A1n
An1 
 An 2 
  

 Ann 
A21 
A22

A2 n
7.3 - CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA (A-1)
Agora que já encontramos a matriz dos cofatores e sua
transposta, a matriz adjunta, para determinar a matriz
inversa de A basta multiplicar o inverso do determinante de A
por essa matriz adjunta:
A1 
1
A
det A
Exemplo:
1 2
Calcular a matriz inversa da matriz A  

3
4


Solução:
Primeiro vamos calcular o cofator
11


A


1
det4  4
11
de cada um dos elementos da
1 2
matriz A:
A12   1 det3  3
A21   1
2 1
A22   1
2 2
det2  2
det1  1
Agora vamos escrever a matriz dos cofatores:
 4  3
A'  Cof A  


2
1


Agora vamos escrever a matriz adjunta:
 4  2
A  AdjA  Cof A  


3
1


t
Agora vamos calcular o determinante de A:
1 2
det A 
 4  6  2
3 4
E por fim:
1
1  4  2
A 
A 


1
det A
2  3
1
1
 2
A 

3
2

1
2


1
OBSERVAÇÕES:
1) Uma matriz quadrada A diz-se REGULAR ou NÃO-SINGULAR
se det A ≠ 0.
2) Uma matriz quadrada somente é INVERTÍVEL se for regular.
3) Uma matriz quadrada invertível diz-se ORTOGONAL somente
se sua transposta dor igual à sua inversa.
A é ortogonal A  A1  A  At  I n  A1  At