Álgebra Linear - Prof a Ana Paula
AUTOVALOR E AUTOVETOR
n
Definição: Se T : n
é operador linear, então um escalar é chamado de um autovalor
de T se existe um vetor não-nulo x em n tal que:
Tx
x
Os vetores não-nulos x que satisfazem esta equação são chamados de autovetores de T
associados a .
OBS: Isto é, um autovetor x é levado em um vetor que está na mesma reta que x.
Como encontrar:
Seja A a matriz canônica de T, então T x
Ax
x.
Temos Ax
x
Ax
x 0
Ax
Ix 0
A
I x 0, que é um sistema
homogêneo. Lembrando que um sistema homogêneo terá solução não-nula, se e somente se,
det A
I
0.
Então, det A
I
0 é denominada equação característica do operador T ou da matriz T.
As suas raízes são os autovalores de T.
O determinante det A
I é um polinômio em denominado polinômio característico. A
substituição de
pelos valores no sistema homogêneo permite determinar os autovetores
associados.
Exemplos: Encontre os autovalores e autovetores de:
2
1) T : 2
onde T x, y
4x 5y, 2x y
2
2
2) T :
onde T x, y
y, x
2
2
3) T :
onde T x, y
x 2y, x 4y
3
4) T : 3
onde T x, y, z
x y z, 2y z, 2y 3z
OBS:
2
1) Se T : 2
com 1
2 , o conjunto v 1 , v 2 formado pelos autovetores associados será
2
uma base do .
3
2) Se T : 3
com 1
v 1 , v 2 , v 3 formado pelos autovetores
2
3 , o conjunto
3
associados será uma base do .
2
Exemplo: T :
2
2
onde T x, y
3x
5y, 2y . O conjunto
1, 1 ,
1, 0
é uma base do
.
OBS: Se A é simétrica e T possui autovalores distintos, então a base formada pelos autovetores
é ortogonal.
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Exemplos:
1) T : 2
2) T : 2
3) T : 3
2
2
3
onde T x, y
onde T x, y
onde T x, y, z
7x 4y, 4x y
3x y, x 3y
x z, y, x z
Exercícios de Fixação:
1) Sejam S e T operadores lineares de
Determinar:
a) S T
b) T-S
c) 2S 4T
d) SoT
e) ToS
f) SoS
2
definidos por S x, y
x
2y, y e T x, y
2x, y .
3
definidos por S x, y, z
x, 2y, x y e
2) Sendo S e T operadores lineares do
T x, y, z
x z, y, z , determinar:
a) SoT
b). ToS
4
3) Seja a transformação linear S : 3
, S x, y, z
x y, z, x y, y z :
2
3
a) Calcular SoT x, y se T :
, T x, y
2x y, x y, x 3y .
b) Determinar a matriz canônica de SoT e mostrar que ela é o produto da matriz canônica de S
pela matriz canônica de T.
4) Dados os operadores lineares T em 2 e em 3 . Verifique quais são inversíveis e, nos casos
afirmativos, determinar uma fórmula para T 1 .
2
a) T : 2
, T x, y
3x 4y, x 2y
2
2
b) T :
, T x, y
x 2y, 2x 3y
2
2
, T x, y
2x y, 4x 2y
c) T :
2
d) T : 2
, T x, y
5x 2y, 4x 2y
2
2
e) T :
, T x, y
x, y
3
3
f) T :
, T x, y, z
x y 2z, y z, 2y 3z
3
g) T : 3
, T x, y, z
x y z, x 2y, z
3
3
h) T :
, T x, y, z
x, x z, x y z
3
3
i) T :
, T x, y, z
x y 2z, y z, 2x y 3z
3
3
j) T :
, T x, y, z
x z, x z, y
5) Determinar os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares.
2
a). T : 2
, T x, y
x 2y, x 4y Resp: 3, 2 , ( y,y) e (2y,y)
2
2
b).T :
T x, y
2x 2y, x 3y Resp: 1,4, (-2y,y) e (x,x)
2
c) T : 2
, T x, y
5x y, x 3y Resp: 4, 4 (x,x)
2
2
d) T :
, T x, y
y, x Resp: não existem
3
3
e).T :
, T x, y, z
x y z, 2y z, 2y 3z Resp: 1,1 (x,y,-y), (x,x,2x)
3
, T x, y, z
x, 2x y, 2x y 2z Resp: 1,-1, 2 , (3z, -3z, z), (0,-3z,z) e (0,0,z)
f).T : 3
3
g)T : 3
, T x, y, z
x y, y, z Resp: 1,1,1, (x,0,z) x e z não simultaneamente nulos.
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Respostas:
1. a) (3x-2y,0)
f) (x-4y,y)
2a)
b) (x 2y, -2y)
1
0
1
0
2
0
1
1
1
3a) SoT x, y
2b)
3x, x
3y, x
c) (10x-4y,-2y)
0
1
0
0
2
0
1
1 0
2y, 2x
d)(2x 2y,-y)
e)(2x-4y,-y)
4y
x 2y, 1/2x 3/2y
4a) T 1 x, y
1
b) T x, y
3x 2y, 2x y
c) não
d) T 1 x, y
x y, 2x 5/2y
1
x, y
e)T x, y
1
f) T x, y, z
x y z, 3y z, 2y z
g) T 1 x, y, z
2x y 2z, x y z, z
1
h) T x, y, z
x, y z, x y
i) não
j) T 1 x, y, z
1/2x 1/2y, z, 1/2x 1/2y
5) a). 3, 2, y, y e 2y, y
b).1, 4, 2y, y e x, x
c) 4, 4 x, x
d) não existem
e) 1, 1 x, y, y , x, x, 2x
f).1, 1, 2, 3z, 3z, z , 0, 3z, z e 0, 0, z
g) 1, 1, 1, x, 0, z x e z não simultaneamente nulos.
Consultar o livro: Steinbruch, A. Winterle, P. Álgebra Linear. 2a. ed. Makron Books. 1987.
Fazer os exercícios 1 a 11, 27 a 31, 33 a 36, 39, 40, 42 a 45 (páginas 211 a 221) do capítulo
4.
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