18.06 Teste 3 3 de maio de 2000
Seu nome é:
Quebra-cabeça
_______________________________
Faça um círculo em sua recitação:
Obs.: Certifique-se de que seu teste tem cinco problemas.
Pontos
Problema
possíveis
1 _________ 25
2 _________ 25
3 _________ 25
4 _________ 25
Total _________ 100
1 (25 pontos) Deixe
de modo que
Os autovetores de ATA são os seguintes:
(a) Quais são os autovalores de ATA?
(b) Quais são os valores únicos de A?
(c) Forneça a decomposição de valor único de A.
Obs.: Você precisa mostrar seu trabalho para receber os créditos para este problema.
2 (25 pontos) Verdadeiro (dê a razão) ou Falso (dê um contra-exemplo):
(a) Se A é uma matriz simétrica, quaisquer dois autovetores de A são perpendiculares.
(b) Se A é n x n e tem n autovetores ortonormais, então A é simétrica.
(c) Qualquer matriz S de autovetores de uma matriz simétrica é simétrica.
Obs.: Você precisa mostrar seu trabalho para receber os créditos para este problema.
3 (25 pontos) Deixe
Para quais valores de d (se houver) A precisa ter todos os autovalores positivos? (Sugestão: não tente
calcular os autovalores de A).
Obs.: Você precisa mostrar seu trabalho para receber os créditos para este problema.
4 (25 pontos)
Suponha que A seja uma matriz 3 x 3 com autovalores ë = 1 e ë = 2. Suponha também que
A – I tenha classificação um.
(a)
Qual autovalor de A está repetido? Explique o porquê.
(b)
Escreva uma matriz específica que seja similar a A e simétrica.
Explique por que elas são similares.
(c)
Escreva uma matriz específica que seja similar a A e não simétrica.
Explique por que elas são similares.
(d)
Escreva uma matriz específica que tenha os mesmos autovalores como A mas que
não seja similar a A. Explique por que elas não são similares.