1a. Lista de Exercícios de H-Álgebra Linear II
Profa. Melissa Weber Mendonça∗
28 de agosto de 2011
1
Matrizes
1. Considere cada um dos pares de sistemas lineares abaixo. Eles são equivalentes? Em caso
positivo, escreva (em cada item) cada uma das equações de um sistema como combinação
linear das equações do outro sistema.
(a)
(
(b)
x1 − x2 = 0
2x1 + x2 = 0
(
3x1 + x2 = 0
x1 + x2 = 0


−x1 + x2 + 4x3 = 0



x1 + 3x2 + 8x3 = 0



 x1 + x + 5 x = 0
2
2
2 3
2. Se
(
x1 − x3 = 0
x2 + 3x3 = 0


3 −1 2


A = 2 1 1


1 −3 0
(a) Encontre todas as soluções do sistema Ax = 0 através do escalonamento de A.
(b) Para quais vetores y = (y1 , y2 , y3 ) o sistema Ax = y tem solução?
3. Se


 6 −4 0


A =  4 −2 0


−1 0 3
encontre todas as soluções dos sistemas Ax = 2x e Ax = 3x.
4. Considere o sistema Ax = 0, em que
!
a b
A=
∈ ’2×2 .
c d
Mostre que
(a) Se todos os elementos de A são nulos, então qualquer par (x1 , x2 ) é solução do sistema
Ax = 0.
∗
Também disponível em http://www.mtm.ufsc.br/∼melissa
1
(b) Se ad − bc , 0, o sistema Ax = 0 só tem solução trivial (0, 0).
(c) Se ad − bc = 0 e um elemento de A for não-nulo, então existe uma solução (x1 , x2 ) tal
que todas as outras soluções são múltiplos desta.
5. Dê um exemplo de um sistema com duas equações e duas incógnitas que não tenha solução.
6. Mostre que o sistema
x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 1
x1 + x2 − x3 + x4 = 2
x1 + 7x2 − 5x3 − x4 = 3
não tem soluções.
7. Encontre duas matrizes em ’2×2 diferentes, tais que A2 = 0 mas A , 0.
8. Seja
!
C11 C12
C=
∈ ’2×2 .
C21 C22
Sob quais condições é possível encontrar matrizes A, B ∈ ’2×2 tais que
C = AB − BA.
Prove que estas matrizes podem ser encontradas se e somente se
C11 + C22 = 0.
9. Suponha que A ∈ ’2×1 e que B ∈ ’1×2 . Prove que C = AB não é inversível.
10. Seja A ∈ ’n×n . Prove as afirmações seguintes:
(a) Se A é inversível e AB = 0 para alguma B ∈ ’n×n , então B = 0.
(b) Se A não é inversível, então existe B ∈ ’n×n tal que AB = 0 mas B , 0.
2
Espaços Vetoriais
1. Seja V = ’2 . Então defina as seguintes operações:
(x, y) + (x1 , y1 ) = (x + x1 , y + y1 )
c(x, y) = (cx, y)
(c ∈ ’)
Verifique se V com estas operações é um espaço vetorial.
2. Em ’n , defina duas operações
α+β = α−β
cα = −cα
onde as operações à direita são as operações usuais em ’. Quais axiomas dos espaços vetoriais
são satisfeitos para este conjunto com estas operações?
2
3. Seja V = ’2 e considere
(x, y) + (x1 , y1 ) = (x + x1 , 0)
c(x, y) = (cx, 0)
(c ∈ ’)
Verifique se V com estas operações é um espaço vetorial.
4. Quais dos seguintes conjuntos de vetores α = (α1 , . . . , αn ) ∈ ’n são subespaços de ’n (n ≥ 3)?
(a) {α ∈ ’n : α1 ≥ 0}
(b) {α ∈ ’n : α1 + 3α2 = α3 }
(c) {α ∈ ’n : α2 = α21 }
(d) {α ∈ ’n : α1 α2 = 0}
5. Seja V o espaço de todas as funções f : ’ → ’. Quais dos seguintes subconjuntos são
subespaços de V?
(a) { f ∈ V : f (x2 ) = f (x)2 }
(b) { f ∈ V : f (0) = f (1)}
(c) { f ∈ V : f (3) = 1 + f (−5)}
(d) { f ∈ V : f (−1) = 0}
6. Seja V = ’n×n , n ≥ 2. Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de V?
(a) {A ∈ V : A é inversível}
(b) {A ∈ V : A não é inversível}
(c) {A ∈ V : AB = BA, onde B é uma matriz fixa em V}
(d) {A ∈ V : A2 = A}
7. Seja V o espaço de todas as funções f : ’ → ’. Seja V p o subconjunto de todas as funções
pares, e Vi o subconjunto de todas as funções ímpares.
(a) Mostre que V p e Vi são subespaços de V.
(b) Mostre que V p + Vi = V
(c) Mostre que V p ∩ Vi = {0}.
8. Verifique se os vetores
α1
α2
α3
α4
=
=
=
=
(1, 1, 2, 4)
(2, −1, −5, 2)
(1, −1, −4, 0)
(2, 1, 1, 6)
são linearmente independentes em ’4 . Em seguida, encontre uma base para o subespaço gerado por estes vetores.
9. Seja V ⊆ ’ um espaço vetorial e suponha que α, β, γ ∈ V são l.i. Prove que (α + β), (β + γ),
(γ + α) são l.i.
3
10. Mostre que os vetores
α1
α2
α3
α4
=
=
=
=
(1, 1, 0, 0)
(0, 0, 1, 1)
(1, 0, 0, 4)
(0, 0, 0, 2)
formam uma base para ’4 . Encontre as coordenadas de cada um dos vetores da base canônica
nesta nova base ordenada {α1 , α2 , α3 , α4 }.
11. Seja x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ ’2 tais que
x12
x1 y1 + x2 y2 = 0
+ x22 = y21 + y22 = 1.
Mostre que B = {x, y} é uma base para ’2 . Encontre as coordenadas de um vetor (a, b) nesta
nova base ordenada. O que querem dizer geometricamente estas condições impostas a x e y?
12. Seja P2 o conjunto de todos os polinômios reais a coeficientes reais de grau menor ou igual a
2. Seja t ∈ ’ um número real fixo e defina
q1 (x) = 1
q2 (x) = x + t
q3 (x) = (x + t)2
Prove que B = {q1 , q2 , q3 } é uma base para P2 . Se
f (x) = c0 + c1 x + c2 x2
quais são as coordenadas de f na base B?
4