1a. Lista de Exercícios de H-Álgebra Linear III
Profa. Melissa Weber Mendonça∗
29 de março de 2012
1. Se B é semelhante a A e C é semelhante a B, mostre que C é semelhante a A.
2. Quais matrizes são semelhantes à identidade?
3. Explique porque A nunca pode ser semelhante a A + I.
4. Encontre M diagonal composta por 1’s e −1’s de forma que


2 1 0 0
1 2 1 0

A = 
0 1 2 1
0 0 1 2
seja semelhante a


 2 −1 0 0 
−1 2 −1 0 

B = 
 0 −1 2 −1
0 0 −1 2
5. Mostre que se B é inversível, então BA é semelhante a AB.
6.
(a) Se CD = −DC e D é inversível, mostre que C é semelhante a −C.
(b) Deduza que, neste caso, os autovalores de C devem aparecer em pares com sinal alternado.
(c) Mostre que se Cx = λx então C(Dx) = −λ(Dx).
7. Se A ∈ ’n×n tem autovalores 0, 1, 2, quais são os autovalores de A(A − I)(A − 2I)?
8. Se A ∈ ’n×n é tal que ai j = 1 para todo j > i e 0 em todas as outras entradas, encontre sua
forma de Jordan (por exemplo, no caso 4 × 4).
9. Escreva todas as formas de Jordan possíveis para uma matriz 4 × 4 que tenha autovalor 0
(repetido 4 vezes).
10. Decida se cada uma das matrizes abaixo é definida positiva ou não e escreva a forma quadrática
correspondente:
"
#
1 3
(a)
3 5
∗
Também disponível em http://www.mtm.ufsc.br/∼melissa
1
"
#
1 −1
(b)
−1 1
"
#
2 3
(c)
3 5
"
#
−1 2
(d)
2 −8
"
#
1 b
11. Para quais números b a matriz A =
será definida positiva? Encontre A = LDLT no caso
b 9
em que A é d.p.
"
#
a b
12. (a) Se A =
é definida positiva, mostre que A−1 também o é.
c d
(b) Suponha que os coeficientes positivos a e c dominem b no sentido que a + c > 2b. Isto é
suficiente para garantir que A é d.p.? (Prove ou dê um contra-exemplo.)
13.
(a) Encontre as matrizes correspondentes às formas quadráticas
f1 (x) = x12 + x22 + x32 − 2x1 x2 − 2x1 x3 + 2x2 x3
e
f2 (x) = x12 + 2x22 + 3x32 − 2x1 x2 − 2x1 x3 − 4x2 x3
(b) Mostre que f1 representa um único quadrado perfeito e não é definida positiva. Para quais
x temos f1 (x) = 0?
14.
(c) Escreva f2 como uma soma de três quadrados e fatore sua matriz correspondente em
LDLT .
"
#
a b
(a) Se A =
é Hermitiana (com b complexo), encontre seus pivôs e seu determinante.
c d
(b) Complete os quadrados:
b
f = xH Ax = a|x1 |2 + 2Re(bx1 x2 ) + c|x2 |2 = a|x1 + ( )x2 |2 +?
a
(c) Verifique se as matrizes
e
"
#
1
1+i
1−i
2
"
#
3
4+i
4−i
6
são d.p.
15. Para quais números a e b as matrizes abaixo são definidas positivas?




2 2 4
a 1 1




A = 1 a 1
B = 2 b 8




1 1 a
4 8 7
2
16. Decida se as matrizes abaixo são definidas positivas ou não.


 2 −1 −1


A = −1 2 −1


−1 −1 2


 2 −1 −1


B = −1 2 1 


−1 1 2

2
0 1 2


C = 1 0 1 .


2 1 0
17. Construa uma matriz indefinida da forma


 1 b −b


 b 1 b 
−b b 1
com |b| < 1.
18. Mostre que se A e B são definidas positivas, então A + B também o é.
"
#
5 4
19. Seja A =
. Encontre R para que A = RT R usando as 3 maneiras vistas em aula:
4 5
√
√
• A = ( DLT )T DLT
√
√
• A = ( ΛQT )T ΛQT
√
√
• A = (Q ΛQT )T Q ΛQT
20. Se A for simétrica definida positiva e C for não-singular, mostre que B = C T AC também é
simétrica definida positiva.
21. Suponha que AM + M H A = −I com A definida positiva. Se Mx = λx, mostre que Re(λ) < 0.
3