1
Largura de decaimento Γ
O tempo de vida (τ ) é uma quantidade de enorme interesse entre os fı́sicos,
porém é impossı́vel calculá-la a partir de uma única partı́cula, então o que se
faz é determinar o tempo de vida médio a partir de uma amostra contendo
N0 quantidades de uma mesma partı́cula. A probabilidade de decaimento por
unidade de tempo denomina-se largura de decaimento (Γ) e, a partir dela, é
possı́vel determinar a quantidade de partı́culas de uma amostra em função do
tempo:
N (t + dt) − N (t) = dN (t) = −N (t)Γdt
o que nos leva a:
Z
N (t)
dN ′ (t)
=
′
N (0) N (t)
N (t)
=
ln
N (0)
N (t) =
−
Z
t
Γdt′
0
−Γt
N0 e−Γt
(1)
A fração de decaimento, em relação à amostra inicial, entre os perı́odos t e
t + dt é:
N (t) − N (t + dt)
= e−Γt Γdt
N0
Logo, a probabilidade de uma partı́cula escolhida ao acaso na amostra inicial
decair entre os instantes t e t + dt é:
p(t) = e−Γt Γ
de modo que o tempo de vida médio fica:
Z ∞
τ = hti =
te−Γt Γdt
0
=
=
−Γt ∞ Z ∞ −Γt e
e
+
dt
Γ t
−Γ 0
Γ
0
1
Γ
(2)
Naturalmente, uma mesma partı́cula pode apresentar múltiplas larguras de
decaimento, dado que pode decair de diferentes formas, chamamos estas de
larguras parciais. Um exemplo seria o π + , cujos decaimentos conhecidos são:
π+
π+
→ e + + νe
→ µ+ + ν µ
π+
π+
→ µ+ + ν µ + γ
→ e + + νe + π 0
1
Nesses casos, a largura de decaimento e o tempo de vida ficam:
Γtot
=
n
X
Γi
(3)
i=1
τ
=
1
Γtot
(4)
onde n é o número de decaimentos possı́veis.
A meia-vida (t1/2 ) é facilmente calculada:
N (t1/2 ) = 12 N (0) = N (0)e−Γt1/2
⇓
1
−Γt1/2 = ln 2 ⇒ t1/2 = Γ1 ln 2 = τ ln 2
(5)
Portanto, a partir da largura de decaimento é possı́vel determinar o tempo
de vida e a meia-vida de uma partı́cula, por isso, é essencial que exista um
modelo que permita obter uma fórmula para Γ. A partir da QFT, pôde-se
determinar que uma partı́cula 1 decaindo em n outras apresenta a seguinte
largura de decaimento:
!
Z
n
n
Y
X
d4 pj
S
2
4 4
2πδ(p2j − m2j c2 )θ(p0j )
pi ×
(6)
|M | (2π) δ p1 −
Γ=
2~m1
(2π)4
j=2
i=2
onde M (p1 , · · · , pn ) é a amplitude do processo, pj é o quadrivetor momentoenergia e S é um fator de correção estatı́stica que evita a contagem repetida de
partı́culas idênticas obtidas no decaimento:
S=
l
Y
1
N
i!
i=1
onde l é o número de partı́culas distintas formadas no decaimento e Ni é a
quantidade de cada uma dessas diferentes partı́culas. Então, se não houver
partı́culas idênticas S = 1; enquanto que o processo A → B + B + C + C + C + D
tem S = (1/2!)(1/3!).
A equação (6) revela três restrições cinemáticas:
• a função δ(p2j − m2j c2 ) mostra que todas as partı́culas (reais) que saem são
on shell, ou seja, obedecem a relação relativı́stica entre momento e energia
Ej2 − p~j 2 c2 = m2j c4 .
• a função heaviside θ(p0j ) garante que p0j = Ej /c > 0.
n
P
pi garante que o momento e a energia se conservam.
• a função δ 4 p1 −
i=2
2