Temas de DSP
Conceitos básicos
de
Sinais
1
O que é um “sinal”?

Definir um sinal é uma forma genérica de se referir a uma variável
que se altera com o tempo, espaço, ou alguma outra variável
independente:
• Um sinal pode ser definido de forma determinística, se puder
ser modelado exatamente para cada valor da variável
independente, mediante uma expressão matemática, uma
função, uma tabela de valores, ou algo similar.
• Ou ser definido em forma probabilística ou estocástica
(random signals), onde não é possível prever o valor exato do
sinal para cada valor da variável independente, ainda que se
tenha certas características globais (distribuição ou densidade
probabilística, espectro, energia).
2
Tipos possíveis de sinais

Um sinal analógico varia de forma
contínua em sua magnitude, sendo
definido para todo instante da
x(t)
t
variável independente (p.ex: tempo).

Um sinal discreto varia de forma
contínua em sua magnitude, sendo
definido apenas para certos valores
x(kT)
kT
da variável independente.

Um sinal digital varia de forma
discreta em sua magnitude, estando
definido apenas para certos valores
da variável independente.
N(kT)
kT
3
Tipos de sinais
Transdutor
Fenômeno
físico
Sinal
contínuo
Sample
& Hold
Sinal
discreto
Conversor
A/D
Sinal
digital
A maioria dos fenômenos naturais macroscópicos estão
associados a sinais contínuos: temperatura, radiação, som,
velocidade e direção do vento, umidade,... O mesmo ocorre com
muitos fenômenos físicos usados em aplicações tecnológicas:
força, torque, velocidade de giro, potência, etc...
 Muitas vezes é possível, para facilidade de cálculo, definir sinais
imaginários (usando números complexos).

4
Temas de DSP
Conceitos básicos
de
sinais contínuos
5
Sinais periódicos e
aperiódicos

O comportamento de um dado sinal pode catalogar-se como transitório
ou de estado estacionário.

Chamamos de estado estacionário se o sinal exibe periodicidade, ou
pode ser considerado o resultado de uma soma de funções periódicas.

Uma função x(t) é periódica, de período T, se, e apenas se, atende a
equação x(t+nT)=x(t) para todo tempo e para todos os possíveis
valores inteiros de n.

Uma função é quase periódica se cumpre a condição prévia para um
certo conjunto de valores de n.
transitório
quase-estacionário
transitório
6
Funções periódicas
pares e ímpares
Uma função x(t) é chamada par, se para todo valor de t se
cumpre que x(t) = x(-t)
 Uma função x(t) é chamada ímpar se para todo valor de t se
cumpee que x(t) = - x(-t)
 Qualquer função periódica pode ser vista como a soma de uma
componente par mais uma componente ímpar
x(t) = xpar(t) + ximpar (t)


onde xpar (t) = 1/2 [ x(t) + x(-t) ] y ximpar(t) = 1/2 [ x(t) - x(-t) ]
coseno = par
seno = impar
7
Representação de sinais:
e uso de Fasores

Ainda que os sistemas físicos estejam associados aos
sinais reais, usando a igualdade de Euler
Im
X
e jz = cos(z) + j.sen(z) é possível representar estas
quantidades mediante números complexos, tais como:
X  A.e j  A / 

Re

E um termo cosenoidal como:
Re[X] = A.cos(0)
x(t )  A. cos(0t   )  Re[ X .e j0t ]

Pode associar-se a parte real de um sinal complexo
~
x (t )  A.e j (0t  )  X .e j0t
cos(x) pode representar-se em série como 1-(x2/2!)+(x4/4!)-(x6/6!)+(x8/8!)+..., sen(x) como x-(x3/3!)+(x5/5!)(x7/7!)+(x9/9!)+..., e ex como 1+x+(x2/2!)+(x3/3!)+..+(xn/n!)+...se esta série se aplica com x=jz, e j 2 =-1, se tem:
e jz=1+jz-(z2/2!)-j(z3/3!)+(z4/4!)+j(z5/5!)-(z6/6!)-j(z7/7!)+.... que nos dá e jz = cos (z) + j.sen(z)
8
Representação de sinais:
o uso de Fasores
t
Componente
imaginário
t
Componente
real
0

O sinal complexa
~x (t )  A.e j (0t  )  X .e j0t

pode ser relacionada com x(t) como:
t
x(t )  Re[~x (t )]
9
Representação de sinais:
Fasores conjugados
x(t)
t
Componente
t imaginária
x*(t)

O sinal complexo
Componente
real
~x (t )  A.e j (0t  )  X .e j0t

também pode ser relacionada com x(t) como:
x(t )  12 .[~x (t )  ~x * (t )]
Fasores
conjugados
t
• de onde:
~x * (t )  A.e j (0t  )
10
Formas de especificar
um sinal

Um sinal unidimensional x(t) pode ser definido especificando seus
valores ao longo do tempo.

Ainda que esta especificação do sinal seja completa, para o sinal
ser processado, será necessário obter certas características do
sinal e redefinir x(t) mudando a variável independente t por uma
nova variável (uma transformação de variáveis é necessária).
Amplitude
tempo
11
Análise das componentes
em freqüência

Um dos métodos de modelagem de sinais x(t) é feita através da
soma de componentes de distintas freqüências, cada uma com
fase inicial
Amplitude
tempo
Freqüência/fase inicial
12
O “espectro” de um sinal

Se analisarmos um sinal x no eixo das freqüências, a função x(f)
representa o espectro de um sinal; neste caso devemos usar o
espectro complexo para poder representar a fase
Amplitude
x(t)
tempo
x(f)
Espectro de
freqüências
freqüência/fase inicial
13
Espectros de amplitude e fase
usando sinais complexos

O sinal real:
x(t )  A. cos(0t   )

Pode ser representado
mediante seu espectro real

Alternativamente, se usamos
fasores, devemos agregar
freqüências negativas para
identificar amplitude e fase
dos fasores conjugados
Amplitude
A
A j ( 0t  ) A  j ( 0t  )
x(t )  .e
 .e
2
2
Fase
0
f0
Amplitude
f
f0
f
A/2
f
f0
-f0
Fase
0
f
-f0
-0
f0
14
Sistemas Lineares

Um sistema é algo que aceita um ou mais sinais de entrada e gera uma ou
mais saídas. Este sistema G pode ser descrito através de um operador (ou
função) que aplicado às entradas “x” gera as saídas “y”.

Um sistema pode ser:
• homogêneo
• aditivo
• linear
• invariante no tempo

y(t) = G[x(t)]
x(t)
G
Neste caso é denominado LTI (Linear Time Invariant), ou estacionário
15
Sistemas LTI: propriedades

x(t)

homogêneo:
k
k.x(t)
aditivo:
G[k.x(t)] = k.G[x(t)]
G[ ]
x(t)
G[k.x(t)]

x1(t)
+
G[x(t)]
k
G[x1(t) + x2(t)] = G[x1(t)] + G[x2(t)]
x1(t)
x2(t)
G[ ]
k.G[x(t)]
G[ ]
x2(t)
G[ ]
G[ ]
+
linear: se é homogêneo e aditivo
16
Sistemas LTI: propriedades

invariante no tempo:
dado
se obtém
y(t) = G[x(t)]
y(t-T) = G[x(t-T)]
para todo T

causal: se em todo instante de tempo G[x(t)] só depende do valor
atual e dos valores prévios de x(t). Esta é uma característica de
todos os sistemas que se encontram no mundo real, ainda que o
uso de modelos não causais pode ser útil em certas aplicações.

estável: se e apenas se toda possível excitação limitada x(t)
produz uma resposta G[x(t)] também limitada.
17
Sistemas LTI:
resposta de amplitude
|A|
f

É um tipo de representação que indica o comportamento em
amplitude do sistema, em função da freqüência.

Ignora o comportamento da fase.

se faz necessário empregar escalas logarítmicas para a
amplitude (decibéis) e em freqüência (oitavas) para facilitar o
traçado de assíntotas.
18
Sistemas LTI:
atraso de fase e de grupo
f
O
O atraso de fase é um gráfico que indica o atraso ou avanço de fase
que sofre cada componente de freqüência ao atravessar um sistema.
Junto com a resposta de amplitude, define-se a estabilidade do
sistema (margem de fase e margem de ganho)
 O atraso de grupo está associado à tangente desta curva. Uma
tangente variável indica que a “forma” do sinal é alterada, e por isto é
chamado também “ atraso da envolvente”.

19