Apostila de matemática aplicada – Prof.Renato A .Toledo
Análise e desenvolvimento de sistemas
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MATRIZES
As matrizes aparecem em várias linguagens de programação, e principalmente na
armazenagem de dados (textos,números ou mesmo datas).
Quando utilizada na programação , devemos colocar , no início do programa,a quantidade
de elementos que a matriz poderá conter, ou então a quantidade de linhas e de colunas que ela
terá.Essa representação deve aparecer entre parênteses, para que o computador reserve na sua
memória espaços para todos os elementos que vão ser criados.Em matemática utilizamos letras
maiúsculas para nomear as matrizes,quando utilizadas em programação é comum utilizarmos o
nome da conta que está ligada ao contexto.
Definição
Matriz m×n é uma tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas e colocados
entre parênteses ou colchetes.
Exemplo:
2 3 


A =  1 5  está é uma matriz 3×2, ou seja , tem 3 linhas e 2 colunas.
 7 − 1

3× 2
1 3 5 7

M = 
matriz 2×4
 2 4 6 8  2×4
Representação de uma matriz
A matriz A tem os seus elementos representados por aij ,onde o i representa a posição do
elemento na linha e o j representa a posição do elemento na coluna.
Observe a matriz genérica abaixo:
 a11 a12

 a21 a22
a
a32
 31
A .
.

.
 .
 .
.

 am1 am 2
a13
a23
a33
.
.
.
am 3
...
a1n 

... a2 n 
... a3n 

.
. 

.
. 
.
. 

... amn  m×n
Perceba que na matriz acima , como não sabemos o número de colunas ,representamos a
última coluna por n e o mesmo acontece com o número de linhas que passou a ser m, fazendo
com que a ordem da matriz seja m×n.
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Matrizes especiais
Matriz linha
Possui uma única linha.
Exemplo:
A = (1 3 − 2 4 )1× 4
Matriz coluna
Possui uma única coluna.
Exemplo:
 2 
 
B=  − 3 
 5 
 3×1
Matriz nula
Essa matriz é forma somente por zeros, ou seja todos os seus elementos são nulos.
Exemplos:
 0 0

A= 
;
 0 0  2× 2
0 0 0

B= 
 0 0 0  2×3
Matriz quadrada
Toda matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas recebe o nome de
matriz quadrada de ordem n. As matrizes quadradas possuem duas diagonais, que recebe os
nomes de diagonal principal e diagonal secundária.
Exemplos:
Diagonal principal ( i = j )
3 2

A = 
5 7
Diagonal secundária ( i + j = n + 1)
Diagonal principal
 5 2 0


B = 6 3 1
4 7 9


Diagonal secundária
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Matriz diagonal
A matriz quadrada que possuem todos os seus elementos iguais a zero exceto os
elementos da diagonal principal, recebe o nome de matriz diagonal.
Exemplo:
1 0 0


D = 0 5 0
 0 0 3


Matriz identidade
É o nome dado as matrizes diagonais que possuem todos os elementos da diagonal
principal iguais a 1 ( um ). Essa matriz também é conhecida como matriz unidade.
Exemplo:
 1 0

I 2 = 
0 1
;
1 0 0


I3 =  0 1 0 
0 0 1


Exercícios
0
 1

3
 4

1. Dada a matriz A= − 5 − 1

0
 8

3
 2
−2 5
10 6
7 

9 
13 2 − 4  determine:

3 5 6 
− 1 4 8 
a)a ordem dessa matriz;
b)o número de elementos dessa matriz;
c)os elementos a 23 , a51 e a15;
d) a seqüência dos elementos da 3ª linha;
e) a seqüência dos elementos da 4ª coluna.
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0 − 2 5 4


2. Dada a matriz A =  8 11 6 3  determine:
1 0 7 9


a)a soma dos elementos da 2ª coluna;
b)a ordem dessa matriz;
c) os elementos a21 , a12 , a24 e a42;
d) a posição ( aij ) dos elementos 5,6,7 e 9.
3.Dada a matriz A de ordem 4 x 3, determine:
a) que valores assume o índice i do elemento genérico aij;
b)que valores assume o índice j do elemento genérico aij;
c) quantos elementos tem uma linha dessa matriz;
d) quantos elementos tem uma coluna dessa matriz.
4. Seja a matriz D = ( dij)mxn , determine:
a)quantos elementos tem a matriz D;
b) quantas colunas tem a matriz D:
c) quantos elementos tem uma coluna da matriz D.
5.Dizer qual a possibilidade de ordem de uma matriz que tem o seu número de elementos
igual a:
a) 6
b) 7
c)12
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6. Qual é a ordem da matriz quadrada , que tem o mesmo número de elementos que a matriz
A de ordem dada abaixo:
a) 2x8
b)1x25
c)1x 9
7.Escrever explicitamente as matrizes que se pedem, em cada item:
a) A = (aij)2x2
b) B = (bij)4x1
c) C = (cij)3x2
8. Dada a matriz A = ( aij )3x5 , definida por aij = 3i – j, calcule:
a)a23
b) a32
c)a15
9.Determine as matrizes representadas abaixo:
a) A = (aij)2x2 , com aij = i – j
b) B = (bij)3x3 , com bij = 2i+j
c) C = (cij)4x1, com cij = 2j – i
d) D = (dji)2x1 , com dji = j – i
d) a51
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10.Determine as matrizes descritas nos itens abaixo:
i , se i = j
a) A = (aij)2x2 , com aij = i + j , se i ≠j
b)B = (bij)3x3 , com bij=
2i , se i > j
i + j , se i = j
j – i , se i < j
c)C = (cij)3 , com cij = j − i
d) D = (dij)2 , com dij =
i – j + 1 , se i = j
j – i , se i ≠j
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11.Dada a matriz quadrada A = (aij)4 , definida por:
-1 + j , se i + j = 5
aij = 2i + 3 , se i + j < 5
i , se i + j > 5
Determine:
a)a24
b) a32
12. Escreva uma lei para o elemento genérico aij da matriz A em, cada caso:
 2 3 4


a) A =  3 4 5 
 4 5 6


 1 2 3


d) A =  2 4 6 
3 6 9


 2 2 2


b) A =  4 4 4 
 6 6 6


 0 - 1 - 1


e) A =  1 0 - 1
1 1 0 


 0 -1 - 2


c) A =  1 0 - 1 
2 1 0 


3 4 5


f) A =  5 6 7 
7 8 9

