Matrizes
Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo
Recife
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Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo
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O QUE É UMA MATRIZ


Uma matriz pode ser definida como uma tabela onde os valores
são dispostos em linhas e colunas. A diferença fundamental entre
uma matriz e uma tabela normal é que na matriz representamos
apenas os dados numéricos da tabela, para que os cálculos sejam
facilitados...
Vamos entender melhor como interpretar as informações de uma
tabela analisando a tabela abaixo que mostra as informações
nutricionais de quatro alimentos vendidos em uma lanchonete.
MATRIZES

É uma tabela disposta em “m” linhas e “n” colunas.
 a11

a
 21


 am1
a12
a13
a22
a23
am 2
am3
a1n 

a2 n 


amn mn
MATRIZES

A tabela representada anteriormente pode ser
representada na forma de uma matriz com 4
linhas e 6 colunas, ou uma matriz 4x6.
MATRIZES


Em relação à essa matriz, vamos responder às seguintes
perguntas:
a) Em que linha e coluna está o número 302?
•Na quarta linha e primeira coluna.

b) Na matriz, o que representa o número 4,2?
•A quantidade de gorduras trans, em gramas,
presentes em uma porção de batatas.
MATRIZES

c) Que elemento está na terceira linha e quinta coluna?
•É o número 0

d) Quantos elementos há na matriz.
•24 elementos.

Observação: podemos encontrar o número de elementos de
uma matriz multiplicado seu número de linhas por seu número
de colunas.
MATRIZES


De maneira geral, representamos uma matriz da seguinte
forma: Amxn, ordem m indica o número de linhas e n o número
de colunas da matriz.
Poderíamos representar a matriz do exemplo anterior por
MATRIZES


Já os elementos costumam ser representados com uma letra
minúscula (aij), onde i indica a linha na qual o elemento se
encontra e j a coluna.
Na matriz indicada no exemplo, temos que:
MATRIZES


A matriz dada como exemplo inicial possui 4 linhas e 6
colunas, logo, ela poderia ser representada por A = (aij), com
1  i  4 e 1  j  6.
Se uma matriz possuir 3 linhas e 5 colunas ela poderá ser
indicada por: A = (aij), com 1  i  3 e 1  j  5.
EXEMPLO


Com relação à matriz genérica A = (aij), com 1  i  5 e 1  j
 8, responda:
a) Quantas linhas há na matriz A
•Há 5 linhas na matriz A, pois com 1  i  5

b) E quantas colunas:
•8 colunas, já que: com 1  j  8

c) Quantos elementos compõe a matriz A
•O número de elementos é 8.5 = 40 elementos
MATRIZES

Os elementos de uma matriz também podem ser representados
por meio de equações. Nesse caso encontramos os elementos
fazendo a substituição dos valores propostos na fórmula (como
em uma função), para encontrarmos os elementos da matriz.
MATRIZES


Os elementos de uma matriz também podem ser representados
por meio de equações. Nesse caso encontramos os elementos
fazendo a substituição dos valores propostos na fórmula (como
em uma função), para encontrarmos os elementos da matriz.
Por exemplo, construir uma matriz A2x2, onde os elementos
são dados por aij = 2i + 3j – 1. Nesse caso temos:
A matriz procurada nesse caso é:
TIPOS DE MATRIZ


MATRIZ QUADRADA: Uma matriz é dita
quadrada quando seu número de linhas e de
colunas é igual. Por exemplo:
Os elementos 2; 0 e 5 são os elementos da
chamada diagonal principal e os elementos 7;
0 e 6 são os elementos da chamada diagonal
secundária.
MATRIZES

Toda matriz quadrada possui duas diagonais, uma
chamada de principal, formada pelos elementos
aij, tais que i = j e a outra chamada secundária,
formada pelos elementos aij tais que i + j = n + 1,
onde n indica a ordem da matriz.
MATRIZ IDENTIDADE


É toda matriz na qual os elementos da
diagonal principal são iguais a um e os demais
elementos são nulos.
Abaixo estão representadas as matrizes
identidades de ordens dois e três.
MATRIZ IDENTIDADE
matriz identidade matriz identidade
de 2ª ordem
de 3ª ordem
 1 0
A

0
1


 1 0 0


B   0 1 0
 0 0 1


diagonal principal
MATRIZ TRANSPOSTA

Matriz Transposta: é a matriz obtida trocando-se a linha
pela coluna e vice-versa da matriz original.
 1 3  5


A  0  2 4 
2 3
6 
0 2
1


T
A   3  2 3
 5 4 6
MATRIZ TRANSPOSTA

Outro exemplo:
MATRIZ TRANSPOSTA



Observe que ao transpormos uma matriz, sua ordem fica
alterada, exceto no caso de uma matriz quadrada.
Indicamos a transposta de uma matriz por .
Se uma matriz for tal que A =
, ela é dita simétrica e se
= -A (oposta de A), a matriz é dita anti-simétrica.
MATRIZ SIMÉTRICA E ANTI-SIMÉTRICA
1

2
0

2
7
4
0 Matriz Simétrica:

4
3

A  AT
Os elementos opostos em relação à diagonal principal são iguais.
Matriz Anti-Simétrica: A
 0

 5
 2

5
0
1
 A
T
2 

1
0

Os elementos da diagonal principal são iguais a zero.
Os elementos opostos em relação à diagonal principal são simétricos.
MATRIZ TRIANGUAR

Uma matriz quadrada é dita triangular quando os elementos
acima ou abaixo da diagonal principal são nulos.
MATRIZ DIAGONAL

Uma matriz quadrada é dita diagonal quando todos os
elementos da diagonal principal são não nulos e todos os
demais elementos são nulos.
Traço da Matriz
Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados acima
ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
 4 0 0


 5 2 0
 3 1 6


Matriz Diagonal:
é a matriz cujos elementos localizados acima e
abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
 2 0 0


 0 5 0
 0 0 3


Traço da Matriz: é a soma dos elementos da diagonal
principal. Traço: 4 + 2 + 6 = 12
Dúvidas
Referências



LEON, Steven J. Álgebra linear com aplicações. Rio de
Janeiro: LTC, 1998.
CALLIOLI, Carlos A. Álgebra linear e aplicações. São Paulo:
Atual, 2006.
http://www.mat.ufmg.br/gaal/aplicacoes/aplicacoes.html