COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA
www.cap.ufrj.br/matematica
Distância entre dois pontos
Sejam dois pontos A = (xa, ya) e B = (xb, yb) no plano cartesiano.
JJJG
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Para calcular a distância entre os pontos A e B, basta calcular o módulo do vetor AB ou BA .
JJJG
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Para isso, primeiramente encontram-se as coordenadas do vetor AB . Em seguida, localiza-se AB no plano
cartesiano com origem em O. Traçando um triângulo retângulo, pode-se utilizar o Teorema de Pitágoras.
JJJG
Assim, a distância entre eles será: dAB = AB =
(xb − xa )2 + ( yb − y a ) .
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Exemplo: No triângulo ABC, os vértices são A = (1,2) , B = (-2,3) e C = (0,5) . Determine a sua natureza quanto
aos lados.
Para determinar a natureza do triângulo quanto aos lados, basta calcular a medida de cada lado do
triângulo, encontrando a distância entre dois vértices.
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dAB = AB =
(−3)2 + (1) =
2
JJJJG
10 , dAC = AC =
(−1)2 + (3) =
2
JJJG
10 , dBC = BC =
(2)2 + (2 ) =
2
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O triângulo ABC é isósceles.
Complemento:
CIRCUNFERÊNCIA
Como aplicação direta do conceito de módulo de um vetor, poderemos deduzir expressões matemáticas
para representar circunferências.
Dados um número positivo r e um ponto fixo C= ( a, b ) , definimos a circunferência de centro C e raio r
como o conjunto dos pontos do plano que estão a uma distância r do ponto C.
Reescrevendo a definição anterior com linguagem vetorial:
Dados um número positivo r e um ponto fixo C= ( a, b ) , definimos a circunferência de centro C e raio r
JJJG
como o conjunto dos pontos P do plano, tais que CP = r. Por isso poderemos escrever r = ( x − a)2 + (y − b)2 .
Elevando-se ambos os membros ao quadrado, obtemos a equação da circunferência de centro C= ( a, b )
e raio r, conhecida como equação reduzida da circunferência:
( x − a)2 + ( y − b )2
= r2