Definição de limite
Dada a função y=f(x), definida no intervalo real (a,b), dizemos que esta função f
possui um limite finito L quando x tende para um valor k, se para qualquer número
positivo ε, por menor que seja, existe em correspondência um número positivo δ, tal
que para |f(x) - L| < ε, se tenha |x - k| < δ, para todo x ≠ k.
Indicamos que L é o limite de uma função f(x) quando x tende a k, através da
simbologia abaixo:
lim f ( x )= L
x→k
Geralmente a expressão acima é lida das seguintes formas:
a) limite de f(x) é igual a L quando x tende a k
b) limite de f(x) quando x tende a k é L
c) L é o limite de f(x) quando x tende a k
d) quando x tende a k o limite de f(x) é L
Exemplo
Prove, usando a definição de limite vista acima, que:
lim ( x +5)=8
x→ 3
Resolução
A resolução de exercícios de limite pela definição consiste em achar um δ que
satisfaça o problema. O valor de δ é sempre dado em função de ε. Assim, temos que
achar um δ > 0 que responda à questão abaixo:
dado um ε>0, sempre que |f(x) – L| < ε, sempre existirá um δ > 0 tal que |x - k|
< δ ?. Isto é, por menor que seja a diferença entre os valores das ordenadas sempre
existirá um valor positivo relacionado entre as diferença das abscissas ?
Do exemplo dado tiramos que: f(x)=x+5; k=3 e L=8. Fazendo as substituições dos
valores do exemplo temos:
se |(x + 5) - 8| < ε existirá um δ tal que |x - 3| < δ ?
desenvolvendo a expressão dentro do módulo |(x+5)-8|<ε chegamos a |x-3|<ε
Assim de |f(x)-L|<ε chegamos a |x-3|<ε e de |x-k|<δ chegamos a |x–3|<δ.
Dessa forma, comparando as duas expressões |x – 3|<ε e |x – 3|<δ notamos que
basta tomarmos δ igual a ε e o limite L estará garantido. Isto é, dado um ε basta
tomar um δ igual a ε que o limite L está garantido.
Notas:
O cálculo de limites pela definição, para funções mais elaboradas, é extremamente
laborioso e de relativa complexidade.
a) É conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando x → k,
não depende que a função esteja definida no ponto k, pois quando calculamos um
limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto queiramos do ponto k,
porém não coincidente com k, ou seja, consideramos os valores da função na
vizinhança do ponto k. Para exemplificar, consideremos o cálculo do limite da função
abaixo,
lim (
x→ 3
x 2−9
)
x−3
Observe que para x=3, a função não é definida pois o denominador se anula.
Entretanto, lembrando que x 2 -9=(x+3)(x-3), substituindo e simplificando, a
função fica igual a f(x)=x+3, cujo limite quando x→3 é igual a 6, obtido pela
substituição direta de x por 3.
b) o limite de uma função y=f(x), quando x → k, pode inclusive, não existir, mesmo
a função estando definida neste ponto k, ou seja , existindo f(k).
c) ocorrerão casos nos quais a função f(x) não está definida no ponto k, porém
existirá o limite de f(x) quando x → k.
d) nos casos em que a função f(x) estiver definida no ponto k, e existir o limite da
função f(x) quando x → k e este limite coincidir com o valor da função no ponto k,
diremos que a função f(x) é contínua no ponto k.
e) Se x tende para k, para valores imediatamente inferiores a k, dizemos que temos
um limite à esquerda da função. Se x tende para k, para valores imediatamente
superiores a k, dizemos que temos um limite à direita da função. Pode-se demonstrar
que se esses limites à direita e à esquerda forem iguais, então este será o limite da
função quando x → k.