Cálculo 1
1.2 - Noção Intuitiva de Limite
Limites Laterais
Elano Diniz
Noção Intuitiva
Sucessões
numéricas
Dizemos
que:
1, 2, 3, 4, 5, ....
Os termos tornam-se cada vez
maiores, sem atingir um limite
x+
1 2 3 4 5
, , , , ,.....
2 3 4 5 6
Os números aproximam-se
cada vez mais de 1, sem
nunca atingir esse valor
x1
1, 0, -1, -2, -3, ...
Os termos tornam-se cada vez
menor, sem atingir um limite
x-
2 4 6
1, ,3, ,5, ,7,...
3 5 7
Os termos oscilam sem tender
a um limite
Definição informal de limite
Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto em
torno de x0, exceto, possivelmente em x0.
Se f(x) fica arbitrariamente próxima de L para todos os
valores de x suficientemente próximos de x0, então
dizemos que a função f tem limite L quando x tende para
x0 e escrevemos: lim f(x)  L
x  x0
x0
Limites
Seja y = f(x) = 2x + 1
Aproximação à esquerda
Aproximação à direita
x
y
x
y
0,5
2
1,5
4
0,7
2,4
1,3
3,6
0,9
2,8
1,1
3,2
0,95
2,9
1,05
3,1
0,98
2,96
1,02
3,04
0,99
2,98
1,01
3,02
Limites
4,0
3,5
y
3,0
2,5
2,0
0,4
0,6
0,8
1,0
x
1,2
1,4
1,6
Limites
Nota-se que quando x tende para 1, pelos
dois lados, ao mesmo tempo, y tende para 3,
ou seja, (x
1) implica em (y
3). Assim,
diz-se que:
lim f ( x)  lim (2x  1)  3
x1
x1
Neste caso o limite é igual ao valor da função.
f(x) = f(1) = 3
lim
x 1
Limites
x2  x  2
No caso da função f(x) =
é diferente pois
x 1
f(x) não é definida para x = 1. Porém o limite existe
e é igual 3.
Ver gráfico a seguir:
Limites
4,0
3,5
y
3,0
2,5
2,0
0,4
0,6
0,8
1,0
x
1,2
1,4
1,6
Limites Laterais

Quando faz-se x tender para a, por valores menores que a,
está-se calculando o limite lateral esquerdo. x a -

Quando faz-se x tender para a, por valores maiores que a,
está-se calculando o limite lateral direito. x a +

Para o limite existir, os limites laterais devem ser iguais:
lim[f(x)] = lim[f(x)]
x a
x a
Dada a função f: IR  IR, definida por f(x) = x + 3.
Estudemos o comportamento da função f(x) quando x estiver
próximo de 1, mas não for igual a 1.
Pela esquerda
x
f(x) = x + 3
0
3
0,25
3,25
0,75
3,75
0,9
3,9
0,99
3,99
0,999
3,999
Pela direita
y
4
lim f ( x)  4
x 1
1
x
x
f(x) = x + 3
2
5
1,5
4,5
1,25
4,25
1,1
4,1
1,01
4,01
1,001
4,001
1,0001
4,0001
lim f ( x)  4
x 1
 x  1, para x  1
Dada a função f: IR  IR, definida por f ( x)  
 x  3, para x  1
Determinar, graficamente,
lim f ( x )
x1
lim f ( x)  4
4
lim f ( x)  2
2
x 1
x 1
1
Não existe limite de f(x), quando x tende para 1
Noção Intuitiva de Limite Noção intuitiva de limite
 lim(x2 ) = 4
x2
“O limite da função f(x) = x2 quando x tende a 2 é 4”.