Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro
Engenharia Ambiental e Engenharia Zootécnica
Álgebra Linear e Geometria Analítica
2005/2006
Folha 6
Valores próprios e Vectores próprios
1. Considere as matrizes:
4
2 0
1 0 0 


B = 3 − 4 12
C =  1 0 − 2
1 − 2 5 
− 1 1 − 3
a) Determine os valores próprios de cada uma das matrizes.
b) Indique os vectores próprios e os subespaços próprios de cada uma das matrizes.
c) Indique as multiplicidades algébrica e geométrica de cada valor próprio de cada
uma das matrizes.
1 − 2
A=

 2 − 3
2. Considere a aplicação linear f : \3 → \3 , definida por:
f ( x, y , z ) = ( x − 2 z , 2 x + 3 y + 2 z , x + y + 2 z )
a) Determine os valores próprios de f .
b) Determine os vectores próprios associados a cada valor próprio de f .
3. Determine os valores próprios de uma matriz de dimensão n:
a) Diagonal;
b) Triangular (superior ou inferior).
4. Seja f : \ 3 → \ 3 um endomorfismo e (e1 , e2 , e3 ) a base: ((1,1,1); (1,1, 0 ); (1, 0, 0 )) de
IR 3 . Determine os valores próprios e os vectores próprios do endomorfismo f com
1 − 1
1

A = M ( f ; (ei ), (e j )) =  2
2 − 2 .
− 1 − 1 1 
5. Mostre que uma matriz A é invertível se e só se não tem o valor próprio zero.
6. Seja
0 
 −1 0

Aε =  −4 −1 −4  ∈ M 3×3 ( \ )
 2 0 1 + ε 
a) Determine ε de tal forma que Aε tenha um valor próprio de multiplicidade
algébrica 3.
b) Para o valor próprio determinado na alínea a) calcule os vectores próprios.
7. Considere a matriz
1 0 0 0 
0 0 1 0 
 ∈ M 4×4 ( \ ) .
A=
0 1 0 0 


0 0 0 −1
a) Determine os valores próprios da matriz A.
b) Determine os vectores próprios e os subespaços próprios da matriz A e indique
as multiplicidades algébrica e geométrica de cada valor próprio de A.
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Folha 6
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