ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
Ano Lectivo de 2004/2005
Resolução do 1o Teste - B
(6 de Novembro de 2004)
1. Considere o subconjunto de R4 : A = f(x; y; z; w) 2 R4 : x = y ^ z = wg.
[1,5] (a) Mostre que A é um subespaço vectorial de R4 :
Resolução:
A é um subespaço vectorial de R4 se:
A 6= ?:
Se ~u; ~v 2 A =) ~u + ~v 2 A:
Se ~u 2 A; 2 R =) ~u 2 A:
Vejamos:
A 6= ?; pois (0; 0; 0; 0) 2 A uma vez que x = y = 0 ^ z = w = 0:
Se ~u 2 A; então ~u = (u1 ; u1 ; u2 ; u2 ) e, se ~v 2 A; então ~v = (v1 ; v1 ; v2 ; v2 ) : Assim,
~u + ~v = (u1 ; u1 ; u2 ; u2 ) + (v1 ; v1 ; v2 ; v2 )
= (u1 + v1 ; u1 + v1 ; u2 + v2 ; u2 + v2 ) 2 A;
pois x = y = u1 + v1 e z = w = u2 + v2 :
Se ~u 2 A; então ~u = (u1 ; u1 ; u2 ; u2 ) : Assim,
~u =
(u1 ; u1 ; u2 ; u2 ) = ( u1 ; u1 ; u2 ; u2 ) 2 A;
pois x = y = u1 e z = w = u2 :
Logo A é um subespaço vectorial de R4 :
[1,5] (b) Determine uma base para A e indique a sua dimensão.
Resolução:
Como qualquer vector de A pode ser escrito na forma (x; x; z; z) então
(x; x; z; z) = x (1; 1; 0; 0) + z (0; 0; 1; 1) com x; z 2 R;
o que signi…ca que (1; 1; 0; 0) e (0; 0; 1; 1) geram A. Como facilmente podemos veri…car, estes dois vectores são linearmente independentes e portanto constituem uma
base de A:
Uma vez que a base tem dois vectores, dim A = 2:
1
[1,5] (c) Caracterize o subespaço B = h(1; 1; 0; 0); (2; 0; 1; 1)i
de equações.
Resolução:
Tem-se
B = (x; y; z; w) 2 R4 : (x; y; z; w) =
R4 por meio de um sistema
(1; 1; 0; 0) + (2; 0; 1; 1) ;
;
2R :
Então,
(x; y; z; w) = (1; 1; 0; 0) + (2; 0; 1; 1) ,
8
8
x
=
+
2
=y
>
>
>
>
<
<
y=
=z
,
,
z=
x = y + 2z
>
>
>
>
:
:
w=
z= w
e, portanto,
B = (x; y; z; w) 2 R4 : x = y + 2z ^ z =
w :
[1,0] (d) Calcule A \ B:
Resolução:
Seja (x; y; z; w) 2 A \ B: Assim,
(x; y; z; w) 2 A ^ (x; y; z; w) 2 B , (x = y ^ z = w) ^ (x = y + 2z ^ z =
w)
donde se conclui que z = 0 ^ w = 0; logo
A \ B = (x; y; 0; 0) 2 R4 : x; y 2 R :
[1,5]
2. De…na vectores linearmente independentes e veri…que se os vectores de M2 (espaço
vectorial das matrizes quadradas de ordem 2),
A1 =
2 1
0 1
;
3 0
2 1
A2 =
e A3 =
1 0
2 0
;
são linearmente independentes.
Resolução:
Os vectores ~v1 ; ~v2 ; : : : ; ~vp são linearmente independentes se qualquer combinação linear
nula tem os escalares todos nulos, isto é:
v1
1~
+
v2
2~
+
+
vp
p~
= ~0 =)
2
1
=
2
=
=
p
= 0:
Vejamos se os vectores são linearmente independentes:
,
2 1
0 1
A1 + A2 + A 3 = O ,
3 0
2 1
+
1 0
2 0
+
=
0 0
0 0
,
2 +3 +
0 0
,
=
,
2 +2
+
0 0
8
8
8
2
+
3
+
=
0
0=0
>
>
>
>
<
<
< =0
2 +2 =0
=0
=0 :
,
,
,
=0
=0
>
>
:
>
>
=0
:
:
+ =0
=0
Logo os vectores A1 ; A2 e A3 são linearmente independentes.
[2,0]
3. Seja E um espaço vectorial e X = f~v1 ; ~v2 ; ~v3 ; ~v4 g um conjunto de geradores de E tal
que:
(i) ~v1 + ~v2 ; ~v2 + ~v3 e ~v3 são vectores linearmente independentes.
(ii) ~v1 + ~v4 ; ~v2 e ~v3 + ~v4 são vectores linearmente dependentes.
Mostre que ~v1 ; ~v2 ; ~v3 e ~v4 são linearmente dependentes e que ~v4 é combinação linear de
~v1 ; ~v2 e ~v3 :
Resolução:
Por absurdo, suponhamos que ~v1 ; ~v2 ; ~v3 e ~v4 são linearmente independentes. Dado que
a independência linear não se altera se a um dos vectores dum conjunto adicionarmos
uma combinação linear dos restantes, concluímos sucessivamente que tanto ~v1 + ~v2 ; ~v2 ;
~v3 e ~v4 como ~v1 + ~v2 ; ~v2 + ~v3 ; ~v3 e ~v4 são linearmente independentes. Chegámos assim a
um absurdo visto que, por hipótese, ~v1 + ~v2 ; ~v2 + ~v3 e ~v3 são linearmente dependentes.
Os vectores ~v1 ; ~v2 ; ~v3 e ~v4 são pois linearmente dependentes.
Para vermos que ~v4 é combinação linear de ~v1 ; ~v2 e ~v3 notemos, em primeiro lugar, que de
(i) se conclui que ~v1 ; ~v2 e ~v3 são linearmente independentes, tendo em conta a propriedade
da independência linear de um conjunto de vectores acima enunciada. Por outro lado,
como ~v1 ; ~v2 ; ~v3 e ~v4 são linearmente dependentes existe uma combinação linear nula,
v1
1~
+
v2
2~
+
v3
3~
+
v4
4~
= ~0
(1)
sem que os escalares 1 ; 2 ; 3 e 4 sejam todos nulos. Ora é forçoso que 4 6= 0 pois,
de contrário, ter-se-ia também 1 = 2 = 3 = 0 visto que ~v1 ; ~v2 e ~v3 são linearmente
independentes. Portanto, resolvendo (1) em ordem a ~v4 , obtém-se
~v4 =
1
~v1
4
2
4
~v2
3
~v3 ;
4
…cando assim provado que ~v4 é combinação linear de ~v1 ; ~v2 e ~v3 .
3
4. Considere o espaço euclidiano R3 com a base ortonormada f~e1 ; ~e2 ; ~e3 g : Dados os vectores
~u = k~e2 ~e3 , ~v = ~e1 + 2~e2 e w
~ = ~e1 ~e2 + 3~e3 :
[1,0] (a) Determine k de modo que ~u; ~v e w
~ sejam complanares.
Resolução:
Para que ~u; ~v e w
~ sejam complanares, a igualdade ~u j ~v w
~ = 0 terá de ser satisfeita.
Ora
0
k
1
1
2
0 = 3k + 1;
~u j ~v w
~=
1
1
3
pelo que ~u; ~v e w
~ serão complanares se e só se 3k + 1 = 0; ou seja, k =
1
:
3
[1,5] (b) Determine o valor de k e um conjunto de vectores ortonormado a partir de f~u; ~v g :
Resolução:
Como ~u j ~v = 2k; os vectores ~u e ~v serão ortogonais se e só se k = 0: Assim, para
este valor de k temosp
que ~u = (0; 0; 1) e ~v = ( 1; 2; 0) são ortogonais e, dado que
~u é unitário e jj~v jj = 5; resta calcular o versor de ~v :
!
p
p
~v ( 1; 2; 0)
5 2 5
p
vers ~v =
;
;0 :
=
jj~v jj
5
5
5
Portanto, considerando k =
p 0; foippossível obter a partir de f~u; ~v g o conjunto
ortonormado f(0; 0; 1) ; (
5=5; 2 5=5; 0)g.
5. Considere em R3 os pontos A = (1; 2; 3) ; B = (0; 1; 1) ; C = (2; 1; 0) e D = (m; 2; 1)
com m 2 R:
[1,0] (a) Indique, justi…cando, o valor lógico da seguinte proposição : 9
Resolução:
!
!
Tem-se AB = ( 1; 3; 2) e CD = (m 2; 1; 1) : Então,
!
!
AB = CD , ( 1; 3; 2) = (m
8
< (m 2) = 1
= 3
,
:
:
= 2
!
!
2 R : AB = CD.
2; 1; 1) ,
Logo a proposição é falsa porque o sistema anterior é impossível.
[1,5] (b) Calcule a área do triângulo cujos vértices são A; B e C:
Resolução:
Note-se que a área do triangulo [ABC] é igual a metade da área do paralelogramo
!
!
de…nido pelos vectores AB = ( 1; 3; 2) e AC = (1; 1; 3) ; ou seja,
Área do
[ABC] =
4
!
jjAB
!
ACjj
2
:
Como
!
AB
~e1 ~e2 ~e3
1
3
2
1
1
3
!
AC =
3
1
=
= 7~e1
2
~e
3 1
5~e2 + 4~e3 ;
vem
1
2
1
~e2 +
3
1
1
3
~e
1 3
p
49 + 25 + 16
90
=
:
Área do [ABC] =
2
2
!
!
[1,5] (c) Faça m = 1 e determine o ângulo formado por AB e CD.
Resolução:
! !
Sendo = ] AB; CD ; vem
p
! !
ABjCD
( 1; 3; 2) j ( 1; 1; 1)
p p
=
!
! =
14 3
jjABjj jjCDjj
p
p
4
2 42
4 42
p =
=
=
42
21
42
cos
Logo,
[1,5]
= arccos
p
2 42
21
:
6. Considere os vectores ~x; ~y e ~z de um espaço euclidiano tais que
~x j ~x
2~y j ~x + ~y j ~y = ~z j ~z;
k~xk = a;
k~y k = b e
Deduza que
a2 + b 2
onde
2ab cos = c2 ;
é o ângulo formado por ~x e ~y :
Resolução:
Tem-se
a2 + b 2
2ab cos
= k~xk2 + k~y k2
= ~xj~x + ~y j~y
= ~xj~x + ~y j~y
= ~xj~x + ~y j~y
= ~zj~z = k~zk2
5
2ab cos
~xj~y
2ab
k~xk k~y k
~xj~y
2ab
ab
2~y j~x
= c2 :
k~zk = c:
7. Considere as matrizes
x
z
A=
y
1
;
y
x
B=
z
1
e C=
3
0
3y
3z
;
onde x; y e z são números reais.
[1,5] (a) Determine os valores de x; y e z que satisfazem a equação matricial 4A = 2B + 2C:
Resolução:
4A = 2B + 2C ,
,
,
4x
4z
4x
4z
8
>
>
<
4y
4
4y
4
2y
2x
=
2z
2
+
6
0
6y
6z
,
2z 6y
,
2 + 6z
8
4x = 2y + 6
< y=1
4y = 2z 6y
x=2 :
,
4z = 2x
:
z= 1
4 = 2 + 6z
>
>
:
2y + 6
2x
=
[1,5] (b) Mostre que A + B é anti-simétrica se e só se x + y = 0:
Resolução:
T
A+B T é anti-simétrica, sse A+B T =
A + B T ; ou seja, sse A+B T = AT B.
Substituindo em ambos os membros desta igualdade as respectivas matrizes obtémse,
x
z
y
1
x
z
y
x
+
y
1
,
,
+
x+y
0
T
z
1
y
z
x
z
=
x
1
y
0
x
y
=
x
y
1
=
T
z
1
x+y 0
y x 0
y
x
y
x
,
x+y
y x
x y 0
=
,
0
0
x+y 0
8
x+y = x y
>
>
<
y x=0
,
, x + y = 0:
x+y =0
>
>
:
0=0
6
z
1
z
1
,