Escola Secundária de Santa Maria Maior
Ficha de Actividades – Vectores – 11º Ano
1. Considera os vectores
r
r
a (2,−1,3) e b (− 4,2,5) .
a)
Os vectores são colineares?;
b)
Determina os números reais c e k para que o vector (c,-6,k) e o vector
i) Colineares;
ii) Perpendiculares.
2. No
paralelogramo
da
figura,
AD = 16 ,
r
b sejam:
A
D
DC = 12 e ABˆ C = 55º .
→
→
→
→
a)
Calcula AD• AB e BA• BC ;
b) Utiliza a propriedade distributiva do
produto escalar, relativamente à adição de
→
→
→
B
C
→
vectores, para calcular DA• DB e AD• AC .
3. No triângulo [DEF],
Fˆ = 60º , Eˆ = 40º e FE = 10 .
→
→
D
→
→
Calcula valores aproximados de DF • DE , FD• FE e
a)
→
→
ED• EF ;
b)
Utiliza as propriedades do produto escalar e os
resultados da alínea anterior para determinar os produtos
⎛ → ⎞
escalares: EF • EF , FE • FE , DF • ED , FD • ⎜ 2 FE ⎟ e
⎠
⎝
→
→
→
→
→
→
→
60º
F
40º
10
→
⎛1
⎞ →
⎜ FD ⎟• FE .
⎝2
⎠
4. Mostra que, em qualquer paralelogramo [ABCD], a soma dos quadrados das duas diagonais
é igual à soma dos quadrados dos quatro lados, isto é,
2
2
2
2
2
2
AC + BD = AB + BC + CD + DA .
→
→
→
→ 2
→
→
Sugestão: Considera AC = AB + BC e AC = AC • AC
5. Classifica quanto aos ângulos os triângulos cujos vértices são:
a) A(5,-4) B(-7,0) C(7,2); b) D(5,8) E(-3,2) F(12,-10)
6. Calcula um valor aproximado da amplitude do ângulo formado pelos vectores
a(− 1,3,5) e b(2,0,−4)
Luís Cavalheiro
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E
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Ficha de Actividades – Vectores – 11º Ano
E
7. [ABCDE] é um pentágono regular de lado l inscrito na
circunferência de centro O e raio r.
a)
Calcula em função de r:
b)
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
A
r
D
i) OA• OB ; ii) OA• OE ; iii) OA• OC
Determina em função de l::
→
l
→
i) AB• AE ; ii) AB• ED ; iii) AB• AD
B
C
D
8. Prova que as duas diagonais do losango são perpendiculares. Para isso:
× Recorda que num losango os lados são iguais e paralelos dois a dois.
→
→
× Exprime os vectores AC e DB , correspondentes às diagonais, em
→
→
função dos vectores AD e AB correspondentes aos lados.
A
B
9. Escolhendo o referencial indicado na figura, mostra analiticamente que
num tetraedro duas arestas não concorrentes são perpendiculares. Sem perda de
generalidade, podes considerar a aresta do cubo unitária.
z
H
F
C
O
D
x
Luís Cavalheiro
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y
C