Cálculo Diferencial e Integral III – Introdução
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INTRODUÇÃO
No Cálculo Diferencial e Integral III, iremos generalizar os principais conceitos apresentados
no Cálculo I: limites e derivadas. Mas agora vamos trabalhar com funções de mais de uma variável.
As funções de mais de uma variável aparecem nas situações mais simples do nosso
cotidiano. Observe o exemplo dado abaixo:
Qual é a área de um retângulo cujas medidas dos lados são x e y?
Observe que a área desse retângulo depende das medidas de seus lados, ou seja, é função
das variáveis x e y. Temos assim um exemplo de uma função de duas variáveis.
A = x.y
y
x
Em matemática escrevemos A = f(x,y) onde f(x,y) = xy.
Logo temos: f(2,3) = 6, f(3,4) = 12, f(2,1) = 2 etc.
Agora que temos um exemplo de uma função de duas variáveis, podemos pensar nas
seguintes perguntas:
1. Como calcular o limite para uma função de duas ou mais variáveis?
2. Como derivar uma função de duas ou mais variáveis e o que essa derivada
significa?
As respostas para essas e outras perguntas serão dadas no decorrer do curso.
“A importância do Cálculo Diferencial e Integral III”
Existe uma equação matemática que descreve a interação entre corpos (aviões, navios,...) e
fluidos (ar, água,...). A solução dessa equação pode trazer aos construtores de aviões uma economia
de milhões de dólares, além da possibilidade de prevermos furacões e maremotos com uma grande
precisão. Até hoje a solução dessa equação ainda não foi encontrada. Segue abaixo a famosa
equação de Navier – Stokes.
v
 (v. )v  p  (. )v
t
Alguns dos símbolos que aparecem nessa equação representam as derivadas parciais e o
gradiente de uma função, assuntos que fazem parte do programa de Cálculo III.
Prof. Robson Rodrigues da Silva
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1. Funções de várias variáveis
1.1 O espaço n - dimensional
O conjunto das ênuplas ordenadas (x1, x2, x3,...,xn) de números reais é chamado espaço
n
n – dimensional e o indicamos por R . Cada elemento desse conjunto será chamado de ponto.
R = { (x1, x2, x3,...,xn) / xi  R para i = 1,2,3,...}
n
Exemplos:
a) Espaço uni – dimensional: R
1
Esse espaço é representado geometricamente por uma reta.

x1
R
2
b) Espaço bi – dimensional: R (Também conhecido como plano cartesiano)
R = {(x,y) / x, y  R}
2
P(x,y)
y
x
c) Espaço tri – dimensional: R = {(x,y,z) / x, y, z  R}
3
z
P(x,y,z)

y
x
d) Espaço tetra – dimensional: R = {(x,y,z,w) / x, y, z, w  R}
4
n
Observação: para n > 3 o espaço R não possui representação geométrica.
Cálculo Diferencial e Integral III – Funções de várias variáveis
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1.2 Funções de duas variáveis
Uma função real de duas variáveis reais é uma lei f que a cada par ordenado (x,y) de uma
2
parte D de R , associa um único número real z, o qual será indicado por f(x,y).
D
R

P(x,y)
 z = f(x,y)
Matematicamente escrevemos:
f:DR R
2
(x,y)  z = f(x,y)
Observações:
I) O conjunto D é chamado domínio da função f.
II) As variáveis x e y são chamadas variáveis independentes e z é a variável dependente.
III) A definição anterior possui inúmeras aplicações: D pode representar uma chapa metálica e f(x,y) a
temperatura em cada ponto P(x,y), ou então, D pode representar a superfície de um lago e f(x,y) a
profundidade da água no ponto P(x,y).
z = T(x,y)

P(x,y)
Exemplos:
a) A área S de um retângulo é dada por S = x.y onde x e y representam as medidas dos lados.
Assim escrevemos S = f(x,y) onde f(x,y) = xy.
b) O volume de um cilindro circular é função da sua altura h e do raio r de sua base.
r
h
V = r h  V = f(h, r)
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Prof. Robson Rodrigues da Silva
4
2
c) A equação z = x + 2y define uma função de duas variáveis. Observe que z = f(x,y) onde
2
f(x,y) = x + 2y. Para esse exemplo verifique que f(2,3) = 10 e f(3,2) = 13.
Observação: o conceito de função de duas variáveis pode ser estendido para funções de mais de
duas variáveis.
1.3 Funções de três variáveis
Uma função real de três variáveis reais, é uma lei que a cada ponto P(x,y,z) de uma região D
do espaço,
associa um único número real w, o qual denotaremos por f(x,y,z). Simbolicamente
escrevemos:
f:DR R
3
(x,y,z)  w = f(x,y,z)
D
R
 w = f(x,y,z)

P(x,y,z)
Exemplos:
a) O volume V de um paralelepípedo é função das medidas de suas arestas x, y e z.
z
V = x.y.z  V = f(x,y,z)
y
x
b) O montante final M resultado de um capital C aplicado durante n meses, com uma taxa de juros de
r% ao mês é dado por M = C(1 +
r n
) , ou seja, M depende, é função das variáveis C, r e n. Assim
100
escrevemos: M = f(C, r, n).
c) Sendo w =
2xz
uma função de três variáveis, determine f(3,2,4) e f(3,3,4)
xy