278
PARTE V – ANÁLISE DIMENSIONAL
Parte V – ANÁLISE DIMENSIONAL
[R] =
[p] [V] Fl–2 L3
=
⇒
[n] [τ]
θ
[R] – F L θ–1
Resposta: [R] – F L θ–1
1
Uma das principais equações da Mecânica quântica permite calcular a energia E associada a um fóton de luz em função da frequência
f da respectiva onda eletromagnética:
E = hf
Nessa equação, h é a constante de Planck. Adotando como fundamentais as grandezas M (massa), L (comprimento) e T (tempo), determine a
expressão dimensional de h.
Resolução:
[E] = M L2 T–2 ; [f] = T–1
[E] M L2 T–2
h = E ⇒ [h] =
=
⇒
f
T–1
[f]
[h] = M L2 T–1
Resposta: M L2 T–1
2
Conforme as teorias de Newton, dois astros de massas respectivamente iguais a M e m, com centros de massa separados por uma
distância d, atraem-se gravitacionalmente trocando forças de intensidade F, dadas por:
Mm
F = G d2
em que G é a constante da Gravitação. Em relação às dimensões mecânicas fundamentais – comprimento (L), massa (M) e tempo (T) –, determine a equação dimensional, bem como a unidade SI de G.
Resolução:
[F] = M L T–2
2
–2 2
[F] [d2]
F=G Mm
⇒ G = Fd ⇒ [G] =
= ML T 2 L
2
M
m
[M]
[m]
M
d
[G] = M–1 L3 T–2
Unidade SI de G: kg–1 m3 s–2
Resposta: [G] = M–1 L3 T–2; kg–1 m3 s–2
3 A pressão p de um número de mols n de gás perfeito que ocupa
um volume V a uma temperatura absoluta ␶ pode ser calculada pela
equação de Clapeyron:
pV=nR␶
em que R é uma constante, denominada constante universal dos gases perfeitos. Adotando como fundamentais as grandezas F (força), L
(comprimento), T (tempo) e ␪ (temperatura), determine a expressão
dimensional de R.
Resolução:
[p] = F L–2 ; [n] = F0 L0 T0 (adimensional)
pV
pV=nRτ ⇒ R=
nτ
4 (Unirio-RJ) Para o movimento de um corpo sólido em contato
com o ar foi verificado experimentalmente que a intensidade da força
de resistência Fr é determinada pela expressão Fr = k v2, na qual v é o
módulo da velocidade do corpo em relação ao ar e k, uma constante.
A unidade de k, no Sistema Internacional (SI), é dada por:
d) kg · m–1 · s–2
a) kg · m–1
b) kg · m
e) kg · m2 · s–2
–1
c) kg · m · s
Resolução:
[Fr ] = M L T–2; [v] = L T–1
Fr = k v2 ⇒ k = F2
v
–2
[Fr ] ML T–2
[k] = 2 =
⇒ [k] = ML2 T–2 ⇒ [k] = ML–1
(LT–1)2
L T
[v]
Unidade SI de k: kg m–1
Resposta: a
5 (Unicamp-SP – mod.) Quando um recipiente aberto contendo um
líquido é sujeito a vibrações, observa-se um movimento ondulatório na
superfície do líquido. Para pequenos comprimentos de onda λ , a velocidade de propagação v de uma onda na superfície livre do líquido está
relacionada à tensão superficial σ, conforme a equação
v=
2π σ
ρλ
em que ρ é a densidade do líquido. Esta equação pode ser utilizada
para determinar a tensão superficial induzindo-se na superfície do líquido um movimento ondulatório com uma frequência f conhecida e
medindo-se o comprimento de onda λ .
Determine:
a) a equação dimensional da tensão superficial σ em relação à massa
M, comprimento L e tempo T.
b) as unidades da tensão superficial σ no Sistema Internacional de
Unidades.
Resolução:
a) [V] = L T–1; [ρ] = ML–3; [λ] = L
ρ λ V2
V2 = 2π σ ⇒ σ =
ρλ
2π
[σ] = M L–3 L (L T–1)2
Donde [σ] = M L0 T–2
b) Unidade SI de σ: kg s–2 =
kg
s2
Respostas: a) [σ] = M L0 T–2; b)
kg
s2
PARTE V – ANÁLISE DIMENSIONAL
6
(Ufla-MG) No estudo de Fluidodinâmica, a intensidade da força
viscosa pode ser dada pela equação F = η d v, sendo η o coeficiente
de viscosidade, d a distância percorrida pelo fluido e v o módulo da sua
velocidade de deslocamento. Considerando-se o Sistema Internacional, SI, o coeficiente de viscosidade η é dado pelas unidades:
a) kg · m · s–1
b) kg · m–1 · s–1
c) kg · m–1 · s
d) kg · m · s
e) (kg)–1 · m · s–1
Resolução:
F=ηdv ⇒ η= F
dv
[F] = M L T–2; [d] = L e [v] = L T–1
–2
Logo: [η] = M L T–1
LLT
Donde:
[η] = M L–1 T–1
Unidade do SI de η: kg m–1 s–1
279
Resolução:
a) i = ΔQ ⇒ ΔQ = i Δt ⇒
[Q] = I T
Δt
Unidade SI de Q: A · s = coulomb (C)
2 –2
b) U = E ⇒ [U] = M L T
IT
Q
[U] = M L2 T–3 I–1
[Q]
IT
C = Q ⇒ [C] =
=
⇒
U
[U] M L2 T–3 I–1
[C] = M–1 L–2 T4 I2
Unidade SI de C: kg–1 m–2 s4 A2 = farad (F)
Respostas: a) I T; A · s = coulomb (C); b) M–1 L–2 T4 I2;
kg–1 m–2 s4 A2 = farad (F)
9 (Mack-SP) Na equação dimensionalmente homogênea x = at2 – bt3,
em que x tem dimensão de comprimento (L) e t tem dimensão de tempo (T), as dimensões de a e b são, respectivamente:
d) L–2 T e T–3
a) L T e L T–1
2 3
–2 –3
b) L T e L T
e) L2 T 3 e L T–3
c) L T–2 e L T–3
Resposta: b
7
No Sistema Internacional (SI), as sete unidades de base são o
metro (m), o quilograma (kg), o segundo (s), o kelvin (K), o ampère
(A), a candela (cd) e o mol (mol). A Lei de Coulomb da Eletrostática
permite calcular a intensidade (F) da força de interação (atração ou repulsão) trocada entre duas cargas puntiformes Q1 e Q2, separadas por
uma distância d, por meio de uma expressão do tipo:
Q1 Q2
1
F = 4π ε · r2
0
em que ε0 é uma constante fundamental da Física. Em relação a ε0, é
correto afirmar que:
a) é uma grandeza adimensional.
b) no SI, é medida em m–2 s2 A2.
c) no SI, é medida em m–3 kg–1 A2.
d) no SI, é medida em m–3 kg–1 s4 A2.
e) no SI, é medida em m–3 s4 A2.
Resolução:
[F] = M L T–2; [Q] = I T; 4π é uma constante adimensional
QQ
QQ
F = 1 · 12 2 ε0 = 1 22
4π ε0 r
4πF r
[Q ] [Q ]
(IT)2
[ε0] = 1 2 2 =
ML T–2 (L)2
[F] [r ]
[ε0] =
I2T2 ⇒
M L3 T–2
[ε0] = M–1 L–3 T4 I2
Unidade SI de ε0: kg–1 m–3 s4 A2
Resposta: d
8
Adotando como fundamentais as grandezas M (massa), L (comprimento), T (tempo) e I (intensidade de corrente elétrica), determine
as expressões dimensionais e as respectivas unidades SI das seguintes
grandezas físicas:
a) carga elétrica;
b) capacitância eletrostática.
Resolução:
[a t2] = L ; [b t3] = L
[a] T2 = L ⇒
[a] = L T–2
[b] T3 = L ⇒
[b] = L T–3
Resposta: c
10 (ITA-SP) Os valores de x, y e z para que a equação:
(força)x (massa)y = (volume) (energia)z seja dimensionalmente correta
são, respectivamente:
a) (–3, 0, 3).
d) (1, 2, –1).
b) (–3, 0, –3).
e) (1, 0, 1).
c) (3, –1, –3).
Resolução:
(M L T–2)x My = L3 (M L2 T–2)z
Mx + y Lx T–2x = Mz L2x + 3 T–2z
Identificando os expoentes das potências de mesma base, vem:
x+y=z
2z + 3 = x
–2z = –2x ⇒ z = x
Logo:
2x + 3 = x ⇒
x+y=x ⇒
x = –3 e
z = –3
y=0
Resposta: b
11 (Mack-SP) Considerando as grandezas físicas A e B de dimensões
respectivamente iguais a M L T–2 e L2, onde M é dimensão de massa, L
é dimensão de comprimento e T é dimensão de tempo, a grandeza definida por A · B–1 tem dimensão de:
a) potência.
d) quantidade de movimento.
b) energia.
e) pressão.
c) força.
280
PARTE V – ANÁLISE DIMENSIONAL
Resolução:
[A] = M L T –2; [B] = L2
[G] = [A] [B]–1
[G] = M L T –2 L–2
Donde:
M L0 T–3 = Mz Lx – 3z +1 T–y –1
Identificando os expoentes das potências de mesma base, vem:
z=1
[G] = M L–1 T–2
A grandeza G = A B–1 tem a dimensão de pressão.
x–3+1=0 ⇒
Resposta: e
12 (Fuvest-SP) Um estudante está prestando vestibular e não se
lembra da fórmula correta que relaciona o módulo V da velocidade
de propagação do som com a pressão P e a massa específica ρ
(kg/m3), em um gás. No entanto, ele se recorda de que a fórmula é do tipo
β
vα = C P , em que C é uma constante adimensional. Analisando as
ρ
dimensões (unidades) das diferentes grandezas físicas, ele conclui que
os valores corretos dos expoentes α e β são:
a) α = 1, β = 2.
d) α = 2, β = 2.
b) α = 1, β = 1.
e) α = 3, β = 2.
c) α = 2, β = 1.
Resolução:
β
vα = C P
ρ
[v] = L T–1 ; [P] = M L–1 T–2 ; [p] = M L–3
(L T–1)α =
–y – 1 = –3 ⇒ y = 2
(M L–1 T–2)β
M L–3
Resposta: d
14 (IME-RJ) Suponha que o módulo da velocidade de propagação
V de uma onda sonora dependa somente da pressão p e da massa específica do meio µ, de acordo com a expressão:
V = px µy
Use a análise dimensional para determinar a expressão do módulo da
velocidade do som, sabendo-se que a constante adimensional vale 1.
Resolução:
[V] = [p]x [µ]y
[V] = M0 L T–1 ; [p] = M L–1 T–2 ; [µ] = M L–3
M0 L T–1 = (M L–1 T–2)x (M L–3)y ⇒ M0 L T–1 = Mx + y L–x – 3y T–2x
Identificando os expoentes das potências de mesma base, vem:
x+y=0
–x – 3y = 1
1
–2x = –1 ⇒ x =
2
M0 Lα T–α = Mβ – 1 L3 – β T–2β
Identificando os expoentes das potências de mesma base, vem:
Logo: V = p 2 µ– 2
β–1=0 ⇒
Donde:
β=1
α=3–β ⇒ α=3–1 ⇒
x=2
1
α=2
tico, um jovem aluno do ITA esqueceu-se da expressão da intensidade
de uma onda sonora. Porém, usando da intuição, ele concluiu que a
intensidade média (I) é uma função da amplitude do movimento do ar
(A), da frequência (f), da densidade do ar (ρ) e da velocidade do som
(c), chegando à expressão I = Ax f y ρz c. Considerando-se as grandezas
fundamentais massa, comprimento e tempo, assinale a opção correta que representa os respectivos valores dos expoentes x, y e z.
a) –1, 2, 2
c) 2, 2, –1
e) 2, 2, 2
b) 2, –1, 2
d) 2, 2, 1
Resolução:
1
V= p
µ
Resposta: V = p
µ
Resposta: c
13 (ITA-SP) Durante a apresentação do projeto de um sistema acús-
1
e y=–
2
15 (ITA-SP) O módulo da velocidade de uma onda transversal, em
uma corda tensa, depende da intensidade da força tensora F a que está
sujeita a corda, de sua massa m e de seu comprimento d.
Fazendo uma análise dimensional, concluímos que o módulo da velocidade é proporcional a:
1
F
Fd 2
d)
a)
md
m
b)
Fm
d
c)
Fm
d
2
e)
md
F
2
1
2
[ΔE]
I = ΔE ⇒ [I] =
S Δt
[S] [Δt]
2 –2
[I] = M L2 T
L T
Resolução:
v = k Fx my d2 (k é uma constante adimensional)
[v] = M0 L T–1 ; [F] = M L T–2
M0 L T–1 = (M L T–2)x My Lz ⇒ M0 L T–1 = Mx + y Lx + z T–2x
Donde: [I] = M L0 T–3
I = Ax f y ρz c
Observando que:
[A] = L ; [f] = T–1 ; [ρ] = M L–3 e [c] = L T–1, vem:
M L0 T–3 = Lx (T–1)y (M L–3)z L T–1
Identificando os expoentes das potências de mesma base, vem:
x+y=0
x+z=1
–2x = –1 ⇒
x= 1
2
PARTE V – ANÁLISE DIMENSIONAL
y=– 1
2
Logo:
z= 1
2
e
Assim:
Identificando-se os expoentes das potências de mesma base, vem:
z=1
2x + z – 1 = 2 ⇒ 2x + 1 – 1 = 2 ⇒
1
2
v=kF m
1
–2
d
1
2
Donde: v = k Fd
m
x=1
y–z=0 ⇒ y–1=0 ⇒ y=1
1
2
φ = k C A Δθ
e
Logo:
Por outros métodos, conclui-se que k = 1.
Trata-se da Lei de Fourier e, por outros métodos, obtém-se k = 1.
Resposta: φ = k C A Δθ
e
Resposta: d
16 No meio rural, todas as fontes energéticas são importantes.
Uma das fontes é o vento, do qual se pode obter potência por meio de
um cata-vento.
A potência do cata-vento depende, por meio de uma relação monômia, da densidade do ar µ, da área projetada do rotor A e do módulo da
velocidade do ar V. Sendo k uma constante adimensional, determine a
expressão da potência do vento P.
Resolução:
P = k µx Ay V2 (k é uma constante adimensional)
[P] = M L2 T–3 ; [µ] = M L–3 ; [A] = L2 e [V] = L T–1
M L2 T–3 = (M L–3)x (L2)y (L T–1)2 ⇒ M L2 T–3 = Mx L–3x + 2y + z T–z
18 (ITA-SP) A figura abaixo representa um sistema experimental
utilizado para determinar o volume de um líquido por unidade de tempo que escoa através de um tubo capilar de comprimento L e seção
transversal de área A. Os resultados mostram que a quantidade desse
fluxo depende da variação da pressão ao longo do comprimento L do
tubo por unidade de comprimento (ΔP/L), do raio do tubo (a) e da viscosidade do fluido (η) na temperatura do experimento. Sabe-se que o
coeficiente de viscosidade (η) de um fluido tem a mesma dimensão do
produto de uma tensão (força por unidade de área) por um comprimento dividido por uma velocidade.
Recorrendo à análise dimensional, podemos concluir que o volume de
fluido coletado por unidade de tempo é proporcional a:
Identificando-se os expoentes das potências de mesma base, vem:
x=1
–3x + 2y + z = 2
Capila r
–z = –3 ⇒ z = 3
Fluido
Logo:
–3 + 2y + 3 = 2 ⇒
Assim:
281
L
y=1
P = k µ A V3
Resposta: P = k µ A V3
17 Verifica-se experimentalmente que o fluxo de calor (φ) – energia
por unidade de tempo – através de uma parede que separa dois ambientes mantidos em temperaturas constantes e diferentes depende
Δθ) nos dois
da área (A) da parede, da diferença entre as temperaturas (Δθ
ambientes e do coeficiente de condutibilidade térmica (C) do material
pelo qual o calor é conduzido, sendo, ainda, inversamente proporcional à espessura (e) da parede. Adotando uma constante adimensional
(k), determine, por análise dimensional, a expressão de φ em função de
C, A, Δθ e e.
É dada a expressão dimensional do coeficiente de condutibilidade térmica: [C] = M L T–3 θ–1, em que M é massa, L é comprimento, T é tempo
e θ é temperatura.
Resolução:
φ = k Ax (Δθ)y Cz e–1
2 –2
φ = ΔE ⇒ [φ]= M L T ⇒ [φ] = M L2 T–3
T
Δt
[A] = L2 ; [Δθ] = θ; [C] = M L T–3 θ–1 e [e] = L
M L2 T–3 θ0 = (L2)x θy (M L T–3 θ–1)z L–1
M L2 T–3 θ0 = Mz L2x + z – 1 T–3x θy – z
a) A
η
ΔP
b)
L
c) L
ΔP
η
d) ΔP
.
L A
e) L a4 η.
ΔP
ΔP .
L
a4 .
η
η
.
a4
Resolução:
x
Z = k ΔP ay ηz
L
[ΔP] = M L–1 T–2 ; [L] = [a] = L
η= F · d
A v
[F] = M L T–2 ; [A] = L2 ; [d] = L e [v] = L T–1
–2
[η] = M L2T · L –1 ⇒ [η] = M L–1 T–1
L
LT
Z = ΔV (Z representa a vazão)
Δt
3
[Z] = L ⇒ [Z] = L3 T–1
T
Logo:
–1 –2 x
M0 L3 T–1 = M L T Ly (M L–1 T–1)z
L
0 3 –1
x + z –2x + y – z –2x – z
M L T =M L
T
282
PARTE V – ANÁLISE DIMENSIONAL
Identificando os expoentes das potências de mesma base, temos:
x + z = 0 ⇒ z = –x
(I)
–2x + y – z = 3
–2x – z = –1 ⇒ 2x + z = 1
(II)
(I) em (II): 2x – x = 1 ⇒
x=1
e
z = –1
–2 (1) + y – (–1) = 3 ⇒ y = 4
Logo: Z = k ΔP a4 η–1
L
Donde:
4
Z = k ΔP · a
L η
Resposta: b
Resolução:
3
a) F = σ d ⇒ σ = FL3
L
d
No SI, as unidades de F, L e d são, respectivamente, N, m e m. Logo:
Unidade (σ) = N m3 = N2
m
m
Lembrando que a unidade de força newton (N) pode ser expressa
por:
N = kg m2 ,
s
Temos:
kg m2
s = kg
Unidade (σ) =
m s2
m2
Ou unidade (σ) = kg m–1 s–2
19 (Unicamp-SP) Além de suas contribuições fundamentais à Físi-
ca, Galileu é considerado também o pai da Resistência dos Materiais,
ciência muito usada em engenharia, que estuda o comportamento
de materiais sob esforço. Galileu propôs empiricamente que uma
viga cilíndrica de diâmetro d e comprimento (vão livre) L, apoiada
nas extremidades, como na figura abaixo, rompe-se ao ser submeti3
da a uma força vertical F, aplicada em seu centro, dada por F = σ d ,
L
em que σ é a tensão de ruptura característica do material do qual a
viga é feita. Seja γ o peso específico (peso por unidade de volume) do
material da viga.
L
2
b) Conforme o enunciado:
γ= P ⇒ P=γV
V
2
Sendo V = πd L, segue que:
4
γ πd2 L
P=
4
c) O peso será a força vertical aplicada no centro da viga responsável
pela sua flexão e consequente ruptura. Logo:
3
γ π d2 L
F=P ⇒ σd =
L
4
Donde:
F
d
4σ = L2
γπ d
2
L
1o caso: 4σ = 1
d
γπ
1
(I)
2
L
a) Quais são as unidades de σ no Sistema Internacional de Unidades?
b) Encontre a expressão para o peso total da viga em termos de γ, d
e L.
c) Suponha que uma viga de diâmetro d1 se rompa sob a ação do
próprio peso para um comprimento maior que L1. Qual deve ser
o diâmetro mínimo de uma viga feita do mesmo material com
comprimento 2L1 para que ela não se rompa pela ação de seu
próprio peso?
(2L )
2o caso: 4σ = 1
(II)
d2
γπ
Comparando-se (I) e (II), vem:
L21 4L21
=
⇒ d2 = 4d1
d1 d2
Respostas: a) kg m–1 s–2; b)
γ πd2 L
; c) 4d1
4