SISTEMA DE UNIDADES E ANÁLISE DIMENSIONAL
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CAPÍTULO 1
SISTEMA DE UNIDADES E ANÁLISE DIMENSIONAL
1.1
O que é a Física ?
A Física é uma ciência fundamental que se ocupa com a compreensão dos fenômenos
naturais que ocorrem no nosso universo. É uma ciência baseada em observações experimentais e em
medições quantitativas. O objetivo maior de uma abordagem científica é o de desenvolver teorias,
baseadas nas leis fundamentais, que poderão prever os resultados de várias experiências.
Felizmente, é possível explicar o comportamento de muitos sistemas físicos com apenas um número
limitado de leis fundamentais. Essas leis fundamentais exprimem-se na linguagem da matemática,
que é o instrumento que possibilita a passagem da teoria para a experiência.
Sempre que aparece uma discrepância entre a teoria e a experiência, é necessário que se
formulem novas teorias e novas experiências, a fim de se remover a divergência. Muitas vezes,
uma teoria é satisfatória sob condições limitadas; uma teoria mais geral poderá ser satisfatória sem
estas limitações. Exemplo clássico é o das leis do movimento, de Newton, que descrevem
exatamente o movimento dos corpos em velocidades baixas, mas que não se aplicam aos corpos que
se movem com velocidades comparáveis à da luz. A teoria da relatividade restrita, desenvolvida por
Albert Einstein (1879-1955), prevê com êxito o movimento dos corpos em velocidades próximas da
velocidade da luz e, por isso, é uma teoria do movimento mais geral.
A Física Clássica, desenvolvida antes de 1900, inclui teorias, conceitos, leis e experiências
em três disciplinas principais: (1) Mecânica Clássica, (2) Termodinâmica (transferência de calor,
temperatura e comportamento de sistemas com grande número de partículas) e (3)
Eletromagnetismo (estudo dos fenômenos elétricos e magnéticos, ótica e radiação).
Galileu Galilei (1564-1642) fez contribuições significativas à Mecânica Clássica nos seus
trabalhos sobre as leis do movimento com aceleração constante. Na mesma época, Johannes Kepler
(1571-1630) usou observações astronômicas para desenvolver leis empíricas sobre o movimento
dos corpos planetários.
As contribuições mais importantes à Mecânica Clássica foram proporcionadas por Isaac
Newton (1642-1727), que desenvolveu a mecânica clássica como uma teoria sistemática e foi um
dos inventores do cálculo como instrumento matemático. Durante o século XVIII, prosseguiu o
desenvolvimento da física clássica. A termodinâmica, a eletricidade e o magnetismo, porém, não se
desenvolveram até a metade do final do século XIX, principalmente em virtude de a aparelhagem,
apropriada às experiências controladas, ou ser muito grosseira ou não estar disponível. Embora
muitos fenômenos elétricos e magnéticos tenham sido estudados antes, foi somente o trabalho de
James Clerk Maxwell (1831-1879) que proporcionou uma teoria unificada do eletromagnetismo.
Quase no final do século XIX, principiou uma nova era da física, em geral conhecida como
física moderna, que se desenvolveu, principalmente, pela descoberta de muitos fenômenos físicos
que não podiam ser explicados pela física clássica. Os dois desenvolvimentos mais importantes
desta era moderna foram as teorias da relatividade e a mecânica quântica. A teoria da relatividade,
de Einstein, revolucionou de maneira completa os conceitos tradicionais de espaço, tempo e
energia. Entre outras coisas, a teoria de Einstein corrigiu as leis do movimento, de Newton, na
descrição do movimento de corpos com velocidades comparáveis à da luz. A teoria da relatividade
admite que a velocidade da luz seja um limite superior para a velocidade de qualquer corpo ou sinal,
e mostra a equivalência entre massa e energia. A formulação da mecânica quântica por vários
cientistas importantes ofereceu uma descrição dos fenômenos físicos no nível atômico.
Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto-CAV/UDESC
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Os cientistas estão constantemente trabalhando para melhorar o entendimento das leis
fundamentais, e a cada dia se fazem novas descobertas. Em muitas áreas de pesquisa, há grande
superposição entre a física, a química e a biologia. Os muitos avanços tecnológicos dos últimos
tempos são fruto dos esforços de muitos cientistas, engenheiros e técnicos. Alguns dos mais
notáveis avanços recentes são: (1) as missões espaciais sem tripulação e o desembarque tripulado na
Lua, (2) os circuitos miniaturizados e os computadores de alta velocidade e (3) as técnicas sutis e
elaboradas de eletromagnetismo usadas na pesquisa científica e na medicina. O impacto desses
progressos e descobertas na nossa sociedade foi, na realidade, muito grande e é bem provável que as
descobertas e os desenvolvimentos futuros serão estimulantes e desafiadores, de grandes efeitos
benéficos para a humanidade.
1.2
Instrumentos para o estudo da Física
Muitos fenômenos que ocorrem na natureza são captados diretamente através dos sentidos:
vemos que um automóvel corre, sentimos com a mão que um objeto é mais quente do que outro,
ouvimos que o som de um violino é diferente daquele de um piano.
Todavia, as informações registradas pelos sentidos têm sempre um caráter pessoal. Não
podemos nos basear apenas nisso para construir uma ciência como a Física, para a qual as
afirmações devem ser independentes da pessoa específica que realiza a observação.
Tomemos um exemplo. Se perguntarmos a duas pessoas que acabaram de sair do mar como
está a água, é bem provável que uma nos responda que está fria, e a outra que está quente. Isso
demonstra quão diferentes, de um observador para outro, são as sensações provocadas pelo mesmo
fenômeno. Mas, se dispusermos de um instrumento muito simples e conhecido, ou seja, um
termômetro, bastará submergi-lo na água e ler a temperatura que ele indicar. Poderemos então
responder a quem quer que nos pergunte com está a água do mar que, naquele instante, ela tem uma
temperatura de, por exemplo, 22 graus Celsius. Essa resposta terá o mesmo significado para
qualquer pessoa que conheça um termômetro e os critérios com que ele é construído.
Na natureza há inúmeros outros fenômenos que não estamos aptos a perceber servindo-nos
apenas de nossos sentidos. Por exemplo, não vemos as ondas de rádio, não ouvimos os ultra-sons,
não percebemos os raios cósmicos (a chuva de partículas que chega à Terra vinda do espaço).
Conseguimos evidenciar esses fenômenos fazendo uso de instrumentos, que permitem ampliar o
campo das nossas observações. Eles costumam ser indispensáveis para a obtenção de observações
quantitativas. Naturalmente, para ler os resultados dos instrumentos, ainda precisaremos de nossos
sentidos. Sem os olhos, não conseguiremos ver que ponto da escala foi alcançado pela coluna de
mercúrio do termômetro.
Usando um instrumento, a observação adquire um caráter objetivo (ou seja, independente do
observador) e quantitativo. A temperatura, o comprimento, a velocidade, a intensidade da corrente
elétrica são palavras que fazem parte da linguagem da Física. São chamadas de grandezas físicas e
se referem a conceitos que têm a característica de poder ser medidos com instrumentos.
A Matemática sempre teve um papel muito importante na Física, desde o nascimento desta
ciência, há cinco séculos. Uma das razões dessa profunda aliança é o fato de que a Física se serve
de grandezas e, por isso, tem necessidade de lidar com números, que são o resultado das medidas.
Mas a Matemática coloca ainda à disposição da Física outros instrumentos, além deste que os
números permitem elaborar. A Matemática constitui o fio condutor das teorias físicas.
1.3
O Método Experimental
O homem sempre observou que uma pedra, abandonada de certa altura, chega rapidamente
ao solo. Para um físico, essa observação não é suficiente. Estudar a queda de uma pedra significa
dizer alguma coisa mais precisa do que meramente constatar o fenômeno tal como ele ocorreu na
natureza. É necessário que se chegue a estabelecer a regra ou, como se diz, a lei segundo a qual o
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fenômeno se desenvolve. Essa lei permitirá calcular, por exemplo, quanto tempo leva um objeto
para cair de certa altura até o solo.
t = 0,45 h
onde t é o tempo medido em segundos e h é a altura da qual o objeto cai medida em metros.
Essa fórmula exprime a lei da queda dos objetos sobre a Terra. Ela responde a todas as possíveis
perguntas do tipo: quanto tempo leva para chegar ao solo um objeto que cai de determinada altura?
A lei abarca, por essa razão, uma lista infinita de dados, alguns dos quais são mostrados na tabela
1.1.
Tabela 1.1
Altura h
Tempo t
(metros)
(segundos)
1
0,45
1,7
0,59
2
0,64
3
0,78
4
0,90
5
1,01
6
1,11
Para chegar a este resultado, devemos fazer algumas experiências, ou seja, devemos
examinar detalhadamente como um objeto cai, eliminando do fenômeno “queda de um objeto”
todas as causas que o perturbem. Por exemplo, é claro que, se a pedra for abandonada de uma torre
num dia de vento, seu movimento será um tanto alterado ou, melhor dizendo, perturbado. Assim,
para podermos generalizar a maneira como caem os objetos na ausência de perturbações será mais
adequado realizar a experiência da queda da pedra num dia sem vento. Entenderemos ainda melhor
esse fenômeno se ele for realizado dentro de um tubo em que se tenhas feito vácuo. Procedendo
assim, estaremos seguros de que o ar não poderá alterar o movimento da pedra.
Naturalmente, uma vez estabelecida a lei segundo a qual os corpos caem no vácuo, poderemos
estudar como eles caem no ar parado, sem vento. É evidente que eles cairão de modo diverso de
como cairiam no vácuo, e a diferença observada certamente se deverá à presença do ar. Poderemos,
assim, formular outra regra, que leve em conta a ação do ar sobre a queda dos corpos. Enfim,
poderemos ainda completar esse estudo examinando as diferenças que ocorrem entre a queda de um
corpo no ar parado e quando há vento, e conseguiremos ainda estabelecer qual seria a influência do
vento.
O método experimental da Física consiste uma sábia combinação de observações e
experiências, que tem o propósito de esclarecer os aspectos essenciais dos fenômenos naturais. Sem
recorrer à experiência, não seria possível distinguir num fenômeno aquilo que é importante daquilo
que, numa primeira abordagem, pode ser desprezado. Os fenômenos que ocorrem na natureza são,
freqüentemente, muito complexos. Com o auxílio do método experimental, é possível compreendêlos através de passos sucessivos.
Inicialmente se estuda o fenômeno simples reduzido ao essencial. Depois se acrescentam as
complicações, até se chegar a reproduzir o fenômeno de partida.
A experiência não é uma coisa possível de realizar em todas as ciências. Por exemplo, ela não é
possível na Astronomia. Aí, evidentemente, o homem se limitará às observações dos fenômenos
astronômicos, sem poder produzi-los nem influenciá-los. A Física propriamente dita é uma das
ciências em que a experiência é mais facilmente realizável.
Isso não significa, porém, que a Astronomia não seja uma ciência. Para entender o
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movimento dos corpos celestes, devemos combinar as experiências feitas na Terra com a
observação do universo, fazendo uso de relações expressas matematicamente.
O método experimental consiste, pois, em uma análise dos fenômenos. Naturalmente, para
que as experiências sejam produtivas, não devem ser feitas às cegas. No início, convém ter uma
idéia de como se desenvolve o fenômeno que queremos estudar. A partir disso, formulamos uma
hipótese que eventualmente pode ser sugerida por alguma semelhança com outros fenômenos já
conhecidos. A seguir, faremos nossas experiências sobre o fenômeno. Se os resultados conseguidos
estiverem de acordo com a hipótese formulada, ela estará confirmada. Caso contrário, ela deverá ser
abandonada ou modificada. Esse método – que começas com a observação do fenômeno, utiliza
experiências, analogias e hipóteses e finalmente chaga à lei que rege o fenômeno – é chamado
método indutivo.
As leis que regulam um grupo de fenômenos se acham freqüentemente reunidas numa
teoria. Uma teoria é uma estrutura matemática que relaciona entre si as diferentes leis e permite,
dessa maneira, coligar os resultados de numerosas experiências. Por exemplo, a teoria do
eletromagnetismo é constituída de algumas leis bastante gerais que explicam os fenômenos elétricos
e magnéticos.
Usando instrumentos matemáticos, podemos, a partir de uma teoria, prever novas leis e, com
isso, descobrir novos fenômenos. Aplicamos, nesse caso, o método dedutivo. A seguir, é
necessário fazer experiências para verificar se os fenômenos previstos realmente existem. Em caso
afirmativo, a teoria deve ser considerada válida; se não, deve ser modificada e, em casos extremos,
abandonada.
Por exemplo, as leis da Mecânica (teoria que explica o movimento dos corpos) foram
estabelecidas pro Galileu e por Newton, com base em observações astronômicas e em experiências
realizadas na Terra. Com essas leis, podemos prever o movimento dos planetas em torno do Sol e o
movimento dos satélites artificiais. Os lançamentos espaciais, que se iniciaram em 1957, são uma
clara confirmação de uma teoria descoberta trezentos anos antes.
1.4
Introdução ao Sistema de Unidades
Dá-se o nome de sistema de unidades físicas ao conjunto de unidades utilizadas para medir todas as
espécies de grandezas físicas.
Outrora, cada unidade de um sistema era definida arbitrariamente. Não havia a menor correlação
entre as unidades.
Os sistemas assim obtidos tinham um grave inconveniente: complicavam as fórmulas físicas,
sobrecarregando-as com incômodas constantes de proporcionalidade. Tais sistemas, hoje
denominados incoerentes, estão fora de uso.
1.5
Unidades Fundamentais e Derivadas
Posteriormente, verificou-se que as unidades de um sistema podiam ser definidas em função,
explícita ou implícita, de seis unidades, desde que fossem convenientemente escolhidas.
Estas seis unidades são consideradas como as unidades fundamentais, ou primárias, do
sistema, sendo definidas arbitrariamente.
As outras unidades, consideradas derivadas, ou secundárias, são definidas em função das
fundamentais.
Por extensão, as grandezas correspondentes às unidades fundamentais são denominadas
grandezas fundamentais do sistema; as outras, grandezas derivadas.
1.6
Sistemas LMT e LFT
Um sistema de unidades físicas congrega unidades geométricas, cinemáticas, dinâmicas, térmicas,
eletromagnéticas e óticas.
Em tais sistemas não há a necessidade de seis unidades fundamentais. Bastam três.
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Destas, uma deve ser geométrica, uma cinemática e uma dinâmica. Todos os sistemas hoje usados,
adotam o comprimento como a grandeza geométrica fundamental e o tempo como grandeza
cinemática fundamental.
Não houve a mesma unanimidade na escolha da grandeza dinâmica fundamental. Alguns sistemas
escolheram a massa e, outros, a força.
Representando, simbolicamente, o comprimento por L, a massa por M, a força por F e o tempo por
T, podemos agrupar os sistemas, hoje usados, em dois tipos gerais: LMT (também denominados
inerciais ou físicos) e LFT (também denominados gravitacionais ou técnicos).
Os sistemas do tipo LMT usam o comprimento, a massa e o tempo como grandezas fundamentais.
Os do tipo LFT usam o comprimento, a força e o tempo.
1.7
O Sistema CGS
É do tipo LMT. Suas unidades fundamentais são:
•
•
•
Comprimento: centímetro (cm)
Massa: grama (g)
Tempo: segundo (s ou seg)
Embora os livros modernos só utilizem o sistema MKS, muitas obras consideradas clássicas
da Física, sendo anteriores à adoção deste sistema, utilizam o CGS.
1.8
O Sistema MKS
É do tipo LMT. Suas unidades fundamentais são:
•
•
•
Comprimento: metro (m)
Massa: quilograma (kg)
Tempo: segundo (s ou seg)
Foi proposto por Giorgi, em 1904, no 6º Congresso Internacional de Pesos e Medidas.
Atualmente, é o sistema universal da Física. E mais cedo ou mais tarde, será o único
sistema a ser usado. Por este motivo deve receber uma atenção especial por parte dos alunos.
1.9
O Sistema MKgfS
É do tipo LFT. Suas unidades fundamentais são:
•
•
•
Comprimento: metro (m)
Força: quilograma-força (kgf ou kg*)
Tempo: segundo (s ou seg)
É o sistema mais usado em Engenharia. Em um grande número de obras técnicas é o único
sistema empregado. Isto justifica o seu estudo.
1.10 O Sistema Internacional de Unidades
A primeira coisa a fazer quando se quer medir uma grandeza é selecionar uma unidade de
medida. Somente depois de ter feito essa escolha é que poderemos estabelecer quantas vezes a
unidade está contida na grandeza a ser medida. Por exemplo dizer que um automóvel se move a 130
km/h significa:
• ter escolhido o quilômetro por hora como unidade de medida de velocidade;
• ter estabelecido que essa unidade de medida está contida 130 vezes naquela
grandeza.
Nos Estados Unidos, isso seria expresso de outra forma. Lá diriam que o automóvel está
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viajando a 80 milhas por hora. De fato, nos velocímetros dos automóveis americanos, as
velocidades são medidas em milhas por hora. Não há qualquer motivo para que se escolha uma
unidade de medida em vez de outra. No entanto, por praticidade, é conveniente selecionar o menor
número possível de unidades de medida diferentes. Foi o que ocorreu em nível mundial quando se
decidiu escolher as unidades de medida oficiais. São elas:
•
•
•
•
•
•
•
o metro para o comprimento;
o segundo para o tempo;
o quilograma para a massa;
o ampère para a intensidade de corrente elétrica;
o kelvin para a temperatura;
a candela para a intensidade luminosa;
o mol para a quantidade de matéria.
Essas sete unidades, que fazem parte do Sistema Internacional de Unidades, são suficientes
para medir qualquer outra grandeza. Por exemplo, como veremos adiante, a velocidade é medida
em metros por segundo (m/s). Aqui, nos fixaremos em particular nas unidades de medida de
comprimento e de tempo.
1.11 Outros Sistemas Usados
1.11.1 Sistema MTS
É do tipo LMT. Suas unidades fundamentais são:
• Comprimento: metro (m)
• Massa: tonelada (t)
• Tempo: segundo (s ou seg)
É usado na França.
1.11.2 Sistema Inercial Inglês e Norte Americano
É do tipo LMT. Suas unidades fundamentais são:
•
•
•
Comprimento: pé (ft)
Massa: libra (lb)
Tempo: segundo (s ou seg)
É usado na Inglaterra e nos estados Unidos.
1.11.3 Sistema Gravitacional Inglês e Norte Americano
É do tipo LMT. Suas unidades fundamentais são:
•
•
•
Comprimento: pé (ft)
Força: libra-força (lbf ou lb*)
Tempo: segundo (s ou seg)
É usado na Inglaterra e nos estados Unidos.
1.12 Conversão de Unidades
Todas as medidas de grandezas físicas têm um número e uma unidade. Quando se somam,
subtraem, multiplicam ou dividem essas grandezas, numa equação algébrica, por exemplo, as
unidades são tratadas como se fossem quaisquer grandezas algébricas. Por exemplo, suponhamos
que se queira calcular a distância percorrida, em 3 horas (h), por um carro que se desloca à
velocidade constante de 80 quilômetros por hora (km/h). A distância é igual ao produto da
velocidade v pelo tempo t
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x = vt =
7
80 km
× 3h/ = 240 km
h/
A unidade de tempo, no caso a hora, é cancelada como se fosse uma grandeza algébrica
comum, e a distância percorrida aparece na unidade de comprimento apropriada, o quilômetro. Este
procedimento de tratar as unidades facilita a conversão de uma unidade em outra. Por exemplo,
imaginemos que se queira converter a resposta de 240 km a milhas (mi). Sabendo que 1 mi = 1,61
km, dividimos cada membro desta igualdade por 1,61 km para chegar a
1 mi
=1
1,61 km
Uma vez que se qualquer grandeza pode ser multiplicada por 1 sem que se altere o seu valor,
podemos passar de 240 km para milhas simplesmente pela multiplicação pelo fator (1 mi)/(1,61km)
20 km = 240 km ×
1 mi
= 149 mi
1,61 km
O fator (1 mi)/(1,61 km) é um fator de conversão. Todos os fatores de conversão têm o
valor 1 (sem dimensões) e permitem que se converta a medida de uma grandeza expressa em uma
unidade de medida na medida equivalente expressa em outra unidade. Se as unidades foram escritas
explicitamente e depois canceladas, não é preciso ter a preocupação de saber se é preciso
multiplicar por 1,61, ou dividir por 1,61, para passar de quilômetros para milhas, pois as unidades
nos dizem, automaticamente, se o fator escolhido estava certo ou errado.
Exemplo 1-1: Se o seu carro estiver a 90 km/h, qual a sua velocidade em metros por segundo e em
milhas por hora?
Solução: Aproveitamos as informações 1000 m = 1 km, 1 min = 60 s e 1 h = 60 min, a fim de
converter a velocidade em metros por segundo. A medida 90 km/h é multiplicada por um conjunto
de fatores de conversão, cada qual exatamente igual a 1, de modo que o seu valor não se altere. Para
converter a milhas por hora, aproveitamos o fator de conversão (1 mi)/(1,61km).
1. Multiplicamos 90 km/h por um conjunto de fatores de conversão que transformam
quilômetros a metros e horas a segundos:
90 km 1000 m
1h
1 min
×
×
×
= 25 m / s
h
1 km
60 min 60 s
2. Multiplicamos 90 km/h por (1 mi)/(1,61km):
90 km
1 mi
×
= 55,9 mi / h
h
1,61 km
A seguir, mostramos uma lista com os principais fatores de conversão utilizados atualmente.
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1.13 Análise Dimensional
O conceito de dimensão tem significado especial na física. Em geral denota a natureza física
de uma grandeza. Uma distância, por exemplo, quer seja medida em metros ou em quilômetros, é
sempre uma distância. Dizemos então que a sua dimensão é comprimento.
Os símbolos que serão usados para indicar, respectivamente, comprimento, massa e tempo
serão L, M e T. Usaremos colchetes [ ] para simbolizar as dimensões de uma grandeza física. Por
exemplo, nesta notação, as dimensões de velocidade, v, são escritas [v] = L/T, e a área A é [A] = L2.
Em muitas situações, você terá que deduzir ou verificar uma certa fórmula. Embora você
possa ter esquecido os detalhes da dedução, há um procedimento útil e eficaz, denominado análise
dimensional, que pode ser adotado a fim de ajudar a dedução ou a verificação da expressão final.
Esse procedimento deve ser sempre adotado e ajudará a minimizar a memorização mecânica das
equações. A análise dimensional usa o fato de as dimensões poderem ser tratadas como se fossem
grandezas algébricas. Isto é, as grandezas podem ser somadas, ou subtraídas, se tiverem a mesma
dimensão. Além disso, os termos em cada membro de uma equação devem ter, também, a mesma
dimensão. Com essas regras simples, você poderá usar a análise dimensional para determinar se
uma expressão tem, ou não, a forma correta, pois uma relação só pode ser correta se as dimensões
de cada membro de uma equação forem as mesmas.
Para ilustrar o procedimento, suponhamos que se queira deduzir a fórmula para a distância x
coberta por um carro durante um intervalo de tempo t, quando o carro parte do repouso e se move
com aceleração uniforme a. mais adiante veremos que a expressão correta, nesse caso especial, é
x = at2/2. Vamos verificar a validade dessa expressão mediante uma abordagem da análise
dimensional.
A grandeza x no primeiro membro tem a dimensão de comprimento. A fim de a equação ser
dimensionalmente correta, a grandeza no segundo membro deve também ter a dimensão de
comprimento. Podemos fazer a verificação dimensional substituindo, na equação, a aceleração pelas
suas unidades fundamentais, L/T2, e o tempo pela unidade T. Então, a forma dimensional da
equação x = at2/2 pode ser escrita como
L=
L
⋅ T/ 2 = L
T/ 2
As unidades de tempo se cancelam, como está indicado, e resta apenas a unidade de
comprimento.
Um procedimento mais geral da análise dimensional é o de escrever uma expressão com a
forma
x ∝ antm
onde n e m são expoentes a determinar e o símbolo ∝ indica proporcionalidade. Essa relação só é
correta se as dimensões de ambos os membros forem as mesmas. Uma vez que, no caso que
estamos analisando, a dimensão do primeiro membro é comprimento, a dimensão do segundo
membro tem que ser comprimento. Isto é,
[a t ] = L = LT
n m
0
Como as dimensões de aceleração são L/T2 e a dimensão de tempo é T,
n
 L  m
 2 T =L
T 
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ou
Ln T m − 2 n = L
Uma vez que os expoentes de L e de T devem ser os mesmos nos dois membros, vemos que
n = 1 e m = 2. Portanto, podemos concluir que
x ∝ at 2
Esse resultado difere da expressão correta, x = at2/2, por um fator 1/2.
1.14 Densidade e Massa Atômica
Uma propriedade fundamental de qualquer substância é a sua densidade ρ (letra grega rô), definida
como a massa por unidade de volume:
ρ=
m
V
1.1
Por exemplo, o alumínio tem a densidade de 2,70 g/cm3, e o chumbo tem a densidade de
11,3 g/cm3. Então, um pedaço de alumínio com 10 cm3 de volume de chumbo tem a massa de 27,0
g, enquanto um mesmo volume de chumbo terá a massa de 113 g. Na tabela 1.1 está uma lista das
densidades de várias substâncias.
Tabela 1.1
Substância
Densidade ρ (kg/m3)
Ouro
19,3 x 103
Urânio
18,7 x 103
Chumbo
11,3 x 103
Cobre
8,93 x 103
Ferro
7,86 x 103
Alumínio
2,70 x 103
Magnésio
1,75 x 103
Água
1,00 x 103
Ar
0,0013 x 103
A diferença de densidade entre o alumínio e o chumbo se deve, em parte, à diferença entre
as respectivas massas atômicas (ou pesos atômicos). A massa atômica do chumbo é 207 e a do
alumínio, 27. No entanto, a razão entre os pesos atômicos, 207/27 = 7,67, não corresponde à razão
entre as densidades, 11,3/2,70 = 4,19. Tal discrepância é devida à diferença entre os átomos nas
respectivas estruturas cristalinas.
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Toda matéria, em geral, é constituída por átomos e cada átomo é constituído por elétrons e
um núcleo. A massa de um átomo está, praticamente, contida no núcleo, que é formado por prótons
e nêutrons. Assim, podemos compreender a razão de os pesos atômicos dos diversos elementos
serem diferentes. A massa de um núcleo é medida em relação à massa de um átomo do núcleo de
carbono 12 (este nuclídeo, isótopo do carbono, tem seis prótons e seis nêutrons).
A massa do 12C, é, por definição, exatamente igual a 12 unidades de massa atômica (u) e
uma unidade de massa atômica é igual a 1,6605402 x 10-27 kg. Nesta unidade, o próton e o nêutron
tem massas da ordem de 1u. Com maior precisão,
Massa do próton = 1,0073 u
Massa do nêutron = 1,0087 u
A massa do núcleo do 27Al é aproximadamente 27 u. Na realidade, medições mais exatas
mostram que a massa nuclear é sempre ligeiramente menor que a massa combinada dos prótons e
nêutrons que constituem o núcleo. Os processos de fissão e fusão nuclear estão baseados nestas
diferenças de massa.
Um mol de qualquer elemento (ou composto) é constituído por um número de moléculas da
substância igual ao número de Avogadro NA. O número de Avogadro se define de modo que um
mol de átomos de carbono 12 tenha uma massa exatamente igual a 12 g. O seu valor é NA = 6,02 x
1023 moléculas/mol. Por exemplo, um mol de alumínio tem a massa de 27 g e um mol de chumbo, a
massa de 207 g. Embora os dois tenham massas diferentes, um mol de alumínio contém o mesmo
número de átomos que um mol de chumbo. Uma vez que num mol de qualquer elemento existem
6,02 x 1023 átomos, a massa de um átomo será dada por
m=
massa atômica
NA
Por exemplo, a massa de um átomo de alumínio é
m=
27 g / mol
6,02 ×
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1.2
SISTEMA DE UNIDADES E ANÁLISE DIMENSIONAL 15
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS
at 2
está dimensionalmente correta, sendo x uma coordenada
2
com a dimensão de comprimento, v uma velocidade, a uma aceleração e t o tempo.
1. Mostrar que a expressão x = vt +
2. O deslocamento de uma partícula que se move com aceleração uniforme é uma função do tempo
e da aceleração. Suponhamos que esse deslocamento seja descrito por s = ka m t n , onde k é uma
constante adimensional. Mostrar, pela análise dimensional, que essa expressão estará satisfeita
se m = 1 e n = 2 . Esta análise pode dar o valor de k?
3. O quadrado da velocidade de um corpo que se desloca com aceleração uniforme a é uma função
de a e do deslocamento s, conforme a expressão v 2 = ka m s n , onde k é uma constante
adimensional. Mostrar, pela análise dimensional, que essa expressão estará satisfeita se
m = n = 1.
4. O consumo de gás natural por uma certa usina obedece à equação empírica V = 1,5t + 0,008t 2 ,
onde V é o volume, em milhões de pés cúbicos e t o tempo em meses. Exprimir essa equação
nas unidades pés cúbicos e segundos. Indicar as unidades apropriadas nos coeficientes. Admitir
o mês com 30 dias. R: V = 0,58t + 1,2 × 10 −9 t 2
5. A lei da gravitação universal, de Newton, é dada por
F =G
Mm
r2
Nessa expressão, F é a força da gravidade, M e m são as massas e r é a distância entre as massas. A
força tem as unidades kg.m/s2. Quais as unidades SI da constante de proporcionalidade G? R: As
unidades de G são m3/(kg.s2)
6. Converter o volume 8,50 in.3 para m3, lembrando que 1 in.=2,54 cm e 1 cm = 10-2 m. R:
1,39 × 10 −4 m3
7. Um lote de terreno tem 100,0 ft por 150,0 ft. Determinar a área desse lote em m2. R:
1,39 ×103 m2
8. Um certo animal desloca-se à velocidade de 5 furlongs por quinzena (essa unidade de
velocidade é bem pouco usual). Sabendo que 1 furlong = 220 jardas e que uma quinzena = 14
dias, determinar a velocidade do animal em m/s. R: 8,32 × 10 −4 m/s
9. Um terreno tem uma área de uma milha quadrada e tem 640 acres. Determinar o número de
metros quadrados em 1 acre. R: 1,56 × 10 −3 mi2
10. (a) Achar o fator de conversão para passar de mi/h a km/h. (b) Até pouco tempo, a velocidade
nas rodovias estava limitada a 55 mi/h. Usar o fator de conversão encontrado na parte (a) para
achar esse limite de velocidade em km/h. (c) Em certas regiões, o limite de velocidade foi
elevado para 65 mi/h. Qual o valor dessa elevação, em relação ao limite anterior de 55 mi/h,
expresso em km/h? R: (a) 1 mi/h = 1,609 km/h; (b) 88,5 km/h; (c) 16,1 km/h
11. A base de uma pirâmide cobre uma área de 13 acres (1 acre = 43.560 ft2) e tem a altura de 481
ft. O volume de uma pirâmide é dado pela expressão V = Bh/3, onde B é a área da base e h a
altura da pirâmide. Achar o volume dessa pirâmide em metros cúbicos. R: 2,57 ×10 6 m3
Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto-CAV/UDESC
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SISTEMA DE UNIDADES E ANÁLISE DIMENSIONAL
12. Sabendo que a densidade média da Terra é de 5,5 g/cm3 e que o raio médio é de 6,37 x 106 m,
calcular a massa da Terra. R: 5,95 × 10 24 kg
13. Vamos admitir que uma mancha de óleo, na superfície da água, seja constituída por uma
camada monomolecular e que cada molécula de óleo ocupe um cubo com aresta de 1,0 µm.
Estimar a área de uma mancha de óleo formada por 1,0 m3 de óleo. R: 106 m2
14. Um metro cúbico (1,0 m3) de alumínio tem massa de 2,70 x 103 kg e 1,0 m3 de ferro tem a
massa de 7,86 x 103 kg. Achar o raio de uma esfera maciça de alumínio que equilibre uma esfera
maciça de ferro, com o raio de 2,0 cm, quando ambas estiverem penduradas numa balança de
braços iguais. R: 2,86 cm
15. Calcular a densidade de um cubo maciço que tem 5 cm de aresta e uma massa de 350 g. R: 2,80
g/cm3
16. Quantos gramas de cobre serão necessários para fazer uma casca esférica, com o oco interno
tendo 5,70 cm de raio e o raio externo de 5,75 cm? A densidade do cobre é 8,93 g/cm3. R: 184
g
17. Admitamos que sejam necessários sete minutos para encher um tanque de gasolina com 30
galões. (a) Calcular a vazão de enchimento do tanque, em galões por segundo. (b) Calcular a
vazão de enchimento em metros cúbicos por segundo. (c) Determinar o tempo, em horas,
necessário para encher um metro cúbico, com a mesma vazão. R: (a) 7,14 × 10 −2 gal/s; (b)
2,70 × 10 −4 m3/s; (c) 1,03 h
Apostila elaborada pela Profª. Ângela Emilia de Almeida Pinto-CAV/UDESC