Sociedade Portuguesa de Matemática
Proposta de resolução da prova 735 - Matemática B
2ª fase - 13 de Julho de 2007
1.1 Recorrendo à calculadora, obtém-se para o coeficiente o valor de 0,99; podemos
concluir que há uma correlação linear positiva muito forte entre as duas variáveis.
1.2.1 O primeiro termo é v1 = 652 ; a razão é
vn+1
= 1,0502 .
vn
1.2.2 Comecemos por calcular a soma dos nove primeiros termos da progressão dada.
1 − 1,0502 9
≈ 7195,24 . Multiplicando este valor por 14 (12 ordenados
1 − 1,0502
mensais mais subsídio de férias e décimo terceiro mês), obtém-se o resultado de 100733
euros, por arredondamento às unidades.
S 9 = 652 ×
2.1 Das condições do problema, resulta imediatamente que R ( x) = p ( x) × n( x) . Logo,
R( x) = 10(1 + x) × (4000 − 2000 x) = −20000 x 2 + 20000 x + 40000 .
Já que se trata de um aumento tem de ser x ≥ 0 ; como n(x) tem de ser não negativo,
resulta que 4000 − 2000 x ≥ 0 e portanto x ≤ 2 .
2.2 Comecemos por esboçar o gráfico da função R em [0, 2] recorrendo à calculadora.
y
A
45000
40000
35000
30000
25000
20000
15000
10000
5000
x
1
2
O ponto A assinalado na figura tem as coordenadas (0,5; 45000); R tem pois o
máximo 45000, atingido para x = 0,5.
Podemos concluir que nenhum dos dois elementos da direcção tem razão e que o
aumento correcto para maximizar a receita é de 50%, correspondente a um preço de 15
euros por bilhete e uma receita de 45000 euros.
Para o preço de 20 euros, proposto pelo primeiro director, temos um aumento de 100%
sobre o preço base e portanto x = 1 ; R (1) = 40000 e a receita é de 40000 euros.
Aparentemente, este director terá pensado que duplicando o preço dos bilhetes, a receita
seria superior.
Para o preço de 10 euros, proposto pelo segundo director, x = 0 , R (0) = 40000 e a
receita é de 40000 euros. Este director terá talvez pensado que, com a lotação esgotada,
a receita seria máxima.
2.3
Dos
espectadores
presentes,
60%
são
sócios,
o
que corresponde a
4095 4094
6825 × 0,6 = 4095 espectadores. Assim, a probabilidade pedida é
×
≈ 0,36 .
6825 6824
3.1 A área pedida é o quádruplo da área do triângulo rectângulo [AOD]; esta última
pode ser dada por
OD × OA 5 cos α × 5sen α 25 cos α sen α
=
=
,
2
2
2
25 cos α sen α
pelo que A(α ) = 4 ×
= 50 cos α sen α , como se pretendia.
2
3.2 A
π
4
Para α =
quadrado.
= 50 cos
π
4
π
4
sen
π
4
= 50 ×
2
2
×
= 25m 2 .
2
2
, o losango tem os ângulos internos rectos, pelo que se trata de um
4.1 A massa total pedida é M (3) =
100
≈ 10,03 toneladas .
1 + 39e −0, 49×3
4.2 Não; o modelo é descrito pela função M (t ) , que é estritamente crescente (ver
gráfico), logo a sua taxa de variação média é positiva em qualquer intervalo.
5 Seguindo a sugestão, comecemos por determinar a altura HL . Aplicando o Teorema
de Pitágoras ao triângulo rectângulo
[HLJ ] ,
vem
2
2
2
HJ = LJ + HL , donde
2
8 2 = 4 2 + HL e HL = 48 ≈ 6,928 .
Para determinar a altura do triângulo
[ABC ] ,
repare-se que esta é igual a
LG + LH + HA e que só nos falta calcular o valor da última parcela, dado que LG = 4 .
Considerando o triângulo [ AHD ] , rectângulo em D, reparemos que α = 60º / 2 = 30º e
que sen 30º =
HD
AH
, donde AH =
4
= 8.
0,5
Assim, a altura em causa é aproximadamente igual a 4 + 6,928 + 8 = 18,928 .
Considerando
AC =
o
triângulo
rectângulo
[AGC],
tem-se
cos α =
AG
,
AC
donde
AG
≈ 21,856 .
cos 30º
O perímetro do triângulo equilátero [ ABC ] é o triplo deste valor; arredondando às
unidades, obtém-se 66 metros.