Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Matemática IV - 2005/2006
1
1
Cónicas
As cónicas são curvas planas obtidas por intersecção de um cone circular recto com um
plano.
• Se o plano intersecta todas as geratrizes do cone, a curva obtida é uma elipse.
• Se o plano é paralelo apenas a uma geratriz, a curva obtida é uma parábola.
• Se o plano é paralelo a duas geratrizes, a curva obtida é uma hipérbole.
Elipse
Parábola
Hipérbole
Equação Geral das Cónicas (eq. de 2o grau em x e y):
Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0,
com A, B, C, D, E, F ∈ IR, sendo A, B e C não simultaneamente nulos.
• Se B 2 − 4AC < 0, (1) é a equação de uma elipse.
• Se B 2 − 4AC = 0, (1) é a equação de uma parábola.
• Se B 2 − 4AC > 0, (1) é a equação de uma hipérbole.
(1)
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1.1
2
Elipse
Elipse é o conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos)
é constante e maior que a distância entre eles.
Equação Reduzida
2
x2
+ yb2 = 1 (a > b)
a2
Equação Reduzida
2
x2
+ yb2 = 1 (b > a)
a2
y
1.5
y
1
1
0.5
0.5
-1 -0.5
-1.5
-1 -0.5
1
0.5
1.5
x
0.5
1
x
-0.5
-0.5
-1
-1.5
-1
Focos : (±c, 0) , sendo c2 = a2 − b2
Eixo maior = 2a
Eixo menor = 2b
Distância focal =2c
Vértices : (±a, 0) , (0, ±b)
Focos : (0, ±c) , sendo c2 = b2 − a2
Eixo maior = 2b
Eixo menor = 2a
Distância focal =2c
Vértices : (±a, 0) , (0, ±b)
Equação Reduzida da Elipse centrada em (α, β):
(x − α)2 (y − β)2
+
= 1.
a2
b2
y
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
0
1
2
3
4
x
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1.2
3
Parábola
Parábola é o conjunto dos pontos do plano equidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma
recta (directriz), que não contém o ponto.
Equação Reduzida
y 2 = 2px (p > 0)
Equação Reduzida
y 2 = −2px (p > 0)
y
y
4
4
2
2
1
2
3
4
x
-4
-3
-2
-2
-2
-4
-4
¡ ¢
Foco : F p2 , 0
Directriz : x = − p2
Vértice : V (0, 0)
¡
¢
Foco : F 0, − p2
Directriz : x = p2
Vértice : V (0, 0)
Equação Reduzida
x2 = −2py (p > 0)
Equação Reduzida
x2 = 2py (p > 0)
y
y
10
-7.5
x
-1
-7.5
-5 -2.5
2.5
8
-2
6
-4
4
-6
2
-8
-5 -2.5
¡ ¢
Foco : F 0, p2
Directriz : y = − p2
Vértice : V (0, 0)
2.5
5
7.5
x
5
7.5
-10
¡
¢
Foco : F 0, − p2
Directriz : y = p2
Vértice : V (0, 0)
x
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Equação Reduzida da Parábola com vértice em (α, β):
(y − β)2 = 2p (x − α)
(x − β)2 = 2p (y − α)
y
20
4
15
3
2
10
1
1 1.5
2 2.5
3 3.5
4
5
x
-4 -2
2 4 6 8
4
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1.3
5
Hipérbole
Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias
a dois pontos fixos (focos) é constante e menor que a distância entre eles.
Equação Reduzida
2
x2
− yb2 = 1
a2
Equação Reduzida
2
y2
− xa2 = 1
b2
3
2
1
1
0.5
-2
-2
-1
1
-1
1
2
-1
-0.5
-2
-1
-3
Focos : (±c, 0) , sendo c2 = a2 + b2
Eixo transverso = 2a
Eixo não transverso = 2b
Distância focal = 2c
Vértices : (±a, 0)
Assimptotas: y = ± ab x
Focos : (0, ±c) , sendo c2 = a2 + b2
Eixo transverso = 2b
Eixo não transverso = 2a
Distância focal = 2c
Vértices : (0, ±b)
Assimptotas: y = ± ab x
Equação Reduzida da Hipérbole centrada em (α, β):
(x − α)2 (y − β)2
−
= 1.
a2
b2
y
6
4
2
-4
-2
2
-2
4
6
8
x
2