Aprovar_32V.qxp
13/10/2008
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01. (UEMT) Dada a circunferência C da equação (x–1)2 + y2 = 1 e considerando o ponto P(2, 1), então as retas tangentes a C
passando por P:
a)
b)
c)
d)
Têm equações y = 1 e x = 2.
não existem, pois P é interno a C.
são ambas paralelas à reta y =1
Têm equações y = 1 (e só uma porque P
está em C).
c) Têm equações x = 1 e y = 2.
02. A equação da circunferência que passa
pelo ponto (2,0) e que tem centro no
ponto (2, 3) é dada por:
a) x2 + y2 – 4x – 6y + 4 = 0
b) x2 + y2 – 4x – 9y – 4 = 0
c) x2 + y2 – 2x – 3y + 4 = 0
d) 3x2 + 2y2 – 2x – 3y – 4 = 0
e) (x – 2)2 + y2 = 9
03. A equação da circunferência que passa pelo
ponto A = (0; 2) e é tangente na origem da
reta r: y + 2x = 0, é:
a) x2 + y2 – 2x – y = 0
b) x2 + y2 + 4x – 2y = 0
c) x2 + y2 – 4x – 2y = 0
d) x2 + y2 + 4x + 2y = 0
e) x2 + y2 + 4x + 2y = 0
04. A equação da circunferência que tangencia as retas x + y = 0 e x + y = 8 e
que passa pelo ponto (0; 0) é:
a) 2 . x2 + 2y2 - 4x - 4y = 0
b) x2 + y2 - 2x - 6y = 0
c) x2 + y2 - 4x - 4y = 0
d) x2 + y2 + 4x + 4y = 0
e) n.d.a.
05. A equação da reta tangente à circunferência (x – 4)2 + (y – 5)2 = 20 e que a
tangencia no ponto de abscissa 2 é:
a)
b)
c)
d)
e)
x – 2y – 4 = 0
x + 2y – 4 = 0 e x – 2y + 16 = 0
x + y – 2 = 0 e x – y + 16 = 0
x + 2y – 4 = 0 e x – 2y + 4 = 0
n.d.a.
06. Determine a excentricidade da hipérbole
de equação 25x2–16y2– 400 = 0.
poderemos escrever:
Consideremos dois pontos F1 e F2, tais que
d(F1,F2)=2c e seja um plano π passando por F1
e F2, com um sistema de eixos cartesianos Oxy,
tal que F1 e F2 estejam no eixo x e a origem do
sistema seja o ponto médio do segmento F1F2.
Dessa forma, F1=(c,0) e F2=(–c,0).
Vamos examinar o lugar geométrico dos pontos
P=(x,y) do plano π, tais que:
|d(P, F1) – d(P, F2)|=2a < 2c
Nas condições dadas, é possível deduzir a
equação mais simples que descreve o lugar
geométrico, obtendo:
x2
y2
––––
– ––––
= 1,
2
a
b2
2
em que b =c2–a2.
Assim, podemos escrever a definição do lugar
geométrico determinado pela equação que foi
deduzida.
Definição: Nas condições descritas acima, o
lugar geométrico dos pontos P, tais que |d(P, F1)
– d(P, F2)|=2a é uma curva denominada
hipérbole de focos F1 e F2, com distância focal 2c
e distância entre os vértices 2a.
x2
y2
O gráfico da equação ––––
– ––––
=1
2
a
b2
Observe que, neste caso, x não pode ser zero.
é o seguinte:
Observe que x – (-c) = x + c.
Quadrando a expressão acima, vem:
Com bastante paciência , desenvolvendo a
expressão acima e fazendo a2 – c2 = b2 , a
expressão acima, depois de desenvolvida e
simplificada, chegará a: b2.x2 + a2.y2 = a2.b2
Dividindo, agora, ambos os membros por a2b2
vem finalmente:
x2
y2
–––– + –––– = 1
a2
b2 ,
que é a equação da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem (0,0).
Notas:
1) como a2–c2= b2, é válido que: a2–b2 = c2, em
que c é a abcissa de um dos focos da elipse.
2) como a excentricidade e da elipse é dada por
e = c/a , no caso extremo de termos b = a, a
curva não será uma elipse, e sim uma
circunferência de excentricidade nula, uma vez
que, sendo b = a, resulta c = 0 e, portanto, e
= c/a = 0/a = 0.
3) o ponto (0,0) é o centro da elipse.
4) se o eixo maior da elipse estiver no eixo dos y
e o eixo menor estiver no eixo dos x, a equação
da elipse de centro na origem (0,0) passa a
ser:
x2
y2
–––– + –––– = 1
2
a
b2
Aplicações
b
b
As retas r: y= –– x e s: y = – ––– x são chamadas
a
a
assíntotas à hipérbole.
01. Determine a excentricidade da elipse de
equação 16x2 + 25y2 – 400 = 0.
Solução: Temos: 16x2 + 25y2 = 400. Observe
que a equação da elipse não está na forma
reduzida. Vamos dividir ambos os membro por
400. Fica então:
x2
y2
–––– + –––– = 1
25
16
Portanto a2=25 e b2=16. Daí, vem: a=5 e b=4.
Como a2 = b2 + c2, vem substituindo e efetuando que c=3
Portanto a excentricidade e será igual a:
e=c/a=3/5= 0,60
Elipse
Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais
que a distância entre esses pontos seja igual a 2c
> 0, denomina-se elipse, à curva plana cuja
soma das distâncias de cada um de seus pontos
P a estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor
constante 2a , em que a > c.
Assim, é que temos por definição:
PF1 + PF2 = 2 a
Os pontos F1 e F2 são denominados focos, e a
distância F1F2 é conhecida como distância focal
da elipse.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse.
Como, por definição, a>c, podemos afirmar que
a excentricidade de uma elipse é um número
positivo menor que a unidade.
2 – Equação reduzida da elipse de eixo maior
horizontal e centro na origem (0,0).
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e
sejam F1(c,0) e F2(–c,0) os seus focos. Sendo 2a
o valor constante com c < a, como vimos acima,
podemos escrever:
PF1 + PF2 = 2.a
02. Determine as coordenadas dos focos da
elipse de equação 9x2+25y2=225.
Solução: dividindo ambos os membros por 225,
vem:
x2
y2
–––– + –––– = 1
25
9
Daí, vem que: a2=25 e b2=9, de onde deduzimos:
a = 5 e b = 3.
Portanto, como a2 = b2 + c2, vem que c = 4.
Portanto as coordenadas dos focos são: F1(4,0) e
F2(–4,0).
07. Determine a distância focal da hipérbole
de equação 25x2–9y2 = 225.
03. Determine a distância focal da elipse 9x2
+25y2 – 225 =0.
Solução: a elipse é a do problema anterior.
Portanto a distância focal, ou seja, a distância
entre os focos da elipse será:
D= 4 – (–4) = 8 u.c (u.c.=unidades de comprimento).
08. Determine as equações das assíntotas da
hipérbole do exercício 1.
09. Qual a equação da parábola de foco no
ponto F(2,0) e vértice na origem?
em que o eixo A1A2 de medida 2a é denominado
eixo maior da elipse, e o eixo B1B2 de medida 2b
é denominado eixo menor da elipse.
Usando a fórmula da distância entre dois pontos,
04. Calcular a distância focal e a excentricidade
da elipse 25x2 + 169y2 = 4225.
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