Resolução das atividades complementares
Matemática
M21 — Geometria Analítica: Cônicas
p. 47
1 (FGV-SP) Determine a equação da elipse de centro na origem que passa pelos pontos A(2, 0), B(22, 0)
2
e C(0, 1). x 1 y 2 5 1
4
Resolução:
2
y2
O centro da elipse coincide com a origem do plano cartesiano, e a equação é dada por λ: x 2 1 2 5 1.
a
b
A(2, 0) e B( 2 2, 0) [ λ ⇒ 42 1 02 5 1 ⇒ a 5 2 (I)
a
b
C(0, 1) [ λ ⇒ 02 1 12 5 1 ⇒ b 5 1 (II)
a
b
2
y2
x
De (I) e (II), vem:
1
5 1.
4
1
2 (PUC-MG) A equação 16x2 1 9y2 2 144 5 0 representa uma elipse, cujo comprimento do eixo maior é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 8
Resolução:
Dividindo os termos da equação porr 144, temos:
16x 2 1 9y 2 5 144 ⇒ x 2 1 y 2 5 1
144
144
144
9
16
Portanto, a 5 4 e 2a 5 8.
3 (UNI-RIO) A área do triângulo PF1F2, em que P(2, 28) e F1 e F2 são os focos da elipse de equação
x 2 1 y 2 5 1, é igual a:
25
9
a) 8
b) 16
c) 20
d) 32
e) 64
Resolução:
2
y2
F1 e F2 são focos da elipse x 1
5 1 e P(2, 28).
25
9
De acordo com a equação dada, temos: a 5 5; b 5 3.
Daí, vem: c 2 5 a 2 2 b2 5 25 2 9 ⇒ c 2 5 16 ⇒
⇒ c 5 4.
Os focos da elipse são F1(24, 0) e F2(4, 0).
Seja o PF1F2.
 base 5 F1F2 5 2c 5 8

altura 5 8
Área do triângulo PF1F2: S 5
8 ? 8
5 32
2
2
2
4 (Vunesp-SP) Considere a elipse de equação x 1 y 5 1.
25
( )
9
a) Mostre que o ponto P 3, 12 pertence à elipse e calcule a distância de P ao eixo das abscissas. 12
5
5
b) Determine os vértices Q e R da elipse que per­tencem ao eixo das abscissas e calcule a área do triângulo
12 .
PQR, em que P 3,
Q(5, 0), R(25, 0) e 12
5
( )
Resolução:
(
)
( )
12
5
9
2
2
a) O ponto P 3, 12 pertence à elipse, pois 3 1
5
25
A distância d do ponto P 3, 12 ao eixo das abscissas é
5
2
b) De acordo com o enunciado, a elipse de equação x 1
25
indiicados os pontos P , Q e R:
(
)
5 9 1 144 5 9 1 16 5 25 5 1.
25
25 ? 9
25
25
25
12 .
5
y2
5 1 tem o seguinte gráfico, onde estão
9
y
3
R
(
P 3, 12
5
)
Os pontos Q e R, de acordo com o gráfico, têm
coordenadas Q((5, 0) e R(2 5, 0).
A área do triângulo PQR é:
10 ? 12
RQ ? d
5 5 12
SPQR 5
5
2
2
Q
C
�5
5
x
�3
p. 48
5 A órbita da Terra é uma elipse, estando o Sol num dos focos. O eixo maior mede, aproximadamente,
3 ? 108 km e a excentricidade é 1 . Calcule a maior e a menor distância da Terra ao Sol.
60
1,525 ? 108 km e 1,475 ? 108 km
Resolução:
Eixo maior: 3 ? 108 km ⇒ 2a 5 3 ? 108 ⇒ a 5 1,5 ? 108
c
e 5 1 ⇒ e 5 c ⇒ 1 5
⇒ c 5 2,5 ? 106
8
60
a
60
1,5 ? 10
A 1(2
21,5 ? 108; 0)
A 2(1,5 ? 108; 0)
F1(22,5 ? 106; 0)
F2(2,5 ? 106; 0)
Supondo que o Sol esteja em F2, vamos calcular A 1, F2 e A 2, F2.
d(A 1, F2) 5
(21,5 ? 108 2 2,5 ? 106)2 5 1,525 ? 108 km
d(A 2, F2) 5
(1,5 ? 108 2 2,5 ? 106)2 5 1,475 ? 108 km
6 (UFJF-MG) Determine os valores de u [ [0, p] para os quais o ponto P de coordenadas
2
y2
5 1.
(2 ? cos 2u, 3 ? sen u) pertença à elipse de equação x 1
4
3
{
}
0, p , 5p , p
6 6
Resolução:
Substituindo as coordenadas na equ
uação dada, temos:
2
2
(2 ? cos 2u)
(3 ? sen u)
9 ? sen 2 u
4 ? cos 2 2u
1
51 ⇒
1
51
4
3
4
3
cos 2 ? 2u 1 3 ? sen 2 u 5 1 ⇒ (cos 2 u 2 sen 2 u)2 1 3 ? sen 2 u 5 1 ⇒
2
2
2
⇒ (1 2 2 ? sen u) 1 3 ? sen u 5 1
4 ? sen 4 u 2 sen 2 u 5 0 ⇒ sen 2 u (4 ? sen 2 u 2 1) 5 0
Daí: sen 2 u 5 0 ⇒ sen u 5 0  u 5 0 rad ou u 5 p rad
4 ? sen 2 u 2 1 5 0 ⇒ sen 2 u 5 1 ⇒ sen u 5 1  u 5 p rad ou u 5 5p rad
4
2
6
6
sen u 5 2 1  u  [0, p]
2
Portanto, os valores de u são: 0, p , 5p e p.
6 6
2
7 (Fuvest-SP) A elipse x 2 1 y 5 9 e a reta y 5 2x 1 1, do plano cartesiano, se interceptam nos
2
4
pontos A e B. Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento AB é:
a) 2 2 , 2 1
c) 1 , 2 5
e) 2 1 , 1
3
3
3
3
4 2
b) 2 , 2 7
d) 2 1 , 1
3
3
3 3
(
(
)
)
(
(
)
)
(
)
Resolução:
Os pontos de intersecção da elipsee e da reta são obtidos resolvendo-se o sisstema formado pelas suas
y2
 2
5 9
x 1
equações. Assim, deevemos ter: 
2
4.
 y 5 2x 1 1
(2x 1 1)2
5 9 , ou seja, 12x 2 1 8x 2 7 5 0.
2
4
x1 5 1
2
28  20
x 5
24
x2 5 2 7
6
1
1
Se x1 5 , então y1 5 2 ?
1 1  y1 5 2.
2
2
Se x 2 5 2 7 , então y 2 5 2 ? 2 7 1 1  y 2 5 2 4 .
6
6
3
Assim, temos: A 1 , 2 e B 2 7 , 2 4 .
2
6
3
O ponto médio de AB é 2 1 , 1 .
3 3
Então, x 2 1
()
( )
( ) (
)
( )
Em questões como a 8, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.
2
2
8 (UFMS) Sejam a, b e c números reais tais que a  0 e b  0. Com relação à equação x 2 1 y 2 5 c 2
a
b
e sua representação geométrica num sistema carte­siano ortogonal de eixos XOY, é correto afirmar que:
(01) se a 5 b, então a equação dada é a equação de uma circunferência para qualquer valor não-nulo de c.
(02) se a  b e c  0, então a equação dada é a equação de uma elipse.
(04) se c 5 0, então a equação dada é a equação de uma parábola.
(08) se a equação dada for a equação de uma circunferência, então o centro desta será sempre o ponto (0, 0) do sistema XOY.
(16) é possível, dependendo dos valores de a, b e c, que a equação dada seja a equação de uma hipérbole.
(32) se a equação dada for a equação de uma elipse, é possível que essa elipse tenha centro no ponto (a, b) do sistema XOY. 1 1 2 1 8 5 11
Resolução:
(01) Correta.
a 5 b
y2
x2
1
5 c 2 ⇒ x 2 1 y 2 5 a 2c 2
2
2
a
a
Considerando a 2c 2 5 r 2 , temos a equacão de uma circunferência: x 2 1 y 2 5 r 2.
(02) Correta.
a  bec  0
y2
y2
y2
x2
x2
x2
2
1
5
c
⇒
1
5
1,
q
ue
é
uma
equação
do
tipo
1
5 1, com p2  q2.
2
2
2 2
2 2
2
2
a
b
ac
bc
p
q
Supondo |a |  | b|, temos uma elipse.
(04) Falsa.
c 50
2
y
x2
1 2 5 0 ⇒ b2 x 2 1 a 2 y 2 5 0
a2
b
Como a  0 e b  0, a equação fica satisfeita apenas para x 5 0 e y 5 0, ou seja, representa o
ponto O(0, 0).
(08) Correta.
Se a 5 b, temos x 2 1 y 2 5 r 2 , que é a equação de uma circunferência coom centro em O(0, 0).
(16) Falsa.
Não é possívvel.
a  0, b  0 e c 5 0 → ponto O(0, 0)
a  0, b  0 e c  0 → elipse
(32) Falsa.
Não é possível, pois a equação não é do tipo
São corretas as afirmativas 1, 2 e 8, somando 11.
(x 2 a)2
(y 2 b)2
1
5 1, já que a  0 e b  0.
p2
q2
9 (MACK-SP) Os pontos do plano que satisfazem a equação 5x2 1 3y2 5 15 representam:
a) uma parábola
b) uma elipse
c) um par de retas
d) uma circunferência
e) uma hipérbole
Resolução:
2
3y 2
5x 2 1 3y 2 5 15 ⇒ 5x 1
5 15
15
15
15
x 2 1 y 2 5 1 ⇒ x 2 1 y 2 5 1 (elipse)
3
5
( 3 )2
( 5 )2
10 Numa hipérbole, a excentricidade é e 5 5 e os vértices são A1(2, 0) e A2(22, 0). Determine as
coordenadas dos focos da hipérbole. F1 ( 2 5 , 0) e F2 (22 5 , 0)
Resolução:
A 1(2, 0) 
c 5 5 , temos: c 5 5 ⇒ c 5 2 5 .
 ⇒ a 5 2. E como e 5
a
2
A 2(2 2, 0)
Como o eixo real está contido no eixo x e a origem da hipérbole é (0, 0), as coordenadas dos focos sãoo
F1 5 ( 2 5 , 0) e F2 5 (22 5 , 0) .
11 (Fesp-UPE) Em relação à hipérbole de equação x2 2 3y2 5 12, assinale a alternativa falsa:
a) seu eixo real mede 4 3
b) seu eixo imaginário mede 4
c) sua distância focal mede 8
d) sua excentricidade é 3
e) suas assííntotas são  3x 2 3y 5 0
Resolução:
x 2 2 3y 2 5 12 → hipérbole
x 2 2 3y 2 5 12 ⇒ x 2 2 y 2 5 1
12
12
12
12
4
De acordo com a equação, temos:: a 2 5 12 ⇒ a 5 2 3
b2 5 4 ⇒ b 5 2
Cálculo de c: c 2 5 a 2 1 b2 ⇒ c 2 5 12 1 4 ⇒ c 2 5 16 ⇒ c 5 4
a) medida do eixo real: A 1A 2 5 2a 5 4 3 (V)
b) medida do eixo imaginário: B1B2 5 2b 5 4 (V)
c) distância focal: F1F2 5 2c 5 8 (V)
2 3
d) excentricidade: e 5 c 5 4 5
a
3
2 3
e) assíntotas: y 5  b x 5  2 x
a
2 3
(e não 3 )
y 5  3 x ⇒  3 x 2 3y 5 0
3
(V)
(F)
12 (Efei-MG) Determine a área do triângulo cujos vértices estão situados sobre o vértice da parábola
y 5 2x2 1 8x 2 15 e sobre a sua intersecção com o eixo das abscissas. 1 (u.a.)
Resolução:
No eixo das abscissas, y 5 0.
x9 5 3
2
2x 1 8x 2 15 5 0
x0 5 5
 P(3, 0) e Q(5, 0)
y  2x2 1 8x 2 15
y  2x2 1 8x 2 16 1 16 2 15
y  (2x 1 4)2 1 1
y 2 1 5 (2x 1 4)2  V(4, 1)
3 0 1
D 5 5 0 1 5 (21) ?
4 1 1
3 1
5 1
52
S 5 1 | D | 5 1 (u.a.)
2
13 (Unicamp-SP) Sejam A e B os pontos de in­tersecção da parábola y 5 x2 com a circunferência de
centro na origem e raio 2.
a) Quais as coordenadas dos pontos A e B? A(1, 1) e B(21, 1)
^
b) Se P é um ponto da circunferência diferente de A e de B, calcule as medidas possíveis para o ângulo APB.
45° ou 135°
Resolução:
A circunferência de centro na origem e raio 2 tem equação x2 1 y2 5 2.
a) A intersecção entre a parábola de equação y 5 x2 e a circunferência de equação x2 1 y2 5 2 é
x 2 1 y2 5 2
x 5 1
 x 5 21
⇔
ou 
, que determinam os
obtida pela resolução do sistema 
2
y 5 1
y 5 1
y 5 x
pontos A(1, 1) e B(21, 1).
b) Seja o gráfico abaixo, em que são representadas a parábola e a circunferência.
y
P2
B(�1, 1)
y � x2
M
�
A(1, 1)
x
0
�
P1
� e ANB
� medem,
Notando que os arcos AMB
respectivamente, 90º e 270º, conclui-se que as medidas
^
possíveis dos ângulos APB formados são:
� ) 5 90° 5 45°
 5 1 med ( AMB
2
2
� ) 5 270° 5 1335°
 5 1 med ( ANB
2
2
x2 � y2 � 2
N
14 (PUC-SP) A equação do conjunto de pontos eqüidistantes da reta y 5 23 e do ponto F(0, 3) é:
a) x 2 5 y
y
b) x 2 5
2
c) x 2 5 4y
e) x 2 5 12y
d) x 2 5 6y
Resolução:
Uma equação reduzida da parábola de foco F(0, p) e diretriz y 5 2p é: x2 5 4py.
Sendo p 5 3, temos: x2 5 4 ? 3 ? y ⇒ x2 5 12y.
15 (UFG) Uma parábola é definida como sendo o lugar geométrico dos pontos do plano que distam
igualmente de uma reta r, chamada diretriz da parábola, e de um ponto F, chamado foco da parábola.
Encontre a equação da parábola cuja diretriz é a reta y 5 1 e cujo foco é o ponto (1, 1). Faça um esboço
2
7
2
dessa parábola. y 5 x 2 2x 1
4
Resolução:
Fazendo uma ilustração inicial do enunciado, temos:
y
y
r
1
2
1
Pela definição da parábolla dada, temos: d(P, F) 5 d(P, r). (I)
Pela figura: d(P, r) 5 y 2 1 . (II)
2
Cálculo da distância de P a F:
P(x, y)
F
d(P, F) 5
5
0
1
(x 2 1)2 1 (y 2 1)2 5
x 2 2 2x 1 1 1 y 2 2 2y 1 1
(III)
x
x
Substituindo (II) e (III) em (I):
x 2 2 2x 1 y 2 2 2y 1 2 5 y 2 1 ⇒ x 2 2 2x 1 y 2 2 2y 1 2 5 y 2 2 y 1 1 ⇒
2
4
7
2
⇒ y 5 x 2 2x 1
4
O vértice da parábola tem coordenadas:
2b
xv 5
 x v 5 2 5 1; y v 5 12 2 2 ? 1 1 7  y v 5 3 , então, V 1, 3 .
2a
2
4
4
4
A parábola corta o eixo Oy no ponto Q(0, q): q 5 02 2 2 ? 0 1 7  Q 5 0, 7 .
4
4
( )
( )
y
Esboço da parábola:
7
4
(
V 1, 3
4
3
4
1
)
x
16 (PUC-MG) Os pontos A(10, 1) e B(m, 2) pertencem a uma parábola de vértice na origem e eixo y. O
valor de m é igual a:
a) 5 2
c) 15 2
b) 10 2
d) 20 2
e) 25 2
Resolução:
Equação da parábola: x2 5 4py
Se A(10, 1) pertence à curva, temos: 102 5 4p ? 1 ⇒ p 5 25.
Logo, a equação é x2 5 100y.
Como B(m, 2) também pertence à parábola, vem: m2 5 100 ? 2 ⇒ m 5 10 2 .
17 (UERJ) A superfície de uma antena parabólica pode ser gerada pela rotação completa de uma parábola
ao redor do seu eixo. A intersecção dessa superfície com qualquer plano perpendicular ao eixo é um círculo.
Observe a figura abaixo:
onda
B
E
C
D
Considere um círculo de centro (E) e diâmetro (CD) de 4 metros
de comprimento, cuja medida da distância do centro (E) ao
vértice (A) do parabolóide é 0,5 metro.
A
a) Escreva a equação cartesiana da parábola de foco (B) contida
no plano CAD, sendo o vértice (A) a origem do sistema
cartesiano e o eixo das abscis­sas paralelo ao diâmetro CD,
como mostra a figura ao lado. y 5 1 x 2
8
b) Calcule a distância do vértice (A) ao foco (B). 2 m
Resolução:
y
C
E
D
A
A equação da parábola é do tipo x 2 5 4py.
(2, 12 ) [ à parábola, então: 2
5 4p 1 ⇒ 8 5 4p ⇒ p 5 2
2
2
a) x 2 5 8y ⇒ y 5 x ⇒ y 5 1 x 2
8
8
2
b) d(A, B) 5 p 5 2 m
18 (Fuvest-SP) Determine a equação de uma das retas que passa pelo ponto (0, 0) e é tangente à
parábola de equação y 5 x2 1 4. y 5 4x ou y 5 24x
Resolução:
Seja t uma das retas procuradas.
Como (0, 0)  t, temos: y 2 0 5 m(x 2 0) ⇒ y 5 mx.
t é tangente à parábola (λ), então: t  λ 5 {A}
 y 5 mx (I)

2
 y 5 x 1 4 (II)
De (I) e (II), vem: x2 1 4 5 mx ⇒ x2 2 mx 1 4 5 0
Como devemos ter solução única:
D 5 0 ⇒ b2 2 4ac 5 0 ⇒ m2 2 16 5 0 ⇒ m 5 4
Portanto, t: y 5 4x ou y 5 24x.
x