TRIGONOMETRIA
A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações
trigonométricas num triângulo retângulo.
Num triângulo ABC, retângulo em A, indicaremos por B̂ e por Ĉ as medidas dos ângulos
internos, respectivamente nos vértices B e C.
TEOREMA DE PITÁGORAS: Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas
dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.
a2  b2  c 2
Definições:
1. Em todo triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do
cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
sen B̂ 
cateto oposto ao ângulo B̂ b

hipotenusa
a
sen Ĉ 
cateto oposto ao ângulo Ĉ c

hipotenusa
a
2. Em todo triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do
cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
cos B̂ 
cateto adjacente ao ângulo B̂ c

hipotenusa
a
cos Ĉ 
cateto adjacente ao ângulo Ĉ b

hipotenusa
a
3. Em todo triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida dos
catetos oposto e adjacente a esse ângulo.
tg B̂ 
tg Ĉ 
cateto oposto ao ângulo B̂
cateto adjacente ao ângulo B̂
cateto oposto ao ângulo Ĉ
cateto adjacente ao ângulo Ĉ

b
c

c
b
Observação:
b
b
sen B̂
Note que tg B̂   a 
.
c c
cos B̂
a
Em geral, utilizaremos tg x 
sen x
, para o ângulo x.
cos x
VALORES NOTÁVEIS
1) Considere o triângulo eqüilátero de medida de lado a.
sen(30  ) 
sen(60  ) 
a
21
a
2
a 3
a
2 
cos(30  ) 
3
2
a 3
cos(60  ) 
a
a
2 
21
a
2
3
2
tg(30  ) 
tg(60  ) 
a
2  1  3
3
a 3
3
2
a 3
a
2  3
2
2) Considere o quadrado de medida de lado a.
sen( 45  ) 
a
a 2

1
2

2
2
cos( 45  ) 
a
a 2
1

2

2
2
tg( 45  ) 
a
1
a
Resumindo:
Seno
Cosseno
Tangente
30o
45o
60o
1
2
2
3
3
2
3
2
2
2
1
3
2
1
2
3
ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA
Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes,
denominadas arcos, que indicaremos por
ou
.
As unidades usuais para arcos de circunferência são: grau e radiano.
MEDIDA DE ARCOS
Considere uma circunferência orientada, de centro O e raio unitário. Definimos:
GRAU: é o arco unitário correspondente a
1
da circunferência que contém o arco a ser
360
medido.
RADIANO: é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o
arco a ser medido. ( 1radiano  57 o )
As medidas de arcos de circunferências em graus e em radianos são diretamente proporcionais,
possibilitando a obtenção da equação de conversão de unidades, através de uma regra de três
simples, em que  é a medida em graus e  em radianos.
medida em graus
medida em radianos


180





180 
CICLO TRIGONOMÉTRICO
Considere uma circunferência orientada, de centro O e raio unitário. Imagine um ponto A se
deslocando sobre a circunferência.
Existe uma diferença muito importante para se graduar uma reta e uma circunferência: enquanto
que na reta cada ponto corresponde a um único número real, na circunferência cada ponto
corresponde a uma infinidade de números reais e todos diferem de múltiplos inteiros de 2  .
A figura a seguir ilustra a graduação, em radianos, de uma circunferência de raio 1.
Ao marcarmos o ponto P na circunferência de raio 1, temos um triângulo retângulo
correspondente, de onde calculamos:
cos  
xp
1
 x p ; sen 
yp
1
 y p ; x p2  y p2  1 obtendo-se cos 2   sen 2   1
A figura acima mostra que no eixo x temos o valor do cosseno e no eixo y, temos o seno,
definindo o chamado ciclo trigonométrico.
Para os pontos A, B, C e D podemos obter os seguintes valores:
sen0 = yA = 0
cos0 =xA = 1
sen 
cos 
2
= yB = 1
2
=xB = 0
sen  = yC = 0
cos  =xC = -1
sen 3 
cos 3 
2
= yD = 1
sen2  = yA = 0
2
=xD = 0
cos2  =xA = 1
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Estudaremos as funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, nos ciclos
trigonométricos.
Veremos a periodicidade e os gráficos das funções seno cosseno e tangente.
O que é periodicidade?
Para que fique bem claro o que este termo quer dizer, vamos exemplificar com os dias da
semana, de 7 em 7 dias eles se repetem, chamamos este fato de periódico, e o período é 7.
Estas três funções que serão apresentadas são ditas funções periódicas.
Definição: Uma função f é periódica se existir um número real p > 0 tal que f(x+p) = f(x),
x  Dom f . Neste caso, o menor valor de p que satisfaz tal condição é chamado período de f.
Observação: o gráfico de uma função periódica é caracterizado por ter seu “desenho” se
repetindo. Assim, para desenharmos a curva toda, basta desenharmos a parte correspondente a
um período e copiar à direita e à esquerda infinitas cópias da parte desenhada.
Vamos analisar a periodicidade destas três funções trigonométricas:
1) Seno
sen(x) = sen(x + 2  ) = sen(x + 4  ) =..... = sen(x + k2  ), k  Z.
Seno é função periódica de período 2 
2) Cosseno
cos(x) = cos(x + 2  ) = cos(x + 4  ) =..... = cos(x + k2  ), k  Z.
Cosseno é função periódica de período 2 
3) Tangente
tg(x) = tg(x +  ) = tg(x+ 2  ) =..... = tg(x + k  ), k  Z.
Tangente é função periódica de período 
Generalizando: y = a sen(kx) e y = a cos(kx)
p=
2
k
Generalizando: y = a tg(kx)
p=

k
Exemplos:
1) Determine o período de cada função:
a). y = 3 sen(x)
p = 2
b) y = 3 sen(2x)
p=
2

2
c). y = 2 sen(x/2)
p=
2
 4
1/ 2
d) y = 3 cos(2x)
p=
2

2
e) y = cos(3x/5)
p=
2
10

3/5
3
2) Determine o período de cada função:

2
a). y = tg(2x)
p=
b). y = 2 tg(x)
p= 
a). y = tg(x/2)
p=

 2
1/ 2
GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO
y = sen x
Propriedades
a) Dom = 
b) Img = [-1, 1]
c) Período = 2
d) sen (-x) = - sen (x)
GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO
y = cos x
Propriedades
a) Dom = 
b) Img = [-1, 1]
c) Período = 2
d) cos (-x) = cos (x)
GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE
y = tg x
Propriedades
a) Dom = { x   / x   2  k}
b) Img = 
c) Período = 
d) tg (-x) = -tg (x)
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS
tg x =

senx
, para x   k com k  Z
2
cos x
cotg x =
sec x =
cos x
, para x  k com k  Z
senx
1

, para x   k com k  Z
2
cos x
cossec x =
1
, para x  k com k  Z
senx
sen2x + cos2x = 1, para x  R
sec2x = 1 + tg2x, para x 

 k com k  Z
2
cossec2x = 1 + cotg2x, para x  k com k  Z
FÓRMULAS DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Sendo “a” e “b” dois números reais.
sen(a + b) = sena.cosb + cosa.senb
sen(a – b) = sena.cosb – cosa.senb
cos(a + b) = cosa.cosb - sena.senb
cos(a – b) = cosa.cosb + sena.senb
tg(a + b) =
tga  tgb
1  tga.tgb
tg(a - b) =
tga  tgb
1  tga.tgb
Exemplos
1) Calcule
a) cos(15  )
Solução:
cos(15  )  cos( 45   30  )  cos( 45  )  cos(30  )  sen( 45  )  sen(30  ) 

2
3
2 1


 
2
2
2 2
6 2
4
b) sen(15  )
Solução:
sen(15  )  sen( 45   30  )  sen( 45  )  cos(30  )  sen( 45  )  cos(30  ) 

2
3
2 1


 
2
2
2 2
6 2
4
b) tg(15  )
Solução:
3
3 3
3 3
3 
3
tg(15  )  tg( 45   30  ) 





3 3 3 3
1  tg( 45 )  tg(30 ) 1  1  3
3
3
tg( 45  )  tg(30  )
 
1


2
3  3 3  3 32  2  3 3  3
9  6 3  3 12  6 3 6 2  3






 2 3
2
93
6
6
2
3 3 3 3
3  3
 
FÓRMULAS DE MULTIPLICAÇÃO: ARCO DUPLO (2a)
A partir das fórmulas de adição e subtração, podemos obter as seguintes fórmulas de
multiplicação:
cos(2a) = cos(a+a) = cos a cos a – sen a sen a = cos2a – sen2a =
=cos2a –(1- cos2a ) = 2 cos2a -1
sen(2a) = sen(a+a) = sen a cos a + sen a cos b = 2 sen a cos a
tg(2a) = tg (a+a) =
tga  tga
2tga

1  tga.tga 1  tg 2 a
Ou seja,
cos 2a = cos 2 a  sen 2 a
cos 2a = 2 cos2a – 1
sen 2a = 2 sen a . cos a
tg 2a =
2tga
1  tg2 a.
cos 2a= 1 – 2 sen2a
Exemplos
1) Sabendo que tg( x ) 
1
, calcule tg(2x).
3
Solução
1 2
2 9 3
3

 3   
tg(2x) =
2
1  tg x. 1  1 8 3 8 4
9 9
2 tg x
2
2) Resolva a equação cos( 2x )  3 sen( x )  1 .
Solução
cos( 2x )  3 sen( x )  1
cos 2 ( x )  sen 2 ( x )  3 sen( x )  1
1  sen 2 ( x )  sen 2 ( x )  3 sen( x )  1
2 sen 2 ( x )  3 sen( x )  2  0
Resolvendo a equação de 2º grau em sen(x), temos:
  3 2  4  2  ( 2)  9  16  25
sen( x ) 
35

4
35 1

5
  x   2k ou x 
 2k
4
2
6
6
ou
35
 2  não existe x
4



5
 2k , k  Z 
Conjunto solução: S  x  R x   2k ou x 
6
6


FÓRMULAS DE BISSECÇÃO
As fórmulas de bissecção podem ser obtidas do seguinte modo:
cos( 2b)  1  2sen 2b  2sen 2 b  1  cos( 2b)  sen 2 b 
obtemos sen 2
a
1  cos( 2b)
e, se considerarmos b= ,
2
2
a 1  cos a

.
2
2
Seguindo essa idéia, temos
sen 2
a 1  cos a

2
2
cos 2
a 1  cos a

2
2
tg 2
a 1  cos a

2 1  cos a
RELAÇÕES DE PROSTAFÉRESE

pq

2
a  2
a  b  p
Fazendo 
, ou seja, 
e substituindo nas fórmulas de adição e subtração,
a  b  q
b  p  q

obtemos as relações de prostaférese dadas por
sen p + sen q = 2  sen
sen p - sen q = 2  sen
pq
pq
 cos
2
2
pq
pq
 cos
2
2
cos p + cos q = 2  cos
pq
pq
 cos
2
2
cos p - cos q =  2  sen
pq
pq
 sen
2
2
tg p + tg q =
sen(p  q)
cos(p ). cos( q)
tg p - tg q =
sen(p  q)
cos(p ). cos( q)
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Nosso problema agora é procurar, se existirem, valores de y para os quais sen y = x,
lembrando que  1  x  1 .
Dado x, o valor de y correspondente tal que sen y = x determina uma função. Mas, para que o
valor de x determinado seja único, teremos que usar a restrição


y .
2
2
Para solucionarmos esta questão, temos que estudar as funções trigonométricas inversas.
1) Função arco-seno (arcsen)
   
,  tais que sen y = x.
A cada x  [–1,1] associa-se um único y  
 2 2
Assim, definimos a função
   
arcsen : [–1,1]  
, 
 2 2
x  y  arcsen( x )
Exemplos
1) Calcule
a) y = arcsen(1/2)
Solução
   
y = arcsen(1/2)  sen y = 1/2 . Lembrando que y  
,  , temos y =  /6, ou seja,
 2 2
 1 
arcsen   .
2 6
b) y = arcsen(0)
Solução
   
y = arcsen(0)  sen y = 0 . Lembrando que y  
,  , temos y = 0, ou seja, arcsen0   0 .
 2 2
c) y = arcsen(-1/2)
Solução
   
,  , temos y =   /6, ou seja,
y = arcsen(-1/2)  sen y = -1/2 . Lembrando que y  
 2 2

 1
arcsen     .
6
 2
d) y = arcsen(1)
Solução

   
,  , temos y =  /2, ou seja, arcsen1  .
y = arcsen(1)  sen y = 1 . Lembrando que y  
2
 2 2
2) Função arco-cosseno (arccos)
A cada x  [–1,1] associa-se um único y  0,   tais que cos y = x.
Assim, definimos a função
arccos : [–1,1]  0,  
x  y  arccos( x )
Exemplos
1) Calcule
a) y = arccos(1/2)
Solução
 1 
y = arccos(1/2)  cos y = 1/2 . Lembrando que y  0,   , temos y =  /3, ou seja, arccos   .
2 3
b) y = arccos(0)
Solução
y = arccos(0)  cos y = 0 . Lembrando que y  0,   , temos y =  /2, ou seja, arccos0  

.
2
c) y = arccos(-1/2)
Solução
y = arccos(-1/2)  cos y = -1/2. Lembrando que y  0,   temos y = 2 /3, ou seja,
 1  2
arccos   
.
 2 3
d) y = arccos(1)
Solução
y = arccos(1)  cos y = 1 . Lembrando que y  0,   temos y =  , ou seja, arccos1   .
3) Função arco-tangente (arctg)
 
,  tais que tg y = x.
A cada x  [–1,1] associa-se um único y  
 2 2
Assim, definimos a função
  
, 
arcsen : [–1,1]  
 2 2
x  y  arctg( x )
Exemplos
1) Calcule
a) y = arctg(1)
Solução

 
y = arctg(1)  tg y = 1 . Lembrando que y  
,  , temos y =  /4, ou seja, arctg1  .
4
 2 2
b) y = arcsen( 3 )
Solução
y = arctg( 3 )  tg y =
 
,  , temos y =  /3, ou seja,
3 . Lembrando que y  
 2 2
 3   3 .
arctg
c) y = arctg(-1)
Solução

 
y = arctg(-1)  tg y = -1 . Lembrando que y  
,  , temos y =   /4, ou seja, arctg 1   .
4
 2 2
EXERCÍCIOS SOBRE TRIGONOMETRIA
1) Em cada um dos casos, calcule o seno, o cosseno, a tangente do ângulo agudo assinalado:
2) Um barco deveria sair do porto da cidade A e ir até o porto da cidade B em uma linha reta, (no
sentido norte-sul). Entretanto, uma correnteza fez com que o barco sofresse um desvio de na
direção leste. Ultrapassando o trecho de correnteza o capitão necessitou efetuar uma correção no
rumo no barco de 45º para a esquerda, de tal forma que ao reencontrar a rota original é possível
traçar um triângulo retângulo.
(norte) A
Se o barco percorreu 5 milhas na direção
5 milhas
leste, quanto ele teve que andar para
(leste)
retornar á rota original?
(sul) B
3) A lua é satélite natural da Terra e faz uma revolução em torno do sol em aproximadamente 28
dias.
a) De quantos radianos é o movimento da lua em um dia?
b) Qual a distância percorrida pela lua em uma revolução completa? (adote a distância da terra à
lua de 385.000km).
4) Reduza os arcos à primeira volta, represente-os graficamente e calcule o valor de seu seno,
cosseno e tangente.
a)1470º
b) –1020º
c)
25
4
d) 
5
2
5) Determine o valor de
(a) sen 1620º
(b) sen (-990º)
6) Sendo sen a = 1/2 e cos b = -1/2, sabendo que a e b são arcos do 2º quadrante, calcule:
a) sen (a+b)
b) cos(a-b)
c) tg (a+b)
7) Resolva a expressão matemática
a) x = sen (/6)- cos (2/3)-3*sen()
b) y = tg(/4)+2*sen(5/6) – [sen (/3)-cos(/6)]
8) (MACK) O valor se sen 55º.cos35º+sen35º.cos55º é:
a) –1
b) -0,5
c) zero
d)0,5
e) 1,0
9) Simplifique as expressões:
a) sen(9  x )  sen (5  x )
b) sen (x-900º) + cos (x-540º)
10) Construa o gráfico (dois períodos completos) das seguintes funções, explicitando o domínio, a
imagem e o período:
a) y = 4 sen x
b) y=1 - sen x
c) y = 2 sen x/4
11) Calcule :
a) sen (9/4) e cos (9/4)
b) sen (-2/3) e
sen (-2/3)
c) sen 8 e cos8
12. Encontre os valores do ângulo no intervalo [0, 2) que satisfaça as equações:
a) sen  =1;
cos  =-1;
tg  =1;
sec  =1;
b) sen  =0;
cos  =0;
tg  =0;
sec  =0;
c) sen  = -1/2;
cos  = 1/2;
tg  = -1;
sec  =2.
13. Determine o período das funções:
a) y = sen (8)
b) z= 4 sen (8)
c) x = cos (4/7)
d) p=3 cos(/4+/2)


    cos  .
2

14. Simplifique a expressão sen( )  sen(   )  sen
15. Sabendo-se que sen  = -1/3, calcule:
a) sen (  - )
b) sen (  + )
c) cos (/2 - )
16. Usando as fórmulas de adição, calcule:
a) sen (+/2)
b) cos75º
17. Mostre que sen 2  2 sen  cos  .
18. Mostre que cos 2  
1 cos 2

.
2
2
c) cos (5/6), (sugestão 5/6 = /2+/3)
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO - TRIGONOMETRIA
5
2 5
1
, cos  
, tg  
5
5
2
1) a) sen  
b) sen  
3
4
3
, cos   , tg  
5
5
4
2) 5 2
3) a) /14 rad
b) 770.000  km
4) a) 1470º equivale a 30º portando sen 30º = ½; cos 30º =
b) – 920 º equivale a 60º portando sen 60º =
c) 25/4 equivale a /4 portando sen /4 =
3 /2 e tg 30º =
3 /3
3 /2 , cos 60º =1/2 e tg 60º =
2 /2 , cos /4 =
3
2 /2 e tg /4 = 1
d) -5/2 equivale a 3/2 portando sen 3/2 = -1 , cos 3/2 = 0 e tg 3/2 = indefinida
5) a) zero
b) 1
6) a) 1
b)
3 /2
c)indefinido
7) a) -1
b) 2
8) e
9) a) 2 sen x
b) -sen x - cos x
10) a) Dom =  , Im = [-4, 4], p=2
b) ) Dom =  , Im = [0, 1], p=2
c) Dom =  , Im = [-2, 2], p=8
11) a)
2 /2 e
12) a) /2,
,
b) 0 e ,
2 /2
/4 e 5/4,
c) 0 e 1
0
/2 e 3/2,
c) 7/6 e 11/6,
13) a) /4
b) - 3 /2 e -1/2
0 e ,
/3 e 5/3,
/2 e 3/2
3/4 e 7/4,
b) /4
c) 7/2
15) a) – 1/3
b) 1/3
c) -1/2
16) a) - 3 /2
b)
/3 e 5/3
d) 8
14) –2sen


6  2 /4
c) - 3 /2