Instituto de Matemática - IM/UFRJ
Cálculo Diferencial e Integral I - MAC118
Primeira prova - 27/09/2013
Questão 1: (2 pontos)
Esboce os gráficos das funções definidas a seguir:
2
.
(a) y = x+1
(b) y = |x2 − 1| + 1.
(c) Dado o gráfico da função f conforme a figura 1, esboce o gráfico da função g, sendo g(x) =
2f (2 − x) + 1, indicando os pontos correspondentes a P e Q.
(d) A fução h tem o domínio no intervalo ] − 2π, 2π[, exceto nos pontos −pi, 0 e π, e é mostrada
apenas uma parte do seu gráfico figura 2. Complete o gráfico de h sabendo que ela é uma função
par.
Figura 1: Função f
Figura 2: Função h
Questão 2: (3 pontos)
Calcule os limites abaixo:
Página 1 de 2
Cálculo Diferencial e Integral I - MAC118
Primeira prova - 27/09/2013(continuação)
3
3x2
x→0 sen2 (4x)
(d) lim
2
5x − 4x + 1
x→−∞ 1 − x + x2 − 2x3
√
x−1
(b) lim
x→1 x − 1
q
√
3x −
32
(c) lim
x→2
x−2
(a) lim
x3 + 1
x→−1 x2 + 4x + 3
√
x−1
√
(f ) lim √
x→1
2x + 3 − 5
(e) lim
Questão 3: (3 pontos)
Um ponto fixo de uma função f é um número c em seu domínio tal que f (c) = c.
2
(a) Seja f uma função definida cujo domínio é o intervalo [0, 1], definida por f (x) = x+1
− 1. Esboce
o gráfico da função.
(b) Calcule o ponto fixo dessa função nesse intervalo.
(c) Use o teorema do valor intermediário para provar que qualquer função contínua com domínio
[0, 1] e a imagem [0, 1] deve ter um ponto fixo.
Questão 4: (3 pontos)
Definimos como assíntota oblíqua a reta y = ax + b, onde a e b são constantes reais, de uma função
f se
lim (f (x) − (ax + b)) = 0 ou lim (f (x) − (ax + b)) = 0.
x→−∞
x→+∞
Seja gráfico a função real f , definida por
f (x) =
( x+1
,
se x < 0;
.
se x > 0;
x
2x2 +x+1
,
x
Determine suas assíntotas verticais, horizontais e/ou oblíquas, se existirem, e esboce o seu gráfico.
Duração da prova: duas horas
Regras:
• Não é permitida consulta a qualquer fonte e nem se ausentar da sala durante a prova.
• Calculadoras, aparelhos celulares e similares devem ficar desligados na bolsa/mochila do aluno.
• A prova pode ser feita com lápis e/ou caneta.
Utilize as seguintes identidades, caso necessário:
an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + an−3 b2 + . . . + a2 bn−3 + abn−2 + bn−1 )
sen(a ± b) = sen a cos b ± sen b cos a
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sen a sen b
Página 2 de 2
Boa prova!