Definição 7. Uma função f de duas variáveis é contínua em um ponto ( x 0 , y 0 )
de seu domínio se
lim f ( x, y ) = f ( x 0 , y 0 ) . Além disso, se f for contínua em
( x , y ) →( x 0 , y 0 )
cada ponto de uma região R no plano xy, então dizemos que f é contínua dobre
R e se for contínua em todo ponto do plano xy, então dizemos q f é contínua
em toda parte. Também diremos que uma função é contínua, se ela for
contínua em cada ponto de seu domínio.
Exemplo 19. Determine os limites abaixo e verifique se as funções são
contínuas nos pontos indicados.
a)
b)
c)
lim
( x,y )→(0,0)
9 − x2 − y2
x2 y
( x,y )→(0,0) x 4 + y 2
lim
lim
( x,y )→(0,0)
(x
2
) (
+ y 2 ln x 2 + y 2
)
Observação 5. Definições análogas de limite e continuidade valem para
funções de 3 ou mais variáveis.
9
3. DERIVADAS PARCIAIS
Definição 8. Seja z = f ( x, y ) . As derivadas parciais de primeira ordem de f
em relação a x e y , respectivamente são dadas por
f(x + ∆x,y) − f(x,y)
fx (x, y) = lim
∆x →0
∆x
e
f(x,y + ∆x) − f(x,y)
fy (x, y) = lim
,
∆x →0
∆x
desde que os limites existem.
NOTAÇÃO: Se z = f ( x, y ) então as derivadas parciais f x e f y são também
denotadas por
∂f ∂z
∂f ∂z
,
e
,
.
∂x ∂x
∂y ∂y
Para as derivadas parciais de z = f ( x, y ) no ponto ( x 0 , y 0 ) , usamos a notação
fx (x0 , y 0 ) ,
∂f
∂f
(x0 , y 0 ) ,
∂x
∂x
ou
( x 0 ,y 0 )
∂f
∂x
x = x 0 ,y = y 0
e,
fy (x0 , y 0 ) ,
∂f
∂f
(x0 , y 0 ) ,
∂y
∂y
ou
( x0 y 0 )
∂f
∂y
.
x = x 0 ,y = y 0
Observação 6. Se z = f ( x, y ) , então para determinar f x , consideremos y
constante e derivamos em relação a x . De modo análogo, para determinar f y ,
tomamos x constante e derivamos em relação a y .
Exemplo 20. Seja f ( x, y ) = x 2 + y 2 .
a) Determine f x ( x, y ) e f y ( x, y ) .
b) Calcule f x (1,2) e f y (1,2) .
Exemplo 21. Determine as derivadas parciais de f .
a) z = x 2 y
b) f ( x, y ) = x 2 y 3 + x 4 + y
2
c) z = xe xy
d) f ( x, y ) = ln( xy )
e) T ( x, y ) =
x2 + y 2
10
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA – TAXAS DE VARIAÇÃO e INCLINAÇÕES
As derivadas parciais de uma função f(x,y) em um ponto P(x 0 ,y 0 ) têm a
seguinte interpretação geométrica: Suponha que C1 é a interseção do gráfico
de z = f ( x, y ) com o plano y = y 0 e que C2 é a sua interseção com o
plano x = x 0 .
Portanto,
f ( x 0 + ∆x, y 0 ) − f ( x 0 , y 0 )
f x ( x 0 , y 0 ) = lim
∆x →0
∆x
representa a inclinação da reta tangente à curva C1 no ponto (x 0 ,y 0 ) .
Além disso, f x ( x 0 , y 0 ) é a taxa de variação de f em relação a x ao longo
dessa curva no ponto ( x 0 , y 0 ) .
De forma análoga,
f ( x 0 , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 )
∆y
representa a inclinação da reta tangente à curva C2 no ponto (x 0 ,y 0 ) e fornece
f y ( x 0 , y 0 ) = lim
∆y →0
a taxa de variação de f em relação a y ao longo da curva no ponto ( x 0 , y 0 ) .
Chamaremos fx (x 0 ,y 0 ) a inclinação da superfície na direção x em ( x 0 , y 0 ) e
fy (x 0 ,y 0 ) a inclinação da superfície na direção y em ( x 0 , y 0 )
Exemplo 22. Seja f(x, y) = x 2 y + 5y 3 , determine:
a) a inclinação da superfície z = f ( x, y ) na direção x no ponto (1, −2 )
b) a inclinação da superfície z = f ( x, y ) na direção y no ponto (1, −2 )
11
Exemplo 23. A temperatura T , em graus Celsius, em um ponto ( x, y ) de uma
chapa de metal plana é dada por T ( x, y ) = 10( x 2 + y 2 ) 2 , com x e y em cm.
Ache a taxa instantânea de variação de T no ponto (1,2) na direção do eixo x
e na direção do eixo y .
Exemplo 24. A capacidade vital V dos pulmões é o maior volume de ar que
pode ser exalado após uma inalação de ar. Para um indivíduo do sexo
masculino x anos de idade e y centímetros de altura, V pode ser aproximada
pela fórmula
V = 27,63 − 0,112 xy .
∂V
∂V
Calcule e interprete
e
.
∂x
∂y
Exemplo 23. Suponha que a função
2
2
− 0 , 02 ( y + 10 ) 2
200
x2 
C ( x, y ) = 2 e − 0,02( y −10 ) x + e

x 
3
representa a concentração (em µg / m ) de um poluente emitido por uma
chaminé de 10m de altura, em um ponto a x quilômetros da chaminé e a altura
∂C
no ponto (2,5).
y metros. Calcule e interprete
∂y
12