Econometria de Séries Temporais
Rogério Silva de Mattos, D.Sc.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA (UFJF)
FACULDADE DE ECONOMIA (FE)
Econometria 3
O COMEÇO
• Box e Jenkins (1970) – processos estocásticos
não-estacionários/integrados (Modelos ARIMA)
• Granger e Newbold (1974) – Econometria
clássica não vale se variáveis do modelo são séries
temporais não-estacionárias (Regressões Espúrias)
CORRELAÇÃO ESPÚRIA
Mera Coincidência
Consumo de
Chimarrão em
Porto Alegre
Venda de azeite de
dendê em Salvador
Causalidade
Fator Comum
X
Y
X
Y
N
Y
X
REGRESSÃO ESPÚRIA
Quero estimar :
Assumindo
que:
Yt  a  bXt   t
Yt  Yt 1  ut
X t  X t 1  wt
Independentes !
Experimento de Granger e Newbold (1974)
Se  = = 1
Yt e Xt NÃO estacionárias
• R2 altos e DW baixos
• Alta chance de rejeitar H0: b = 0
• Razão t não segue t de Student
• Estatística F não segue distrib. F
MENSAGEM FUNDAMENTAL
ESTACIONARIEDADE
NÃO
ESTACIONARIEDADE
Econometria
Clássica OK
Econometria
Clássica
COMO PROCEDER ?
• Remover tendência (Detrending)?
– Pode não resolver !!!  Tendência estocática
• Diferenciar até estacionariedade?
– Perda de informação de longo prazo (t. econômica) !!!
• O que fazer ?
ECONOMETRIA DE ST
• Teoria da Cointegração
– Verificar Estacionariedade (Testes de Raízes
Unitárias)
– Séries Estacionarias, usar econometria clássica
– Séries Não estacionárias, verificar Cointegração
• Séries Cointegradas – modelo de correção de erros
• Séries Não cointegradas – modelo sem correção de erros
ESTACIONARIEDADE
X
NÃO-ESTACIONARIEDADE
DEFINIÇÃO
Processo Estacionário Fraco Yt
 E (Yt )  

2
Var (Yt )  
Cov(Y , Y )  
t
t s
s

Média, Variância e
Autocovariância
constantes
Processo NÃO Estacionário Yt
 E (Yt )   (t )

2
Var (Yt )   (t )
Cov(Y , Y )   (t )
t
t s
s

Alguém depende do
tempo
(Média e/ou Variância
e/ou Autocovariância)
EXEMPLOS
Estacionário
Não Estacionário
MAIS DEFINIÇÕES
Exemplos
• Processo integrado de
ordem d ou I(d) – precisa ser
diferenciado “d” vezes para
ficar estacionário
• Processo estacionário é I(0)
( “Não Integrado”)
Yt ~ I (1)

Yt ~ I (0)
Yt ~ I ( 2)

Yt ~ I (1)
 2
 Yt ~ I (0)
RAÍZES UNITÁRIAS
• Processo I(1)
Yt = (1-B)Yt ~I(0)  1 raiz unitária
• Processo I(2)
2Yt = (1-B)2Yt=(1-B)(1-B)Yt ~I(0)  2 raízes unitárias
• Processo I(d)
dYt = (1-B)dYt=(1-B)(1-B)…(1-B)Yt ~I(0)  d raízes unitárias
POR QUE “RAÍZES UNITÁRIAS”?
ARIMA(p,d,q) p/Yt:
=
ARMA(p,q) p/dYt:
Onde:
Logo:
 p (B)dYt    q (B) t
Yt ~ I (d )
 d
d

Y

(
1

B
)
Yt ~ I (0)
 t
p*d (B)  p (B)(1 B)d
Polinômio expandido AR para Yt possui:
• p raízes fora do círculo unitário (estacionariedade)
• d raízes unitárias (não estacionariedade)
PROCESSO AR(1)
Yt    Yt 1   t
• Se |  | < 1, Yt é um processo estacionário
• Se |  | ≥ 1 Yt é um processo não estacionário
  = 1 Yt é um passeio aleatório
 |  | > 1 Yt é um processo explosivo
EXEMPLOS DE AR(1)
Estacionário
I(1)
I(0)
Não
Estacionário
PROCESSO DE RAIZ UNITÁRIA
SEM CONSTANTE
Yt  Yt 1  ut
ut ~ I (0)
COM DESLOCAMENTO (DRIFT)
Yt    Yt 1  ut
ut ~ I (0)
PASSEIO ALEATÓRIO
PURO
Yt  Yt 1   t
 t ~ i.i.d . N (0,  2 )
COM DESLOCAMENTO (DRIFT)
Yt    Yt 1   t
 t ~ i.i.d . N (0,  2 )
MEMÓRIA
(Nelson e Plosser, 1982)
Processo MEMÓRIA CURTA: Um choque repercute por
pouco tempo sobre a série. Esta tende a voltar para sua média.
Choque transiente.
Exemplo:
Yt  Yt 1   t
|  | 1
Processo MEMÓRIA LONGA: Um choque repercute
permanentemente sobre a série. Esta não tende a voltar para
algum lugar. Choque permante.
Exemplo:
Yt  Yt 1   t
• Para desenvolver a intuição, brinque com o arquivo AR1.XLS
TIPOS DE TENDÊNCIAS
DETERMINÍSTICA
ESTOCÁSTICA
DETERMINÍSTICA
+
ESTOCÁSTICA
TDt    bt
Yt  Yt 1  ut
Yt    Yt 1  ut
t
Yt  Y0  t   ui
i 0
TENDÊNCIAS E DIFERENÇAS
ESTACIONÁRIAS
TENDÊNCIA ESTACIONÁRIA
Yt    bt  ut
Tend. Determinística + processo I(0)
DIFERENÇA ESTACIONÁRIA
-
Sem constante
Com constante
Yt  Yt 1  ut

Yt    Yt 1  ut
Obs: Tendência estacionária “puxa” a série. Diferença estacionária c/cte “empurra”.
RESUMINDO
Processo Estacionário
• Não integrado ou I(0)
• Sem raízes unitárias
• Sem tendência estocástica
• Memória curta
• Choque Transiente
Processo Não Estacionário
• Integrado ou I(d), d > 0
• d raízes unitárias
• Tendência estocástica (com
ou sem tendência determinística)
• Memória longa
• Choque Permanente
TESTES DE RAÍZES
UNITÁRIAS
JUNTANDO TUDO
Yt    bt  Yt 1   t
• Processo AR(1) Estacionário (b=0,||<1) :
• Diferença Estacionária (=b=0,=1) :
• Diferença Estacionária c/cte (b=0,=1) :
• Tendência Estacionária (b0, ||<1):
Yt    Yt 1   t
Yt  Yt 1   t
Yt    Yt 1   t
Yt    bt  Yt 1   t
(ou Tendência Estacionária)
• OBS 1: Tendência Estocástica = Diferença Estacionária s/cte
• OBS 2: Tendência Det. + Estoc. = Diferença Estacionária c/cte
MUDANDO UM POUCO
Yt    bt  Yt 1  ut
Onde  =  - 1
• Processo AR(1) Estacionário (b=0,-2<<0) : Y
   Yt 1   t
Yt   t
t
• Diferença Estacionária s/cte (=b==0) :
• Diferença Estacionária c/cte (b==0) :
Yt     t
• Tendência Estacionária (b0,-2<<0):
Yt    bt  Yt 1   t
• OBS 1: Tendência Estocástica = Diferença Estacionária s/cte
• OBS 2: Tendência Det. + Estoc. = Diferença Estacionária c/cte
TESTE DE DICKEY FULLER
Equação Geral
de Teste
Yt    bt  Yt 1   t
1) H0:  = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária)
H1:   0 (processo estacionário/sem raízes unitárias)
2) Escolha do nível de significância 
ˆ
3) Estatística de teste Tau:  
S ˆ
4) Regra de Decisão:
• Se   Valor crítico C  Aceita H0 (Yt NÃO É estacionário)
• Se  < Valor crítico C  Rejeita H0 (Yt É estacionário)
DICKEY FULLER
Versão 1
Sem intercepto ou termo
de tendência na equação
de teste
Yt  Yt 1   t
• H0:  = 0
• isto é: Yt = t ; não estacionário com tendência estocástica
• H1:   0
• isto é: Yt = Yt-1+t; estacionário sem tendência alguma
• Estatística de teste Tau:
  ˆ S ˆ
DICKEY FULLER
Versão 2
Com intercepto apenas na
equação de teste
Yt    Yt 1   t
• H0:  = 0 (e  = 0: ver tabela ADF em Dickey Fuller (1981))
• isto é: Yt = t ; não estacionário com tendência estocástica
• H1:   0 (e  ≠ 0)
• isto é: Yt =  +Yt-1+t; estacionário sem tendência alguma
•
• Estatística de teste TauU:
(mas com intercepto)
   ˆ Sˆ
DICKEY FULLER
Versão 3
Com intercepto e termo
de tendência na
equação de Teste
Yt    bt  Yt 1   t
• H0:  = 0 (e b = 0)
• isto é: Yt =  + t ; tend. determinística + tend. estocástica
• H1:   0 (b ≠ 0)
• isto é: Yt =  +bt+Yt-1+t; tendência determinística apenas
•
(tendência estacionária)
• Estatística de teste TauTau:
   ˆ Sˆ
Obs: É possível ainda testar H0:b==0 (tendência estocástica apenas) usando a estatística 3 que segue a
distribuição F (ver Enders, p. 181)
Extraído de Dickey e Fuller (1981) “Likelihood ratio statistics for autorregressive time series
with a unit root. Econometrica 49 (4). pp.1057-1072
RESUMO DO TESTE ADF
Versão 3
Versão 1
Versão 2
(Com intercepto
(Sem intercepto) (Com intercepto)
e termo de
tendência)
H0
Tendência
Estocástica
Apenas
Tendência
Estocástica
Apenas
Tendência
Determinística +
Tendência
Estocástica
H1
Sem Tendência
Alguma
Sem Tendência
Alguma
Só Tendência
Determinística
TESTE DE DICKEY-FULLER
AUMENTADO
p
Yt    bt  Yt 1    s Yt s   t
s 1
• Faz-se o mesmo teste de hipóteses do slide anterior
• Valores defasados Yt-s incluídos para eliminar
autocorrelação serial de t (se houver)
• Lag máximo p tem de se determinar antes (minimza-se o
critério AIC ou BIC)
• Eviews usa valores críticos e valores-p com base em
MacKinon (1996)
VALORES CRÍTICOS
DO TESTE ADF
Fonte: Tabela A
de Enders (2004),
Baseada em Fuller(1976)
TESTE ADF SAZONAL
Exemplo para o caso trimestral
p
Yt   0  1Dit   2 D2t   3 D3t  bt  Yt 1    s Yt s   t
s 1
1 trimestrei
Dit  
outro
0
• Usam-se os mesmos valores críticos do teste ADF
• Caso de Sazonalidade Estocástica: ver Enders (2005)
TESTE DE PHILLIPS-PERRON
Equação Geral
de Teste
Yt    bt  Yt 1  ut
1) H0:  = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária)
H1:   0 (processo estacionário/sem raízes unitárias)
2) Escolha do nível de significância 
3) Estatística de teste Z:
T (ˆTl2 s 2 )sˆ
s
Z ( ) 

ˆTl
2ˆTl s
4) Regra de Decisão:
• Se   Valor crítico C  Aceita H0 (Yt NÃO É estacionário)
• Se  < Valor crítico C  Rejeita H0 (Yt É estacionário)
TESTE PP
DIFERENÇAS (1)
Yt    bt  Yt 1  ut
• ut pode ser ARMA(p,q) heterogeneamente distribuído
• Não tem lags defasados de Yt
Versão 1
T (ˆTl2 s 2 )sˆ
s
Z ( ) 

ˆTl
2ˆTl s
Versão 2
T (ˆ s )sˆ
s
Z (  ) 
 
ˆTl
2ˆTl s
Versão 3
2
Tl
NAS 3 VERSÕES
•
S: erro-padrão do estimador de MQO de
•
S2: erro-padrão da regressão de teste ou
estimador de 2 assumindo ut ruído
branco
2Tl : estimador de 2 assumindo ut
heterogêneamente distribuído
2
T (ˆTl2 s 2 )sˆ
s
Z (  ) 
 
ˆTl
2ˆTl s
•

TESTE PP
DIFERENÇAS (2)
T
l
T
1


2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
 Tl    ut  2 wsl  ut ut  s 
T  t 1
s 1
t  s 1

• Esta fórmula é um estimador consistente de 2
• Chamada Estimador do espectro na frequência 0
• Pesos wsl são a janela de defasagem e há 3 opções de computá-los:
1. Barttlet
2. Parzen
3. Newey-West
• l é o parâmetro de largura de banda
TESTE DE PHILLIPS-PERRON
Equação Geral
de Teste
Yt    bt  Yt 1  ut
1) H0:  = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária)
H1:   0 (processo estacionário/sem raízes unitárias)
2) Escolha do nível de significância 
3) Estatística de teste Z:
T (ˆTl2 s 2 )sˆ
s
Z ( ) 

ˆTl
2ˆTl s
4) Regra de Decisão:
• Se   Valor crítico C  Aceita H0 (Yt NÃO É estacionário)
• Se  < Valor crítico C  Rejeita H0 (Yt É estacionário)
TESTE PP
DIFERENÇAS (1)
Yt    bt  Yt 1  ut
• ut pode ser ARMA(p,q) heterogeneamente distribuído
• Não tem lags defasados de Yt
Versão 1
T (ˆTl2 s 2 )sˆ
s
Z ( ) 

ˆTl
2ˆTl s
Versão 2
T (ˆ s )sˆ
s
Z (  ) 
 
ˆTl
2ˆTl s
Versão 3
2
Tl
NAS 3 VERSÕES
•
S: erro-padrão do estimador de MQO de
•
S2: erro-padrão da regressão de teste ou
estimador de 2 assumindo ut ruído
branco
2Tl : estimador de 2 assumindo ut
heterogêneamente distribuído
2
T (ˆTl2 s 2 )sˆ
s
Z (  ) 
 
ˆTl
2ˆTl s
•

TESTE PP
DIFERENÇAS (2)
T
l
T
1


2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
 Tl    ut  2 wsl  ut ut  s 
T  t 1
s 1
t  s 1

• ût p/(t = 1,...,T) são os resíduos da regressão de teste em qq versão
• Esta fórmula é um estimador consistente de 2
• Chamada Estimador do Espectro na Frequência 0
• Pesos wsl são a janela de defasagem e há 3 opções de computá-los:
1. Barttlet
2. Parzen
3. Newey-West
• l é o parâmetro de largura de banda
TESTE DF-GLS
Equação Geral
de Teste
Yt    bt  Yt 1   t
1) H0:  = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária)
H1:   0 (processo estacionário/sem raízes unitárias)
2) Escolha do nível de significância 
ˆ
3) Estatística de teste Tau:  
S ˆ
Porém computada a partir
da estimação da equação de
teste por MQG (GLS)
4) Regra de Decisão:
• Se   Valor crítico C  Aceita H0 (Yt NÃO É estacionário)
• Se  < Valor crítico C  Rejeita H0 (Yt É estacionário)
TESTE DF-GLS
DIFERENÇAS (1)
Yt    bt  Yt 1  ut
• Os erros ut seguem um AR(p)
• Na versão 1 a estatística-tau é a mesma do teste ADF
• Na versão 2 e na versão 3 a estatística-tau é computada
a partir da regressão da equação de teste por GLS
• Vantagem do teste DF-GLS vs ADF e PP
• Poder do teste DF-GLS é maior sob erros AR(p)
TESTE DF-GLS
DIFERENÇAS (2)
Uso de variável Ytd (livre da constante e/ou da tendência) no
lugar de Yt na equação de teste
Versão 2: cômputo por GLS de:
ˆt
Yt  ˆ  w
Versão 3: cômputo por GLS de:
ˆt
Yt  ˆ  bˆt  w
Estimação por MQO de:
(sem constante e tendência)
p
Yt  Yt   Yt d j  ut
d
d
Onde (seja na versão 2 ou na versão 3):
j 1
ˆt
Yt d  w
COINTEGRAÇÃO
RECAPITULANDO …
• Econometria clássica não é valida quando as séries são
NÃO estacionárias
• Em particular, se as séries NÃO estacionárias forem
independentes, obtém-se regressões espúrias
• Diferenciar séries até estacionariedade não resolve, perdese informações de longo-prazo
• O que fazer ? …. Teoria da Cointegração
HISTÓRICO
• Granger (1983) – introduz o conceito de
cointegração na literatura
• Granger e Engle (1987) – estabelecem relação
entre cointegração e o modelo de correção de erros
• Década de 90 – proliferam trabalhos teóricos e
empíricos
• 2003 – Granger e Engle ganham o Prêmio Nobel
de Economia !!!
CONCEITOS INICIAIS
Sejam 2 séries não estacionárias:
Yt ~ I (1)

 X t ~ I (1)
Seja a regressão: Yt  a  bXt   t
• Yt e Xt serão cointegradas se t ~ I(0)
• Yt e Xt serão NÃO cointegradas se t ~ I(1)
IMPLICAÇÕES
• Se Y e X são cointegradas, então:
–
–
–
–
–
–
tendência estocástica comum
tendências estocásticas se cancelam mutuamente
relação de equilíbrio no longo prazo
relação de curto prazo (?)
Desvios no equilíbrio de longo prazo são transientes
A regressão de Y contra X não é espúria
• Se Y e X NÃO são cointegradas, então:
–
–
–
–
tendências estocásticas são independentes
Só relação de curto prazo
Desvios não tendem a se corrigir, são persistentes
A regressão de Y contra X é espúria
ILUSTRANDO
Yt  2  X t   t
Yt  Yt 1  vt
Cointegração
Não Cointegração
X t  X t 1  ut
12.00
12.00
10.00
10.00
8.00
8.00
6.00
6.00
4.00
4.00
2.00
2.00
0.00
0.00
-2.00
-2.00
-4.00
Tempo
X
Y
Tempo
e
t ruído branco ~I(0)
X
Y
e
t passeio aleatório ~I(1)
ALGUMAS PROPRIEDADES
• Xt ~ I(0) então a+bXt ~ I(0)
• Yt ~ I(0) e Xt ~ I(0) então aYt+bXt ~ I(0)
• Yt ~ I(1) e Xt ~ I(0) então aYt+bXt ~ I(1)
• Yt ~ I(1) e Xt ~ I(1) então (em geral) aYt+bXt ~ I(1)
DEFINIÇÃO DE COINTEGRAÇÃO: Se Yt ~ I(1) e Xt ~ I(1) ,
e existir uma combinação linear aYt+bXt ~ I(0), então Yt e Xt
são cointegradas.
TESTE DE COINTEGRAÇÃO
(Engle e Granger, 1987)
1) Computar a regressão cointegrante
Yt  aˆ  bˆX t  ˆt
2) Aplicar teste ADF sobre os resíduos
ˆt    t  ˆt 1  wt
H0:  = 0 (Y e X NÃO SÃO cointegradas)
H1:  < 0 (Y e X SÃO cointegradas)
Nota: Usar os valores críticos de Engle e Granger (1987)
OBSERVAÇÕES
• Se X e Y forem cointegradas:
– a regressão cointegrante NÃO é ESPÚRIA !!
– MQO aplicado à regressão cointegrante (para estimar a
e b) são superconsistentes
– as razões t são assintoticamente normais
VALORES CRÍTICOS
Fonte: Tabela C
de Enders (2004).
Baseada em
MacKinnon
(1991).
MODELO DE
CORREÇÃO DE ERROS
Em caso de cointegração
p
k
i 1
j 1
Yt   0  1ˆt 1   i Yt i    j X t  j  ut
Resíduos da
equação
cointegrante
Onde: ˆt  Yt  aˆ  bˆX t
Em caso de NÃO cointegração
p
k
i 1
j 1
Yt   0   i Yt i    j X t  j  ut
OBSERVAÇÕES
• Se as variáveis forem I(0), elas são não cointegradas e estima-se o
modelo sem diferenciá-las
p
k
i 1
j 1
Yt   0   iYt i    j X t  j  ut
• Se Y e X forem I(1) e cointegradas, mas só uma possuír também
tendência determinística, deve-se incluir a variável t como
explicativa na equação cointegrante
• Se Y e X forem I(1) e cointegradas e ambas possuírem tendência
determinística, deve-se verificar no teste de cointegração se a série de
erros tem tendência determinística também. Se tiver, inclua a variável t
como explicativa na equação cointegrante.
VÁRIAS VARIÁVEIS
• Usaremos exemplo da Demanda de E. Elétrica (NT
292/2008 – SRE/ANEEL)
Ct  kPt b1Yt b2 ELbt3 et
•
•
•
•
•
C = consumo de energia elétrica
P = tarifa média de energia elétrica
Y = PIB
EL = estoque de equipamentos elétricos
b1, b2 e b3 – elasticidades do consumo
MODELO LOG-LOG
logCt  log k  b1 log Pt  b2 logYt  b3 log ELt  loget
Passo 1: Verificar estacionariedade de cada série (logC, logP,
logY e logEL) usando o teste ADF
Passo 2: (assumindo que todas são I(1)) realizar o teste de
cointegração de Engle e Granger
 logeˆt    t   logeˆt 1
H0:  = 0 (logC , logP, logY e logEL NÃO SÃO cointegradas)
H1:  < 0 (logC , logP, logY e logEL SÃO cointegradas)
Nota: Usar os valores críticos de Engle e Granger (1987)
ESTIMAÇÃO DO MODELO
Modelo de Correção de Erros (SOB cointegração)
r
p
k
n
l 1
i 1
j 1
s 1
 logCt   0  1eˆt    i  logCt i   i  log Pt i    j  logYt  j   s  log ELt s  wt
Modelo Sem Correção de Erros (SEM cointegração)
r
r
p
p
k
k
n
n
l 1
l 1
i 1
i 1
j 1
j 1
s 1
s 1

 log
logC
Ctt 

00  
logC
Cttii  
logP
Pttii  
logY
Ytt jj  
logEL
ELttss  w
wtt
iilog
iilog
 jjlog
sslog
Modelo para Séries Estacionárias ou I(0)
r
p
k
n
l 1
i 1
j 1
s 1
logCt   0    i logCt i   i log Pt i    j logYt  j   s log ELt s  wt
OBSERVAÇÕES
• Se uma série for I(0), não deve ser incluída na equação cointegrante
para o teste de cointegração
• Mesmo que todas sejam I(1), a cointegração pode envolver todas as
quatro variáveis ou apenas um subgrupo delas. Procure fazer o teste
de cointegração para os subgrupos também, o que permitirá verificar se
alguma série não era para estar na equação cointegrante
• Havendo séries I(1), segundo o teste ADF, com tendência
determinística e outras também I(1) sem, ponha a variável t na
equação cointegrante
• Se todas as séries forem I(1), segundo o teste ADF, com tendencia
deterministica, verifique no teste de cointegração se ha tendencia
determinística tambem nos erros da equação cointegrante. Se
houver, inclua a variável t na mesma.
SAZONALIDADE
Equação cointegrante
logCt  a  a1D1t  a2 D2t  a3 D3t  b1 log Pt  b2 logYt  b3 log ELt  loget
Modelo de Correção
de Erros:
Modelo para Séries
Estacionárias ou I(0):
 logCt   0  1D1t   2 D2t   3 D3t   4eˆt 
p
k
n
i 1
j 1
s 1
  i  log Pt i    j  logYt  j   s  log ELt  s  wt
log Ct   0  1 D1t   2 D2t   3 D3t 
p
k
n
i 1
j 1
s 1
   i log Pt i    j logYt  j    s log ELt  s  wt