UFBA – Universidade Federal da Bahia
ENG309 – Fenômenos de Transporte III
Prof. Dr. Marcelo José Pirani
Departamento de Engenharia Mecânica
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.2. Esfera oca, sistema unidimensional, sem geração de
calor e em regime estacionário
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.2. Esfera oca, sistema unidimensional, sem geração de
calor e em regime estacionário
Método Alternativo
Pela lei de Fourier
dT
qr  A
dr


qr   4r
2

dT
dr
Como q é constante e independente de r
qr
4r 2
dr  dT 

r2

Ts2
qr
dr

dT
4 r r 2
Ts1
1
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.2. Esfera oca, sistema unidimensional, sem geração de
calor e em regime estacionário
Considerando  constante e integrando

r2

Ts2
qr
dr

dT
4 r r 2
Ts1
1

qr  1 1 
       Ts2  Ts1 
4  r2 r1 
qr  1 1 
      Ts1  Ts2 
4  r1 r2 
r2
qr 1
Ts2

  T T
s1
4 r r
1
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.2. Esfera oca, sistema unidimensional, sem geração de
calor e em regime estacionário
Logo
qr 
então
 Ts1  Ts2 
1 1 1
  
4  r1 r2 
1 1 1
Rt,cond 
  
4  r1 r2 
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.3. Espessura crítica de isolamento
Cilindro
q
T1  T,2
Rcond  Rconv

T1 r1
T1  T ,2
q
ln(r2 / r1 )
1

2 L
2  r2 L h 2
ln(r2 / r1 )
Rcond 
2 L
1
Rconv 
2  r2 Lh2
r2
T2, h2
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.3. Espessura crítica de isolamento
O ponto de máximo é encontrado derivando-se q em relação
a r2 e igualando a zero, ou seja:


1
2   L T1  T,2
dq
k 

 
0
2
2
dr2
 l n(r2 / r1 )   /(h2r2 )  r2 h2r2 
k
r2c 
h2
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.3. Espessura crítica de isolamento
Comportamento das resistências de condução e convecção
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.3. Espessura crítica de isolamento
EXERCÍCIO
Determinado processo industrial apresenta uma grande
quantidade de tubos para condução de vapor, onde a temperatura
externa destes tubos mantém-se aproximadamente a 150oC. Com
o objetivo de aproveitar sobras de material e ainda reduzir a perda
de calor, um dos engenheiros da empresa sugeriu que fosse
colocado sobre a tubulação uma sobra de isolante térmico com
as seguintes características, k=0,4W/moC e espessura igual a
5mm. Sabendo-se que o raio externo da tubulação é de 15mm,
que o coeficiente de convecção externo é de h=20W/m2 oC e que a
temperatura ambiente é de 25oC, responda:
a) O que se pode concluir em relação a sugestão do engenheiro?
b) Você apoiaria a sugestão? Justifique.
c) Se a espessura do isolamento fosse de 10mm você apoiaria a
sugestão? Justifique.
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3. Condução de calor com geração de energia térmica
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário,
com geração de calor uniforme e  constante
Equação da condução de calor
d 2T
Ts2

-L
Integrando a 1a vez

T(x)
Ts1
q
 0
dx2 
d  dT 
dx 


dx  dx 
q
+L
x
0

q
dT q
dx  0 
 x  C1  0

dx 
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário,
com geração de calor uniforme e  constante
Integrando a 2a vez

dT
dx 
dx

q
xdx 


C1dx  0
qx2
T
 C1x  C2  0 
2
qx2
T
 C1x  C2 (3.7)
2
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário,
com geração de calor uniforme e  constante
Aplicando as condições de contorno
 em x = -L,
T =Ts1
q( L)2
Ts1  
 C1 (L)  C2
2
q
2
qL
C2  
 C1L  Ts1
2
 em x = +L,
2
(3.8)
Ts1
Ts2

-L
T =Ts2
qL
Ts2  
 C1L  C2
2
T(x)
+L
x
0
(3.9)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário,
com geração de calor uniforme e  constante
(3.8) em (3.9)
qL2
qL2
Ts2  
 C1L 
 C1L  Ts1
2
2
Ts2  2C1L  Ts1
Ts1  Ts2
C1 
2L
(3.10)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário,
com geração de calor uniforme e  constante
(3.10) em (3.8)
qL2
C2  
 C1L  Ts1
2
qL2 Ts1  Ts2
C2  

 Ts1
2
2
qL2 Ts1  Ts2
C2  

2
2
(3.11)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário,
com geração de calor uniforme e  constante
(3.10) e (3.11) em (3.7)
2
qx
T
 C1x  C2
2
qx2 Ts1  Ts2
qL2 Ts1  Ts2
T

x

2
2L
2
2
qL2 
x2   Ts2  Ts1  x Ts1  Ts2
T

1

2
2 
2
L
2
L 
(3.12)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário,
com geração de calor uniforme e  constante
Substituindo (3.12) na lei de Fourier
dT
q  A
dx
d  qL2 
x2   Ts2  Ts1  x Ts1  Ts2 

q  A 

1

2
dx  2 
2
L
2

L


 qL2 2x T  T 
 qx Ts2  Ts1 
s2
s1
q  A 

 A 



2
2L

2L


 2L

Ts2  Ts1 

q  Axq  A
(3.13)
2L
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.1. Parede plana, sistema unidimensional, estacionário,
com geração de calor uniforme e  constante
Condições de
Contorno
Assimétricas
Condições de
Contorno
Simétricas
Superfície
adiabática
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.2. Parede cilíndrica, sistema unidimensional, estacionário,
com geração de calor uniforme e  constante
Fazendo um desenvolvimento análogo, resulta:
 Distribuição de temperatura
 ln(r / r)
qr22 
r 2   qr22 
r12 
2
1
  (Ts2  Ts1 )
T(r)  Ts2 
1
 
4 
 ln(r2 / r1 )
r22   4 
r22 
 Taxa de transferência de calor
2
 qr 2 

2

Lk
r
 2  1  1   (Ts2  Ts1 )
q(r)  qLr 2 
ln(r2 / r1 )  4  r22 


CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.3.3. Parede esférica, sistema unidimensional, estacionário,
com geração de calor uniforme e  constante
Fazendo um desenvolvimento análogo, resulta:
 Distribuição de temperatura
 1/ r  1/ r
qr22 
r 2   qr22 
r12 
2
1
  (Ts2  Ts1 )
T(r)  Ts2 
1
 
6  r22   6  r22 
 1/ r1  1/ r2

 Taxa de transferência de calor
2
 qr 2 

r
4  2  1  12   (Ts2  Ts1 )
 6  r2 

q4r 3
q(r) 

3
(1/ r1 )  (1/ r2 )
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
 Aplicação principal:
Aumentar a taxa de transferência de calor entre um sólido e
um fluido adjacente através do aumento da área da superfície
onde ocorre a convecção.
 Exemplos de aplicação
- Cabeçotes de motocicletas
- Condensadores e evaporadores
- Radiador de carro
- Dissipador de calor de processador de computador
- ...........
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
Uso de aletas para melhorar a transferência de calor em uma parede plana
(a) Superfície sem aletas
(b) Superfície aletada
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
(a) Aleta plana com seção transversal uniforme
(b) Aleta plana com seção transversal não-uniforme
(c) Aleta anular
(d) Aleta piniforme
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4. Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.1. Análise Geral
Atr(x)
Aplicando a lei da conservação de energia
Eacu  Eent  Esai  Eg
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.1. Análise Geral
0
Eacu  Eent  Esai  Eg
0
qx
dAs
dqconv
Atr
Eent  Esai
qx  qx  dx  dqconv
d
mas q x  dx  q x 
(q x )dx
dx
d
qx  qx 
(q x )dx  dqconv
dx
d
(q x )dx  dqconv  0
dx
qx+dx
dx
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.1. Análise Geral
d
(q x )dx  dqconv  0
dx
dT
mas q x  A tr
dx
e
dqconv  hdAs (T  T )
logo
d
dT
( Atr
)dx  h dAs (T  T )  0
dx
dx
dAs
d
dT
( Atr
)h
(T  T )  0
dx
dx
dx
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.1. Análise Geral
dAs
d
dT
( Atr
)h
(T  T )  0
dx
dx
dx
para  constante
d
dT h dAs
(Atr
)
(T  T )  0
dx
dx
 dx
ou ainda
dAtr dT
d2T h dAs
 Atr

(T  T )  0
2
dx dx
 dx
dx
d 2T
1 dAtr dT
h dAs


(T  T )  0
2 A
dx
tr dx dx  Atr dx
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.2. Aletas com área de seção transversal uniforme
d 2T
1 dAtr dT
h dAs


(T  T )  0
dx2 Atr dx dx  Atr dx
Considerando a área de seção transversal uniforme, resulta:
2
h dAs

(T  T )  0
2 A
dx
tr dx
d T
mas As = P.x onde
d 2T
P é o perímetro, logo
hP

(T  T )  0
dx2  Atr
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.2. Aletas com área de seção transversal uniforme
2
d T
hP

(T  T )  0
2 A
dx
tr
Simplificando a equação pela definição de 
  T(x)  T
Substituindo
2
d 
hP

0
2 A
dx
tr
onde
hP
m 
 Atr
2
ou
d 2
dx2
 m 2  0
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.2. Aletas com área de seção transversal uniforme
A solução da equação tem a forma:
(x)  C1emx  C2emx
Para se determinar as constantes C1 e C2 é necessário
especificar as condições de contorno
 Condução de contorno na base da aleta
- Temperatura especificada
 Condição de contorno no topo da aleta
- Perda de calor por convecção
- Perda desprezível de calor
- Temperatura especificada
- Aleta longa T T e L  0
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.2.1. Temperatura especificada na base da aleta e
perda de calor por convecção no topo
● Distribuição de Temperatura
 coshm(L  x)  (h / m )senhm(L  x)

b
coshmL  (h / m )senhmL
● Calor Transferido
senhmL  (h / m )coshmL
qa  h P  Atr b
coshmL  (h / m )senhmL
onde
m
hP
 Atr
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.2.2. Temperatura especificada na base da aleta e
perda de calor desprezível no topo
● Distribuição de Temperatura
 coshm(L  x)

b
coshmL
● Calor Transferido
qa  h P  Atr b tanhmL
onde
m
hP
 Atr
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.2.3. Temperatura especificada na base da aleta e
temperatura especificada no topo
● Distribuição de Temperatura
 (L / b )senhmx  senhm(L  x)

b
senhmL
● Calor Transferido
coshmL  L / b
qa  h P  Atr b
senhmL
onde
m
hP
 Atr
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.4.2.4. Temperatura especificada na base da aleta e
aleta muito longa
● Distribuição de Temperatura

 e m x
b
● Calor Transferido
qa  h P  Atr b
onde
m
hP
 Atr
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Exercício
Um bastão de cobre puro, com 0,01m de diâmetro, tem
uma de suas extremidades mantida a 120oC. A
superfície do bastão está exposta ao ar ambiente a
25oC com um coeficiente de transferência de calor por
convecção de 110W/(m2K). Determinar :
1) A temperatura em x=0,05m, admitindo comprimento
infinito da aleta e a respectiva perda de calor no
bastão.
2) Estimar o comprimento que deve ter o bastão para
que o calor transferido, considerando aleta com perda
de calor desprezível na ponta, corresponda a 99% do
calor transferido pela aleta de comprimento infinito.
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Exercício
Uma barra de aço com diâmetro D=2cm, comprimento
L=25cm e condutividade térmica k=50W/(moC) está exposta
ao ar ambiente a T∞=20oC com um coeficiente de
transferência de calor h=64W/(m2oC). Se uma de suas
extremidades for mantida a uma temperatura de 120oC,
Determine:
a) A temperatura em x=10cm e a perda de calor na barra
considerando transferência de calor no topo.
b) A temperatura em x=10cm e a perda de calor na barra
considerando transferência de calor desprezível no topo.
c) A temperatura em x=10cm e a perda de calor na barra
considerando aleta muito longa