COLÉGIO GOYASES
Prof. Kairo O. Silva
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1- Determine a medida de x + y.
Resolução
X= 1/2 ARCO (CBE)
Y=1/2 ARCO (CDA)
X+Y= ½ ARCO (CBE) + ½ ARCO (CDA)
Temos que x = ½ [arco (CBA) + 70°]
Logo:
X + Y = ½ [arco(CBA) + 70°] + ½ arco(CDA)
= 1/2 arco(CBA) + 35 + ½ arco(CDA)
= ½ [ arco(CBA) + arco(CDA)] + 35°
= ½ . 360° + 35°
= 180° + 35° = 215°
6cosx
2–( Mack-2007) Se
sen2x
tgx
2
cosx = 0, 0 < x < π/2, sec x vale:
Resolução:
a) 4
b) 2
c) 1
d) 3
e) 5
6cosx . cosx -(tgx) . (sen2x) = 0
6cos2x - senx/cosx . 2.senx.cosx = 0
6cos2x – 2sen2x = 0
6cos2x = 2sen2x
6/2 = sen2x / cos2x
3 = tg2x
tgx = +/- √ 3
tx = √3
temos:
sec2x = tg2x + 1
sec2x = 3 + 1
Logo, sec2x = 4
3-(ITA-2008) Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que
sejam daltônicos 5% dos homens e 0,25% das mulheres. Identifique a probabilidade de
que seja mulher uma pessoa daltônica selecionada ao acaso nessa população.
a) 1/21
Resolução:
c) 3/21
Sendo os eventos:
D: pessoas daltônicas
H : homens
M: mulheres
d) 5/21
Temos:
e) 1/4
P( H ∩ D) = 0,05
b) 1/8
P( M ∩ D) = 0,0025
P(M / D) = 0,0025 / 0,05 + 0,0025
P(M / D) = 25/525
P(M / D) = 1/21
4-(ITA-2008) Um diedro mede 120°. A distância da aresta do diedro ao centro de uma
esfera de volume 4√3π cm3 que tangencia as faces do diedro é, em cm, igual a :
a) 3√3
b) 3√2
c) 2√3
Resolução:
Ve = 4√3π
4 πr3/3 = 4√3π
d) 2√2
r3 = 3√3
r3 = √33
e) 2
r = √3 cm
sen60°= r / d
√3 / 2 = √3 / d
Logo, d = 2 cm
5–(ITA-2008) Considere o quadrado ABCD com lados 10 m de comprimento. Seja M um ponto sobre o
lado AB e N um ponto sobre o lado AD, eqüidistantes de A. Por M traça-se uma reta r paralela ao lado
AD e por N uma reta s paralela ao lado AB, que se interceptam no ponto O. Considere os quadrados
AMON e OPCQ, onde P é a intersecção de s com o lado BC e Q é a intersecção de r com o lado DC.
Sabendo-se que as áreas dos quadrados AMON, OPCQ e ABCD constituem, nessa ordem, uma
progressão geométrica, então a distância entre os pontos A e M é igual, em metros, a.
a) 15 + 5√5
A sequência ( x2 , (10 – x)2, 102) é uma PG
b) 10 + 5√5
[(10-x)2]2 = x2 . 102
c) 10 - √5
(10 – x)2 = 10x
d) 15 – 5√5
100 – 20x + x2 – 10 x = 0
e) 10 - 3√5
X2 – 30x + 100 = 0
RESOLUÇÃO
X = 15 +/- 5√5
r
D
Q
Como 0 < x < 10 , temos
C
X = (15 - 5√5)m
10 -x
N
O
10 -x
P
x
A
x
M
B
s
6 –(ITA -2009) Do triângulo de vértices A,B e C, inscrito em uma circunferência de raio
R = 2 cm, sabe-se que o lado BC mede 2cm e o ângulo interno ABC mede 30°. Então, o
raio da circunferência inscrita neste triângulo tem o comprimento, em cm, igual a.
a) 2 - √3
Pela lei dos senos, temos:
BC / senA = 2 R
2 / senA = 4
senA = 0,5 → A = 30°
Pela lei dos cossenos, temos
b) 1 / 3
c) √2/4
d) 2√3 – 3
e) 1 / 2
L2 = 4 + 4 – 2 . 2 . 2 ( - ½ )
L2 = 8 + 4
L = 2√3
RESOLUÇÃO:
C
Seja r o raio da circunferência inscrita no triângulo ABC
S : sua área
120°
2 cm
B
S = (2 . 2) / 2 . √3/2
S = √3
S=p.r
2 cm
30°
30°
L
A
√3 = (2 + √3)r
R = (2√3 – 3)cm
7- (ITA – 2009) Se a = cos (π / 5) e b = sen (π / 5) , então, o número complexo
z = (cos π / 5 + i sen π / 5 )54 é igual a.
RESOLUÇÃO:
a) a + bi
b) - a + bi
cos(54π / 5 ) + i sen(54π / 5)
c) (1 – 2a2b2) + ab(1 + b2)i
cos(10π + 4π/5) + i sen(10π + 4π/5)
d) a – bi
cos(4π/5) + i sen(4π/5)
e) 1 – 4a2b2 + 2ab(1 – b2)i
- cos(π/5) + i sen(π/5)
Logo, z = - a + bi
Lembrete:
Zn = |z|n[cos(n.θ) + isen(n.θ)] → Fórmula de De Moivre
y
4π/5
π/5
x
8 – (ITA-2009) Sejam C uma circunferência de raio R > 4 e centro ( 0,0 ) e AB uma corda
de C. Sabendo que ( 1 , 3) é o ponto médio de AB, então uma equação da reta que
contém AB é.
Cálculo do coeficiente angular
a) y + 3x – 6 = 0
m1 = 3/1 = 3
b) y + x – 4 = 0
Como a reta que contém AB é perpendicular a CM, temos:
c) 3y + x – 10 = 0
m1 . m2 = - 1
m2 = - 1/3
d) 2y + 3x – 9 = 0
Usando a equação do feixe de retas y – y0 = m(x – x0)
para a reta AB, temos:
e) 2y + x – 7 = 0
y – 3 = -1/3(x – 1)
RESOLUÇÃO:
3y – 9 = - x + 1
A
x + 3y – 9 – 1 = 0
x + 3y – 10 = 0
M(1,3)
d
B
C(0,0)
9–(ITA -2009) Considere o triângulo ABC de lados a = BC, b = AC e c = AB e o ângulo interno
α = CBA, β = ABC e γ = BCA. Sabendo-se que a equação x2 – 2bxcos α + b2 – a2 = 0 admite
c como raiz dupla, pode-se afirmar que:
RESOLUÇÃO:
a) α = 90°
b) β = 60°
β
c
c) γ = 90°
d) O triângulo é retângulo
apenas se α = 45°
e) O triângulo é retângulo
apenas se b é hipotenusa
B
a
α
A
γ
b
C
Se c é raiz dupla, então pelo produto das raízes temos:
c . c = (b2 – a2)/1
c2 = b2 – a2
b2 = a2 + c2
Então, o triângulo é retângulo e b é hipotenusa
10-(ITA-2008) Sendo [ - π/2 , π/2 ] o contradomínio da função arcoseno e [0,π] o
contradomínio da função arcoseno, assinale o valor de cos[ arcsen(3/5) + arccos(4/5) ].
a) 1/√12
RESOLUÇÃO:
b) 7/25
c) 4/15
d) 1/√15
e) 1/(2√5)
5
3
α
4
α = arcsen(3/5) = arccos(4/5)
sen α = (3/5)
cos α = (4/5)
Portanto,
cos[arcsen(3/5) + arccos(4/5) ]
cos(α + α) = cos2 α - sen2 α
= (4/5)2 – (3/5)2
= 16/25 – 9/25
= 7/25
11-(ITA-2007) Se A,B e C forem conjuntos tais que n(A U B) = 23, n(B – A)= 12, n(C – A)
= 10, n(B ∩ C) = 6 e n(A ∩ B ∩ C) = 4, então n(A), n(A U C), n(A U B U C) nesta ordem.
a) Formam uma progressão aritmética de
razão 6.
Resolução:
b) Formam uma progressão aritmética de
razão 2.
c) Formam uma progressão aritmética de
razão 8, cujo último termo é 11
d) Formam uma progressão aritmética de
razão 10, cujo último termo é 31.
e) Não formam uma progressão aritmética
n(A U B)= x+y+z+4+10 + 2 = 23
x+y+z = 7
n(A) = 11
n(A U C) = 21
n(A U B U C) = 31
Assim: (11 , 21 , 31) é uma PA de razão 10 cujo último termo é 31
12- (ITA-2007) – Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma comissão de 5
pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comissão
poderá ser formada?
RESOLUÇÃO:
Das C9,5 = 126 comissões possíveis sem nenhuma restrição, só não serve
aquela constituída pelos 5 rapazes.
Logo, tal comissão poderá ser formada de 126 – 1 = 125 formas distintas
13-(ITA-2009) Uma esfera é colocada no interior de um cone circular reto de 8 cm de
altura e de 60° de ângulo de vértice. Os pontos de contato da esfera com a superfície
lateral do cone definem uma circunferência e distam 2√3 cm do vértice do cone. O
volume do cone não ocupado pela esfera, em cm3, é igual a:
a) 416π/9
c) 500π/9
• O triângulo ABC é eqüilátero, pois o ângulo do vértice
do cone ABC é igual a 60° e os pontos de contato da
esfera com a superfície lateral do cone definem uma
circunferência.
d) 512π/9
A altura do cone é 8 cm, então, AB = 16√3/3 cm
b) 480π/9
Os triângulos MCB e CEO são semelhantes, logo
e) 542π/9
(16√3/3)/ 2R = (8 / 2√3)
RESOLUÇÃO:
A
(8√3/3)
R = 2 cm
(8√3/3)
M
B
V cone – V esfera
V = π (8√3/3)2 . 8
-
3
V =( 416 π / 9 ) cm3
R
O
F
E
2R
2√3
60°
C
4 π23
3