MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA
CAMPUS JOINVILLE
DEPARTAMENTO DO DESENVOLVIMENTO DO ENSINO
COORDENAÇÃO ACADÊMICA
EletroEletronica
Circuitos com excitação
Senoidal
Prof. Luis S. B. Marques
Definição de tensão senoidal
  2  f
v(t )  Vp  sen(t   )
Definição de tensão senoidal
1
f 
T
VP
Veficaz 
2
Convenção de polaridade para
a tensão senoidal
Definição de Fasor
• O Fasor é um número complexo usado
para representar a amplitude e a fase de
uma função senoidal
Definição de Fasor
Trabalhando com números
complexos
Z1  a  jb
Z 2  c  jd
Z1  Z 2  (a  c)  j (b  d )
Z1  Z 2  (a  c)  j (b  d )
Trabalhando com números
complexos
Z1  a  jb  r11
Z 2  c  jd  r2 2
Z1  Z 2  r1  r2(1  2 )
r1
Z1  Z 2  (1   2 )
r2
Convertendo da forma retangular
para a forma polar
Z1  a  jb
r1  a  b
2
2
b
  tg ( )
a
Z1  a  jb  r11
1
Convertendo da forma polar para
a forma retangular
Z1  r11
a  r1  cos
Z1  a  jb
b  r1  sen
Elementos que limitam
corrente em CA
Resistor
R
Reatância indutiva
X L L
Reatância capacitiva
1
XC  
C
Impedância
Z  R  j( X L  X C )
Z  R  (X L  XC )
2
2
Relação entre o Fasor de
Tensão e o de corrente
V
Z
I
V  Z I
V
I
Z
Ângulo de Fase
Por definição, o ângulo de fase
é o ângulo que a corrente faz
com a tensão. Isto é, a corrente
está atraso ou em avanço em
relação à tensão.
Ângulo de Fase
Ângulo de fase

Circuito RL
XL
tg 
R
Circuito RC
Xc
tg 
R
Circuito RL com excitação
senoidal
Vamos encontrar a
componente forçada para a
corrente.
di
Vm cos t  L  Ri
dt
Por tentativa, estima-se que a
solução para a corrente i(t) seja a
soma de uma função coseno com
uma função seno.
i(t )  A cost  Bsent
Circuito RL com excitação
senoidal
di
Vm cos t  L  Ri
dt
i(t )  A cost  Bsent
Vm cost  L  ( Asent  B cost )  R  ( A cost  Bsent )
Vm cost  ( LB  RA) cost  (LA  RB)sent
LB  RA  Vm
 LA  RB  0
Circuito RL com excitação
senoidal
LB  RA  Vm
 LA  RB  0
Substituindo uma equação na outra:
RVm
A 2
2
R  (L)
LVm
B 2
2
R  (L)
Circuito RL com excitação
senoidal
A resposta forçada é então:
RVm
LVm
i(t )  2
cos

t

sen

t
2
2
2
R  (L)
R  (L)
Utilizando as considerações trigonométricas abaixo:
A cost  Bsent  A  B cos(t   )
1 B
  tg
A
2
2
Circuito RL com excitação
senoidal
i
Vm
R  (L)
2
2
cos(t  tg
1
L
R
)
A solução forçada é portanto uma senóide
Circuito RC com excitação
senoidal
v
dv
I m cos t   C
R
dt
v  A cos t  Bsen t
( A cos t  Bsen t
I m cos t  C  ( Asen t  B cos t ) 
)
R
A
B
I m cos t  (CB  ) cos t  (CA  ) sen t
R
R
A
CB   I m
R
B
 CA   0
R
Circuito RC com excitação
senoidal
Substituindo uma equação na outra:
RI m
A
2 2 2
1 R C 
R CI m
B
2 2 2
1 R C 
2
Circuito RC com excitação
senoidal
RIm
R CI m
v
cost 
sent
2 2 2
2 2 2
1 R C 
1 R C 
2
v
RIm
1 R C 
2
cos(t  tg RC )
1
2
2
Função Exponencial
h(t )  e
t
Função Exponencial
g (t )  e
t
Função Exponencial
f (t )  e
jt
Fórmula de Euler:
j
e  cos  jsen
Calcule a soma das duas funções co-senoidais.
y1  20cos(wt  30 )
o
y2  40cos(wt  60 )
o
y  y1  y2  y  ?
Conversão entre seno e coseno
sent  cos(t  90 )
o
cost  sen(t  90 )
o
v1  3 cos(4t  30 )
o
v1  3sen(4t  30  90 )
o
v1  3sen(4t  60 )
o
o
A corrente no indutor i é dada abaixo. Calcule a
reatância indutiva, a impedância do indutor e a tensão
fasorial.
i  10cos(10.000t  30 )mA
o
A tensão entre os terminais do capacitor é dada
abaixo. Calcule a reatância capacitiva, a impedância do
capacitor e a corrente fasorial.
V  30cos(4.000t  25 )V
o
Considere os sinais abaixo. Desenhe o diagrama
fasorial para os três fasores e calcule o somatório
destes fasores.
i1  32,6sen(wt 145 )
o
i2  32,6sen(wt  25 )
o
i3  32,6sen(wt  95 )
o
Mostrar a variação de XL e Xc com a frequência,
representando graficamente cada uma delas em função
de w, considerando w variando entre 400 e 4000 rad/s .
L  40 mH
C  25F
Utilizando os dados abaixo, construir os diagramas de
fasores e da impedância.
v  311sen(2500t  170 )
o
i  15,5sen(2500t 145 )
o
Um circuito em série com R=20 ohms e L=0,02H possui
uma impedância Z. Determine o ângulo de fase e a
freqüência.
Z  40
Considere um circuito série com R=20 ohms, L=0,02H,
C=20mF, e tensão de alimentação v. Determine o fasor
de corrente I.
v  311 sen 377 t
Potência em CA
S  Vrms  I rms
VA
P  Vrms  I rms  cos
W
Q  Vrms  I rms  sen
VAr
Fator de Potência
P
fp 
 cos
Vrms  I rms
  ângulode fase
Calcule o fator de potência para uma carga que consiste
de uma associação série de um resistor de 10 ohms e um
indutor de 10mH sabendo que a fonte possui frequencia
igual a 60Hz.