POTENCIAÇÃO E
FUNÇÃO EXPONENCIAL
prof. André Aparecido da Silva
[email protected]
1
POTENCIAÇÃO
A potenciação é uma multiplicação de
fatores iguais.
Relembrando:
Expoente
3
1
 1
   
125
 5
Potência
Base
2
POTENCIAÇÃO
Exemplo:
• 210  2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
x 2 x 2 = 1024
• 34  3 x 3 x 3 x 3 = 81
•
3
Lembre-se
1
Quando o expoente é par, a potência
é sempre positiva.
2
4
 2
 2  2
           
25
 5
 5  5
4
81
 3
 3  3  3  3
                 
16
 2
 2  2  2  2
4
Lembre-se
2
Quando o expoente é ímpar, a
potência tem o mesmo sinal da base.
3
1
 1
 1  1  1
              
8
 2
 2  2  2
3
8
 2
 2  2  2
              
27
 3
 3  3  3
5
Casos Particulares
3
Expoente 1: As potências de expoente
1 são iguais a base.
1
1
 1
   
2
 2
1
2
 2
   
3
 3
6
Casos Particulares
4
Expoente Zero: As potências de expoente
zero são iguais a 1.
0
 8
  1
 5
0
 7
  1
 4
7
Casos Particulares
Resumindo todo número elevado a
potencia 0 é igual a 1
0
 1
  1
 2
0
 3
  1
 4
8
Outros Exemplos
2
2
49
 7





25
 5
3
343
 7
   
64
 4
1
 1
   
9
 3
3
125
 5
   
27
 3
9
Exemplos
1
7
 7
   
5
 5
  0 ,3 
2
   0 ,3     0 ,3    0 , 09
0,3
x 0,3
09
00
0,09
10
Potência com
Expoente Inteiro
Negativo
11
Considere o Quociente: 5 2 : 5 5
Pela propriedade do quociente de potência
de mesma base temos:
5 :5  5
2
5
25
5
3
Escrevendo o quociente em forma de fração
temos:
2
55
1

 3  
5
5
5 5 5 5 5 5
5
5
1
3
12
Temos:
5 :5  5
2
5
25
5
3
5 :5 
2
2
55
1

 3  
5
5
5 5 5 5 5 5
5
5
1
5
5
2
5
5
3
5
3
1
 
5
3
13
Resumindo
Na divisão de potencias de mesma
base, podemos preservar a base e
diminuir os expoentes...
14
EXEMPLOS
• 5³ / 5² =
12
•10
•
5
6
/
3-2
5 =
4
10
/ 6² =
5¹ = 5
12-4
=10
5-2
6 =
3
6
8
=10
= 216
15
Note ainda que:
5
3
5
3  1 
 
 5
3
5
3
3 1
1
1
   3
5
5

 3
5


 
1

1
5
3
Isso significa que 5  pode ser interpretado
como inverso de 5
3 1
3
16
Conclusão
A potência com expoente
negativo de um número
racional diferente de zero é
igual a uma outra potência que
tem a base igual ao inverso da
base anterior e o expoente
igual ao oposto do expoente
anterior.
17
Fixando:
Oposto
Oposto
do expoente
do expoente
2
3
2
1
1
  
9
3
Inverso
da base
2
 
3
3
3
27
3
  
8
2
Inverso
da base
18
Fixando:
Oposto
Oposto
do expoente
do expoente
1
 5 
1
1
 1
    
5
 5
 1
 
 2
3
  2    8
Inverso
Inverso
da base
da base
3
19
Em certos casos podemos escrever
uma fração como potência de
expoente negativo:
Oposto
Oposto
do expoente
2
1
2
 2   3
9 3
3
1
1
do expoente
Inverso
da base
1
1
1
  5
5 5
1
Inverso
da base
20
Exemplos:
1
0 , 00001 

100000
0 , 25 
25

100
5
2
10
2
5
1
10
5
 1 
5

  10
 10 
2
 5 
 10 

 

 10 
 5 
3
 3
 2

     
8
 2
 3
27
2
2
2
3
21
Propriedades
As propriedades da
potenciação estudadas
são válidas também
para potências com
expoente inteiro
negativo.
22
Exemplos
2
 
3
 5
 
 4
1
5
 5
: 
 4
2
2
2
    
3
3
6
 3  
   
  2  
2
 5
  
 4
5  2
 1   6 
3
 3
  
 2
2
 
3
3
 5
  
 4
2   3 
 1 6
 3
  
 2
 5
  
 4
5
6
23
Potencia com base negativa
Antes,
Que tal lembrarmos das regras de sinais!
Observe:
▬ sinal negativo
1
+ sinal positivo
Lembre-se:
Multiplicação de sinais diferentes, resultado negativo.
Multiplicação de sinais iguais, resultado positivo.
24
Potencia com base negativa
O cálculo de potências com base negativa
é semelhante ao de base positiva.
Exemplos:
a) (-4)2
Expoente par.
= (- 4) .(- 4) = +16
Potência
Base
b) (-3)4 =
(-3) .(-3) .(-3) . (-3) = +81
Toda potência de base negativa e expoente par, é um
número inteiro positivo.
1
25
Potencia com base negativa
O cálculo de potências com base negativa
é semelhante ao de base positiva.
Potência
Expoente ímpar.
Exemplos:
a) (-5)3
= (-5). (-5). (-5) = -125
Base
b) (-1)5 =(-1). (-1). (-1). (-1).(-1)
= -1
x
1
Toda potência de base negativa e expoente ímpar, é um
número inteiro negativo.
26
Potencia com base negativa
O EXPOENTE 1
Por convenção, adotamos as regras:
Toda potência de expoente 1 é sempre igual à base.
Exemplos:
1
1
(0)
a) (+9)1= +9
c)
b) (-13)1= -13
d)(-10)1=
=0
-10
27
Potencia com base negativa
O EXPOENTE 0 (zero)
Por convenção, adotamos as regras:
Toda potência de expoente 0 (zero) e base diferente de 0
(zero) é igual à 1.
Exemplos:
a) (-14)0 =
b)(+27)0 =
1
1
c) (-9)0
1
d) (-530)0=
=1
1
28
Potencia com base negativa
Devemos dar atenção a duas situações de
significados e valores diferentes.
Exemplos:
a) (-4)2 = (-4). (-4) = +16
(-4)2 significa o quadrado de -4.
b) -
2
4
= - 4. 4 = -16
-42 significa o oposto do quadrado de 4.
1
Logo: (- 4)2 ≠ - 42
29
Potencia com base negativa
Conclusão:
Sempre que trabalhar com potências, tenha
atenção as suas propriedades, regras e
sinais.
1
30
CUIDADO!!!!
Um abuso muito vulgar, é
apresentar números que aumentam
com o adjetivo sensacionalista de
“crescimento exponencial”
 É muito provável que 90% das
pessoas não sabem o que significa
verdadeiramente essa expressão.
Xadrez e Exponenciação
Função Exponencial
1
33
Continuando
• f(x) = 2x
exponencial.
é
uma
função
Por meio de uma tabela, podemos
obter alguns pontos da função e, a
partir deles, esboçar o gráfico.
A tabela
O gráfico da função y(x) 2x
D(f) = R
Im (f) = R*+
a = 2, a > 1,
Portanto f é crescente
em todo seu domínio
Comportamento do gráfico da
função exponencial
Através
função exponencial
x
g(x) = ½ e usando
uma
tabela, podemos obter alguns
pontos da função e, a partir
deles, esboçar o gráfico.
A tabela da função g(x) = ½x
Comportamento gráfico da
x
função g(x) = ½
D(f) = R
Im (f) = R*+
a = 1/2, 0 < a < 1
Portanto g é
decrescente
em todo seu domínio
Resumindo...
Tendo a função f(x) = ax, se “a” for
maior que 1 a função será crescente,
se “a” for maior que zero e menor que
1 a função será decrescente
Outro Exemplo
Resolvendo o Exemplo
Resolvendo o Exemplo
Resolvendo o exemplo
Resolvendo o exemplo
Resolvendo o exemplo
Resolvendo o exemplo
Resolvendo o exemplo
Resolvendo o exemplo
Questão...
Como ficaria o gráfico desta função
f(x) = 3x+1 ?
Equação Exponencial
Vamos a resolução
Nossa equação agora é
2+ 4x
x
4
= 412
Aqui as bases são iguais, logo,
posso cortar e trabalhar só com os
expoentes...
Vamos a resolução
2+ 4x
x
4
=
12
4
Temos agora a seguinte equação
x2+ 4x =12.
Colocando o 12 para outro lado da
igualdade teremos
x2+ 4x -12 = 0 (A = 1, B = 4 e C = 12 )
Resolvendo com Bhaskara
x2+ 4x -12 = 0 (A = 1, B = 4 e C = 12 )
Resolvendo com Bhaskara
x2+ 4x -12 = 0 (A = 1, B = 4 e C = 12 )
Resolvendo com Bhaskara
Outro Exemplo
Vamos primeiramente deixar todos
os termos em bases iguais, para isto
basta decompor 8 em fatores iguais,
então o 8 poderá ser escrito como
23 .
Continuando
Como todas as bases são iguais,
agora podemos cortar as bases e
trabalhar só com os expoentes.
Continuando
Continuando
Continuando
Substituindo na equação
Terminando a equação
Agora um exemplo com frações
Agora um exemplo com frações
Agora um exemplo com frações
Para inverter numerador e denominador
vou deixar com a potencia negativa
Agora um exemplo com frações
Agora cortando as bases teremos…
Material elaborado pelo:
Prof. André Aparecido da Silva
Disciplina Matemática.
Disponível no site: www.oxnar.com.br/
68