INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE SOBREVIVÊNCIA E CONFIABILIDADE
Fulano de Tal1
Beltrano da Silva2
Cleber Giugioli Carrasco3*
1 Bolsista PIBIC/CNPq
2 Bolsista PBIC/UEG
3 Orientador – Curso de Matemática – Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas – UEG
•e-mail: [email protected]
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS
INTRODUÇÃO
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Análise de Sobrevivência é o estudo de dados relacionados ao tempo até a ocorrência de um determinado evento de interesse
(falha), a partir de um tempo inicial até um tempo final (tempo de falha). A análise de sobrevivência e confiabilidade é uma das
áreas da estatística que mais tem crescido nos últimos anos, uma evidência quantitativa deste sucesso é o número de aplicações
de análise de sobrevivência na área médica e industrial.
Na medicina, além do tempo até o falecimento do paciente, estuda-se entre outros, o tempo até a ocorrência de uma
determinada doença ou complicação da mesma, tempo de duração da doença, tempo até a cura, etc. Condições similares ocorrem
em outras áreas do conhecimento, como, por exemplo, na engenharia, onde são comuns os estudos para determinar se certo
produto dura mais do que tantos anos. Essa área é denominada Confiabilidade.
Em análise de sobrevivência e confiabilidade é comum termos a presença de censuras nos dados. Vários fatos podem colaborar
para a ocorrência de censuras. Entre outros podemos citar, o evento de interesse pode não ocorrer até o final do tempo de estudo,
devido a diversas peculiaridades como, por exemplo, o abandono de pacientes antes do término da pesquisa ou a falha de um
determinado componente devido a outras causas não consideradas no estudo. Estes fatos comprometem a observação do tempo
de vida para alguns indivíduos. Portanto, a necessidade da introdução de uma variável que indique se o tempo de vida foi ou não
observado se faz necessária. Essa variável é definida na literatura como variável indicadora de censura ou simplesmente censura.
Neste trabalho faz-se uma pequena introdução à análise de sobrevivência e confiabilidade, apresentando a função de
sobrevivência e a função de risco. Também apresentamos um método não-paramétrico de estimação da função de sobrevivência
conhecido como estimador de Kaplan-Meier. Exemplos numéricos ilustram a metodologia adotada.
Consideremos o exemplo extraído de Colosimo (2001), onde o fabricante de um tipo de isolador elétrico quer conhecer o
comportamento de seu produto funcionando na temperatura de 200ºC. Um teste de vida foi realizado nestas condições usando 60
isoladores elétricos. O teste terminou quando 45 deles haviam falhado, e os tempos (horas) das falhas foram: 151, 164, 336, 365,
403, 454, 455, 473, 538, 577, 592, 628, 632, 647, 675, 675, 727, 785, 801, 811, 816, 867, 893, 930, 937, 976, 1008, 1040, 1051,
1060, 1183, 1329, 1334, 1379, 1380, 1633, 1769, 1827, 1831, 1849, 2016, 2282, 2415, 2430, 2686, 2729. As 15 unidades que não
haviam falhado foram censuradas em t = 2729.
Dessa forma temos as funções de sobrevivência dos modelos exponencial, weibull e log-normal dadas abaixo por:
MATERIAL E MÉTODO
Seja T uma variável aleatória não-negativa a qual representa o tempo de falha, tal variável é usualmente especificada pela sua
função de sobrevivência ou função de taxa de falha (ou risco). A seguir apresentamos estas duas funções e apresentaremos o
estimador de Kaplan-Meier.
Sˆ ( t )  exp(  t / 2018 ) exponencia
ti
151
164
336
365
403
454
455
473
538
577
592
628
632
647
675
727
785
801
811
816
867
893
930
(1)
A Tabela 1 apresenta algumas funções de sobrevivência que podem ser expressas analiticamente e que são normalmente
utilizadas em análise de sobrevivência e confiabilidade.
Tabela 1: Algumas funções de sobrevivência paramétricas.
F u n ç ã o d e S o b re v iv ê n c ia
E x p o n e n c ia l

e


  lo g t     / 
L o g -N o rm a l
*
*    é a função distribuição acumulada de uma normal padrão.
• A Função de Risco
A função de risco, representada por h(t), especifica a taxa de falha instantânea no tempo t condicionada à sobrevivência até o
tempo t e é dada por (Cox & Oakes, 1984):
t  0
t
.
K -M
0 ,9 8 3
0 ,9 6 7
0 ,9 5 0
0 ,9 3 3
0 ,9 1 7
0 ,9 0 0
0 ,8 8 3
0 ,8 6 7
0 ,8 5 0
0 ,8 3 3
0 ,8 1 7
0 ,8 0 0
0 ,7 8 3
0 ,7 6 7
0 ,7 5 0
0 ,7 3 3
0 ,7 1 7
0 ,7 0 0
0 ,6 8 3
0 ,6 6 7
0 ,6 5 0
0 ,6 3 3
0 ,6 1 7
E xp.
0 ,9 2 8
0 ,9 2 2
0 ,8 4 7
0 ,8 3 5
0 ,8 1 9
0 ,7 9 9
0 ,7 9 8
0 ,7 9 1
0 ,7 6 6
0 ,7 5 1
0 ,7 4 6
0 ,7 3 3
0 ,7 3 1
0 ,7 2 6
0 ,7 1 6
0 ,6 9 7
0 ,6 7 8
0 ,6 7 2
0 ,6 6 9
0 ,6 6 7
0 ,6 5 1
0 ,6 4 2
0 ,6 3 1
W e ib .
0 ,9 6 4
0 ,9 6 0
0 ,9 0 3
0 ,8 9 3
0 ,8 7 9
0 ,8 6 1
0 ,8 6 0
0 ,8 5 4
0 ,8 3 0
0 ,8 1 5
0 ,8 1 0
0 ,7 9 6
0 ,7 9 5
0 ,7 8 9
0 ,7 7 9
0 ,7 6 0
0 ,7 3 9
0 ,7 3 3
0 ,7 2 9
0 ,7 2 7
0 ,7 0 9
0 ,6 9 9
0 ,6 8 6
L n or.
0 ,9 9 0
0 ,9 8 7
0 ,9 3 1
0 ,9 1 8
0 ,9 0 1
0 ,8 7 8
0 ,8 7 7
0 ,8 6 9
0 ,8 3 8
0 ,8 1 9
0 ,8 1 2
0 ,7 9 5
0 ,7 9 3
0 ,7 8 6
0 ,7 7 2
0 ,7 4 8
0 ,7 2 2
0 ,7 1 5
0 ,7 1 0
0 ,7 0 8
0 ,6 8 6
0 ,6 7 5
0 ,6 5 9
ti
937
976
1008
1040
1051
1060
1183
1329
1334
1379
1380
1633
1769
1827
1831
1849
2016
2282
2415
2430
2686
2729
K -M
0 ,6 0 0
0 ,5 8 3
0 ,5 6 7
0 ,5 5 0
0 ,5 3 3
0 ,5 1 7
0 ,5 0 0
0 ,4 8 3
0 ,4 6 7
0 ,4 5 0
0 ,4 3 3
0 ,4 1 7
0 ,4 0 0
0 ,3 8 3
0 ,3 6 7
0 ,3 5 0
0 ,3 3 3
0 ,3 1 7
0 ,3 0 0
0 ,2 8 3
0 ,2 6 7
0 ,2 5 0
E xp.
0 ,6 2 9
0 ,6 1 6
0 ,6 0 7
0 ,5 9 7
0 ,5 9 4
0 ,5 9 1
0 ,5 5 6
0 ,5 1 8
0 ,5 1 6
0 ,5 0 5
0 ,5 0 5
0 ,4 4 5
0 ,4 1 6
0 ,4 0 4
0 ,4 0 4
0 ,4 0 0
0 ,3 6 8
0 ,3 2 3
0 ,3 0 2
0 ,3 0 0
0 ,2 6 4
0 ,2 5 9
W e ib .
0 ,6 8 4
0 ,6 7 0
0 ,6 5 9
0 ,6 4 8
0 ,6 4 4
0 ,6 4 1
0 ,5 9 9
0 ,5 5 2
0 ,5 5 0
0 ,5 3 6
0 ,5 3 6
0 ,4 6 1
0 ,4 2 4
0 ,4 0 9
0 ,4 0 8
0 ,4 0 3
0 ,3 6 3
0 ,3 0 4
0 ,2 7 8
0 ,2 7 6
0 ,2 3 1
0 ,2 2 4
L n or.
0 ,6 5 6
0 ,6 4 0
0 ,6 2 7
0 ,6 1 5
0 ,6 1 1
0 ,6 0 7
0 ,5 6 2
0 ,5 1 4
0 ,5 1 2
0 ,4 9 8
0 ,4 9 8
0 ,4 2 8
0 ,3 9 5
0 ,3 8 2
0 ,3 8 1
0 ,3 7 7
0 ,3 4 3
0 ,2 9 7
0 ,2 7 6
0 ,2 7 4
0 ,2 4 0
0 ,2 3 5
A Figura 1 abaixo, apresenta um indicativo de que o modelo log-normal se ajusta melhor ao conjunto de dados do que os outros
dois modelos propostos: weibull e exponencial.
(2)
1.0
h t   lim
P t  T  t   t / T  t 
(6)
S obrevivência
0.8
Devido a sua interpretação, a função de risco tem sido preferida por muitos autores, uma vez que ela descreve como a
probabilidade instantânea de falha se modifica com o passar do tempo. Além disso, através da função de risco podemos obter
classes especiais de distribuições de sobrevivência. Por exemplo, a distribuição exponencial acomoda funções de riscos
constantes, isto é, h(t)=1/μ, enquanto que se a função de risco for monotonicamente decrescente ou crescente em t, temos uma
distribuição de Weibull (Lawless, 1982). As distribuições log-normal e log-logística acomodam funções de risco unimodais
(Kalbfleish & Prentice, 1980). A Tabela 2 apresenta algumas funções de risco que podem ser expressas analiticamente e que são
comumente utilizadas em análise de sobrevivência paramétrica.
0.6
e
t
 t 

 




Sˆ ( t )   [  (log( t )  7 , 225 ) / 0 ,95 ] log - normal
0.4
W e ib u ll
(5)
Tabela 3: Estimativas da função de sobrevivência para os modelos exponencial, weibull, log-normal
e para estimador de Kaplan-Meier.
A função de sobrevivência S(t) é definida como a probabilidade de uma observação não falhar até um certo tempo t. Desta
forma, podemos escrever S(t) como:
D istrib u iç ã o
1 , 28
ˆ
S ( t )  exp[  ( t / 1994 ) ] weibull
A Tabela 3 apresenta os resultados das estimativas para a função de sobrevivência através do estimador de Kaplan-Meier e,
através dos modelos paramétricos ajustados: exponencial, weibull e log-normal. Por exemplo no tempo t = 403, temos que a
estimativa de Kaplan-Meier é de 0,917, enquanto que as estimativas dos modelos ajustados log-normal, weibull e exponencial são
0,901; 0,879 e 0,819, respectivamente.
• A Função de Sobrevivência
S t   P T  t .
(4)
l
0.2
Tabela 2: Algumas funções de risco paramétricas.
F u n ção d e R is c o
E x p o n en cial
1
0.0
D istrib u ição

0
t
W eib u ll
 1

L o g -L o g ístic a
t


 1

2000
2500
3000
CONCLUSÕES
• Estimador de Kaplan-Meier
Considere um estudo envolvendo n indivíduos, e que os tempos (não censurados) de sobrevivência (distintos), são ordenados,
isto é, t(1) < t(2) < ... < t(r). Note que r  n (no caso em que o conjunto de dados não apresenta nenhum valor repetido e nenhum
valor censurado temos r = n).
O estimador de Kaplan-Meier é dado por:
 ni  d i
  n
i / ti  t 
i
1500
Figura 1: Gráfico da Função de Sobrevivência para os Modelos exponencial(verde), weibull(vermelha),log-normal(azul) e para o
estimador de Kaplan-Meier(preta).
A função de risco do modelo log-normal não pode ser escrita analiticamente.
Sˆ ( t ) 
1000
te m p o

 t
500


di 
   1 
,



n
i 
 i / ti  t 
onde:
di: número de falhas no tempo ti;
ni: número de observações sob risco (não falhou e não foi censurado) até o tempo ti (exclusive).
(3)
Neste trabalho introduzimos o conceito de análise de sobrevivência e confiabilidade, apresentando as definições das funções
de sobrevivência e de risco. Também, apresentamos algumas funções paramétricas de sobrevivência e de risco que são
comumente utilizadas em análise de sobrevivência e confiabilidade.
Para o exemplo extraído de Colosimo (2001), modelamos os dados através da função de sobrevivência paramétrica, onde
podemos observar (Figura 1) que há um indicativo de que o modelo log-normal se ajusta melhor aos dados, do que os modelos
exponencial e weibull.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. Cox, D. R. Oakes, D. Analysis of Survival Data. London: Chapman and Hall, 1984. 201p.
2. Colosimo, E. A. Análise de Sobrevivência Aplicada. 46ª Rbras. 2001. 145p.
3. Kalbfleisch, J.D., Prentice, R.L. The Statistical Analysis of Failure Time Data. New York: Wiley, 1980.
4. Kaplan. E.L. and Meier P.,”Nonparametric estimation from incomplete observations”, Journal American Statistical
Association, 53, 1958.
5. Lawless, J.F. Statistical Models and Methods for Lifetime Data. New York: Wiley, 1982. 580p.