Universidade Federal de Pelotas
Cálculo com Geometria Analítica I
Profa: Msc. Merhy Heli Rodrigues
Lista 2: Plano cartesiano, sistema de coordenadas: pontos e retas.
1) Represente no plano cartesiano os pontos:
a) A(-1,4)
b) B(3,3)
h) H(0,1)
c) C(2, -5)
d) D(-2, -2)
e) E(4, 1)
f) F(2, -3)
g) G(-2, 0)
i) I(5, 0)
2) Observe o triângulo ABC da figura seguinte no plano cartesiano e responda:
a) quantas unidades de comprimento tem o lado
?
b) quantas unidades de comprimento tem o lado
?
c) Quais as coordenadas dos vértices desse triângulo?
3) O ponto P(a, 2) é equidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4). Calcular a abscissa “a” do ponto P.
4) Provar que é isósceles o triângulo cujos vértices são os pontos A(2, -2), B(-3, -1) e C(1, 6).
5) Usando o teorema de Pitágoras, verificar se o triângulo de vértices A(-1, -3), B(6, 1) e C(2, -5) é
retângulo.
6) Calcule em cada caso, a distância entre os dois pontos dados:
a) (1, 3) e (9, 9)
b) (-3, 1) e (5, -14)
c) (-4, -2) e (0, 7)
d) (2
, 3) e (4
, 1)
7) A distância do ponto P(a, 1) ao ponto A(0, 2) é igual a 3. Calcule o número “a”.
8) Uma das extremidades de um segmento é o ponto A(13, 19). Sendo M(-9, 30) o ponto médio do
segmento, calcular as coordenadas do ponto B, que é a outra extremidade do segmento.
9) Os vértices de um triângulo são os pontos A(0, 4), B(2, -6) e C(-4, 2). Calcular os comprimentos das
medianas
do triângulo.
10) Determine as coordenadas do ponto médio do segmento
quando:
a) A(1, 7) e B(11, 3)
b) A(-2, 5) e B(-4, -1)
c) A(3, -1) e B(-2, 1)
d) A(
) e B(
)
11) Obter a equação da reta que passa por:
a) A(3, 1) e B(5, 2)
b) A(1, 2) e B(7, 6)
c) A(-1, 2) e B(3, 0)
12) Dados A(1, 2), B(4, 0), C(0, -2) e D(
), determinar as equações das retas AB, BC e CD.
13) Obter a equação da reta que passa por A(p, -p) e B(-p, -2p), p
.
14) Dados A(0, 0), B(3, 7) e C(5, -1), determinar a equação da reta que passa por A e pelo ponto médio do
segmento BC.
15) Determinar as equações das retas r, s, t e u indicadas na figura:
16) Quais entre os pontos A(2, 3), B(3, 2), C(-6, 8) e D(18, -8) estão na reta r: 2x + 3y – 12 = 0.
17) Calcular k para que o ponto P(1, k) pertença à reta r: 3x – 4y + 1 = 0
18) Calcular k para que a reta r: 2x + ky + k = 0 passe pelo ponto P(-3, 2).
19) Representar graficamente as equações:
a) 3x + 2y – 6 = 0
b) x – 3y = 0
c) 2x – 4 = 0
d) y + 3 = 0
20) Dar a posição relativa de r e s:
a) r: 5x – 2y – 1 = 0 e s: 2x – 4y + 7 = 0
b) r: 3x + y + 1 = 0 e s: 6x + 2y + 3 = 0
c) r: 8x - 4y + 6 =0 e s: 2x – y + = 0
d) r: 5x + 2y = 0 e s: 10x – 4y = 0
21) Determinar os valores de k para os quais as retas r: kx + y + 2 = 0 e s: 3x – 6y – 2 = 0 são concorrentes.
22) Determinar a intersecção das retas x + 3y = 4 e 2x + 5y = 7.
23) Determinar o ponto de intersecção das retas r e s nos casos:
a) r: 3x + 4y – 11 = 0 e s: 4x – 2y – 14 = 0
b) r: x + y = 1 e s: y = 3x – 1
c) r: 3x – 2y = 7 e s: 4x + 5y = - 6
24) Dados A(1, 1), B(3, -1), C(4, 2) e D(3, 1), achar as equações das retas AB e CD e depois obter o ponto de
intersecção destas retas.
25) Dados A(3, 0), B(5, 0), C(0, 5) e D(-1, 2), determinar o ponto de intersecção das diagonais AC e BD do
quadrilátero ABCD.
26) Determinar as coordenadas do ponto P indicado na figura.
27) Associar a cada item (I a X) uma das afirmações (a, b e c).
a) r e s são paralelas
b) r e s são perpendiculares
I: r: 3x + 4y = 0 e s: 15x + 20y – 1 = 0
II: r: 8x – 4y – 3 = 0 e s: 2x – y + 1 = 0
c) r e s são concorrentes, mas não perpendiculares
III: r: 3x + 2y – 1 = 0 e s: 4x – 6y – 3 = 0
IV: r: 5x + y = 0 e s: x – 5y + 2 = 0
V: r: x + y + 1 = 0 e s: x – y – 1 = 0
VI: r: 3x – 4y = 0 e s: 4x – 3y – 1 = 0
VII: r: 7x + y = 0 e s: x – 7y = 0
VIII: r: 4x + 3y – 1 = 0 e s: 2x + 5 = 0
IX: r: 2x + 3y = 0 e s: 3y – 2x = 0
X: r: 3x – 2 = 0 e s: 4y + 5x = 0
28) Determinar o valor de k para que as retas r: kx + 2y + 3 = 0 e s: 3x – y – k = 0 sejam paralelas.
29) Determinar os valores de k que tornam as retas r: 2x – ky + 1 = 0 e s: 8x + ky – 1 = 0 perpendiculares.
30) Calcular a distância entre P(-7, -4) e r: 4x + 3y – 20 = 0.
31) Calcular a distância entre P e r:
a) P(2, 4) e r: 8x – 6y + 13 = 0
b) P(3, -1) e r: 2x + y = 0
c) P(-3, 0) e r: 3x + 2y = 1
d) P(6, 5) e r: 3x = 4y – 2
e) da origem do sistema cartesiano e r:
32) Calcular a distância entre o ponto A(1, 2) e a reta que passa por B(-1, -1) e C(5, 7).
33) Colocar na forma reduzida e determinar o coeficiente angular.
a) 2x + y – 3 = 0
b) 4x + 2y + 5 = 0
c)
34) Associar cada item (I a V) a uma das afirmações (a, b e c):
a) r e s são paralelas
b) r e s são perpendiculares
c) r e s são concorrentes, mas não perpendiculares.
I: r: y = 2x + 5 e s: y = 2x – 3
II: r: y = - 3x + 1 e s: y =
III: r: y =
e s: y = - 2x + 5
IV: r: y =
e s: y =
V: r: y = x + 100 e s: y = 100 – x
35) Calcular o valor de a que torna as retas
e
paralelas.
36) Determinar o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e B.
a) A(3, 2) e B(5, 10)
b) A(-1, -1) e B(2, 6)
c) A(-1, 2) e B(3, 10)
37) Determinar a equação geral da reta que passa por P e tem coeficiente angular m:
a) P(2, 3) e
b) P(-5, -5) e m = - 1
38) Determinar a equação da reta que passa por P(2, 5) e tem inclinação .
a)
b)
c)
39) Determinar a equação da reta que passa por P(0, 5) e é paralela a reta y = 3x + 1.
40) Determinar a equação da reta que passa por P(2, - 1) e é perpendicular a reta y = - 2x + 7.
Respostas:
1)
2) a. 4 b. 2
c. A(1, 1), B(5, 1) e C(1, 3)
3) a = 1
5) o triângulo é retângulo de hipotenusa AB.
7) a =
8) B(-31, 41) 9)
11) a. x – 2y – 1 = 0
6) a. 10
e
b. 2x – 3y + 4 = 0
4) d(A, C) = d(B, C)
b. 17
c.
d(A, B)
d.4
10) a. M(6, 5) b. M(-3, 2) c. M(1/2, 0) d. (3/2, - 3/2)
c. x + 2y – 3 = 0
12) AB: 2x + 3y – 8 = 0
BC: x – 2y – 4 = 0
CD: 5x – y – 2 = 0
13) px – 2py – 3p = 0
14) 3x – 4y = 0
15) 2x – 3y + 6 = 0, 2x – 3y – 6 = 0, 2x + 3y – 6 = 0
2
e 2x + 3y + 6 = 0
16) B, C e D
20) a. concorrentes
b. paralelas distintas
21) k
22) (1, 1)
26) (15/7, 16/7)
30) 12
31) a. ½
33) a. y = 3 – 2x, m = - 2
37) a. 4x + 3y – 14 = 0
18) k = 2
b.
b. (4/7, 5/7)
d. concorrentes
c. (1, -2)
24) (2, 0)
27) a, a, b, b, b, c, b, c, c, c
28) k = - 6
29) k = 4
c.
32) 1/5
d. 0
e. 60/13
b. y = 5/2 – 2x, m = -2
35) a = 1
19)
c. paralelas coincidentes
23) a. (39/11, 1/11)
25) (5/2, 5/6)
34) a, b, b, c, b
17) k = 1
36) a. 4
b. 7/5
b. x + y + 10 = 0
38) a. x – y + 3 = 0
b. x + y – 7 = 0
39) y = 3x – 15
40) x – 2y – 4 = 0
c. y = 5 – x, m =
c. y = 5
c. 2