Matemática
Frente I
CAPÍTULO 20 – COMPLEMENTOS SOBRE RETAS
Um desses ângulos é agudo (entre
e
)
e o outro é obtuso (entre 9
e
). Como a
tangente de um ângulo agudo é positiva, para
forçarmos o ângulo calculado acima a ser o ângulo
agudo entre as retas e , devemos fazer
1 - RECORDANDO
Nas últimas aulas, nós vimos vários tópicos
sobre pontos e retas. Entre elas, foram estudadas a
distância entre dois pontos (que é o comprimento do
segmento de reta que liga os dois pontos) e a
condição necessária para duas retas serem
perpendiculares (ou seja, o ângulo entre elas é
)
ou para as retas serem paralelas (ou seja, o ângulo
entre elas é ).
Dessa forma, forçamos o ângulo
a ser
agudo, pois a sua tangente sempre é positiva.
No entanto, na maioria dos casos as retas
formam entre si um ângulo agudo, entre
e
.
Como nós podemos calcular o ângulo entre as duas
retas no caso geral? É isso que nós vamos ver
agora.
Assim, o ângulo
tal que
é o ângulo agudo entre as retas e . Para
encontrarmos o ângulo obtuso, basta encontrar e
calcular
2 - ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
Exercício Resolvido 1:
Calcule o ângulo agudo entre as retas
e
Resolução:
Figura 1: ângulo entre as retas r e s
Resposta: o ângulo agudo entre as retas r e s é
Sejam
e
duas retas, onde a reta forma um ângulo com o
eixo
, e a reta forma um ângulo com o eixo ,
conforme se vê na figura 1.
Exercício Resolvido 2:
Calcule o ângulo obtuso entre as retas
e
Como
é o ângulo externo ao triângulo
formado pelo eixo
e pelas retas e , tem-se:
Resolução:
Inicialmente vamos calcular o ângulo agudo
entre as retas r e s, e a partir do ângulo agudo,
vamos calcular o ângulo obtuso.
No entanto, como pode-se observar na figura
1, as retas e formam entre si dois ângulos: e
.
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Figura 3: distância entre o ponto P e a reta r
Na fórmula acima, os números , e são
determinados a partir da equação geral da reta .
Exercício Resolvido 3:
Logo o ângulo agudo entre as retas r e s é
. Portanto o ângulo obtuso entre r e s é
a reta
3 - DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Na primeira aula de Geometria Analítica, nós
vimos que a distância entre dois pontos é o
comprimento do segmento de reta que liga eles. Na
verdade, esse é o comprimento do menor caminho
que liga os dois pontos.
Calcule a distância entre o ponto
.
e
Resolução:
Inicialmente, devemos encontrar a equação
geral da reta
(nós só temos a sua equação
reduzida) para determinar os números , e :
Imagine agora uma reta:
(repare que a equação de está na forma geral, e
não na forma reduzida) e um ponto
fora
de . Qual é o menor caminho que liga um ponto de
ao ponto ? Na figura abaixo são mostrados três
caminhos diferentes,
,
e
.
Logo,
Portanto:
Resposta: a distância entre o ponto
e a reta
é 3.
Exercício Resolvido 4:
a reta
Figura 2: três caminhos diferentes P e um ponto de r
O caminho de menor comprimento é o
caminho
, que é perpendicular à reta . Uma
maneira de determinar
seria encontrar a equação
reduzida de , encontrar a equação reduzida da
perpendicular à reta
que passa pelo ponto ,
encontrar o ponto
(que é a interseção da reta
com a perpendicular) e finalmente, encontrar a
distância entre os pontos e .
Calcule a distância entre o ponto
.
e
Resolução:
Inicialmente, devemos encontrar a equação
geral da reta
(nós só temos a sua equação
reduzida) para determinar os números , e :
Logo,
Portanto:
Felizmente, existe uma fórmula pronta para a
distância entre o ponto
ea
reta
Resposta: a distância entre o ponto
e a reta
é 0.
Observação: a distância entre o ponto e a reta é
zero porque o ponto pertence à reta (isso pode
ser verificado substituindo as coordenadas de
na
equação de :
).
4 - DISTÂNCIA ENTRE RETAS
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Nós vimos que a distância entre um ponto
e uma reta é o comprimento do menor caminho
que liga um ponto da reta ao ponto . E qual seria
a distância entre uma reta e outra reta ?
Pensando da mesma forma, a distância entre
as retas e é o comprimento do menor caminho
que liga um ponto de
a um ponto de . Em
particular, se e são concorrentes, essa distância
vale zero: se é a interseção de e , o caminho
que liga (ponto de ) a (ponto de ) não tem
comprimento. Portanto:
Figura 5: distância entre as retas paralelas r e s
No entanto,
é exatamente a distância
entre o ponto (que é um ponto genérico de ) e a
reta . Portanto:
Exercício Resolvido 6:
Calcule a distância entre as retas
e
Figura 4: distância entre as retas concorrentes r e s
Resolução:
Exercício Resolvido 5:
Calcule a distância entre as retas
e
Para calcular
, precisamos calcular
, onde
é um ponto genérico de . Ora,
é um ponto genérico de (
.
Então, tem-se:
Resolução:
Resposta: a distância entre as retas
e é .
No entanto, pode ocorrer também que e
sejam retas paralelas. Nesse caso, e não terão
nenhuma interseção e a distância entre e será
um número positivo.
Para calcular
equação geral da reta
equação:
Logo,
, precisamos da
. Vamos calcular essa
Portanto:
Seja
um ponto genérico de . Traçando
uma perpendicular a
pelo ponto
, essa
perpendicular irá cortar a reta no ponto . Então a
distância entre as retas e é o comprimento do
segmento
.
Resposta: a distância entre as retas
e é
.
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3. (UFRRJ - 04) Observe o gráfico a seguir e
5 - RESUMO
Na aula de hoje, nós vimos que o ângulo
agudo entre as retas
e
é tal que
determine a distância entre o ponto de interseção
das retas r e s e a reta t.
E o ângulo obtuso é
ponto
Além disso, vimos que a distância entre um
e a reta
é
Finalmente, vimos as fórmulas de distância
entre retas, tanto para retas concorrentes como para
retas paralelas:
4. (UNIFESP - 05) Dada a matriz, 3 × 3,
,
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível II
a distância entre as retas r e s de equações,
respectivamente, det(A) = 0 e det(A) = 1 vale:
1. (MACKENZIE - 01)
a)
( 2)
4
2
b)
c) 2
d) 3
e) 3 2
5. (UNICAMP - 07) Seja dada a reta x - 3y + 6 = 0
no plano xy.
Na figura, a distância entre as retas paralelas r e s é
2 e o triângulo OAB é isósceles. Um ponto de s é:
a) (17, -15) b) (-8, 6) c) (7, -3) d) (-9, 5) e) (3, 1)
2. (UNIFESP - 04) Considere a reta de equação
, a senóide de equação
e o ponto
, conforme a figura.
a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas
retas do plano passam por P e formam um ângulo de
45° com a reta dada acima?
b) Para o ponto P com coordenadas (2, 5), determine
as equações das retas mencionadas no item (a).
GABARITO
1. A
2. E
3.
4. A
5. a) duas retas b)
A soma das distâncias de P à reta e de P à senóide
é:
a)
b)
c)
d)
e)
e
BIBLIOGRAFIA
Não há referências bibliográficas
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